материалы за 2021г / литературные источники / [lect] Рaбинович С.Г. - Погрешности измерений (1987)
.pdfСогласноформуле (4-3) теперь находим границыпогрешности результата измерения:
θ% = k 1,32 + 22 +12 ×10−3 = k × 2,6 ×10−3% .
Возьмем α = 0,95. Тогда k =1,1 и
θ% =1,1× 2,6 ×10−3 = 2,9 ×10−3 » 3×10−3 .
Если бы измерение выполнялось с приближенным оцениванием погрешностей, то погрешности
всех составляющих следовало бы считать равными 5×10−3% и граница погрешности результата
измерения была бы
θ%' =1,1×10−3 3×52 = 0,01% .
В заключение нужно проверить число значащих цифр в результате измерения. Для этого переведем границы θ% в форму абсолютных погрешностей
θ = ±2,9 ×10−3 ×10−2 ×12,6 = ±37 ×10−5 В.
Поскольку измерение точное, погрешность его результата выражается двумя значащими цифрами и в полученном результате лишних цифр нет. Окончательно можно записать
Ux =12,56368 ± 0,00037 В.
Если измерение было бы выполнено с приближенным оцениванием погрешностей, то θ ' = ±0,0013 В и результат измерения следовало бы записать с меньшим числом значащих цифр:
Ux' = 12,5637 ± 0,0013 В.
Две значащие цифры в числовом значений погрешности измерения удержаны здесь потому, что цифра в старшем разряде числа меньше трех.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
СОВМЕСТНЫЕ И СОВОКУПНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
7-1. Метод наименьших квадратов и общая
схема его применения
Совместные и совокупные измерения, как отмечалось в гл. 1, обычно выполняют так, что получаемое число уравнений, связывающих измеряемые величины, превышает число последних. При этом из-за погрешностей
измерений даже при точно известной зависимости между величинами нельзя найти такие значения неизвестных, при которых все уравнения выполнялись бы. В этих условиях значения неизвестных, принимаемые за их оценки, находят с помощью метода наименьших квадратов.
Примером совместных измерений может служить нахождение параметров уравнения
R = R20 +α(t - 20)+ b(t - 20)2 ,
выражающего температурную зависимость точного измерительного резистора (платинового термометра сопротивления).
Измеряя одновременно R — сопротивление резистора и t — его температуру и варьируя температуру, получаем несколько уравнений, из
которых |
нужно найти ,R20 — сопротивление |
резистора при |
t=20°С |
и |
температурные коэффициенты α и b . |
|
|
|
|
В общем виде можно написать, что имеем уравнение |
|
|
||
|
F0 (A, B,C,...,x, y, z,...)= l, |
(7-1) |
|
|
где х, у, |
z , l — известные коэффициенты и |
непосредственно |
измеряемые |
|
величины, A , B , C — искомые неизвестные. |
|
xi , yi , zi |
|
|
Подставив полученные из опыта числовые значения |
в |
|||
уравнение (7-1), получим ряд уравнений вида |
|
|
|
|
|
Fi (A, B,C,...,xi , yi , zi )= li |
(7-2) |
|
которые содержат только неизвестные искомые величины A, В, С и числовые коэффициенты.
Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.
Пример совокупных измерений — нахождение емкости двух
конденсаторов по результатам измерений емкости каждого из них в отдельности, а также при параллельном и последовательном их соединении. Каждое из этих измерений выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвестных будем иметь четыре уравнения:
C = x , C |
2 |
= x , C + C |
2 |
= x , |
C1C2 |
|
= x . |
C + C |
|
||||||
1 1 |
2 1 |
3 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Подставив в эти уравнения экспериментально найденные значения xi ,
получим систему уравнений, аналогичную уравнениям (7-2).
Как уже отмечалось, обычно число уравнений системы (7-2) превышает число неизвестных и из-за погрешностей измерений нельзя найти такие значения измеряемых величин, чтобы одновременно удовлетворились все уравнения, даже если они сами по себе точно известны. Поэтому уравнения (7-2) в отличие от обычных математических уравнений принято называть условными. При подстановке в условные уравнения (7-2) найденных каким-то путем значений
неизвестных по отмеченным причинам получим
~ ~ ~ |
=νi |
¹ 0. |
Fi (A, B,C,...)- li |
Величины νi принято называть невязками. Всеобщее признание получило
такое решение условных уравнений, которое приводит к минимуму сумму квадратов невязок. Это предложение было сформулировано и впервые опубликовано Лежандром и называется принципом Лежандра; осуществляется этот принцип методом, который получил наименование метода наименьших квадратов.
Методу наименьших квадратов и его применениям при измерениях посвящена обширная литература. Теоретически показано, что при нормальном
распределении погрешностей метод наименьших квадратов приводит к оценкам неизвестных, удовлетворяющим принципу максимума правдоподобия, т. е. наиболее вероятным оценкам [56].
Мы остановимся на практическом применении метода наименьших квадратов. Сначала рассмотрим применение метода для измерений, при которых условные уравнения являются линейными и точными. Для сокращения записей возьмем случай с тремя неизвестными.
Пусть система условных уравнений имеет вид
Axi + Byi + Czi = li (i =1,...,n,n > 3), |
(7-3) |
причем A , B , С — искомые неизвестные, xi , yi , zi , li |
— результаты i -го |
наблюдения и известные коэффициенты.
В общем случае число неизвестных m , причем т<п; если m = n , то система условных уравнений решается однозначно, хотя получающиеся результаты и отягощены погрешностями.
Если в (7-3) подставить какие-то оценки измеряемых величин ~ , ~ , ~ , то
A B C
получим невязки
|
|
|
ν i |
= |
~ |
+ |
~ |
~ |
− li . |
|
|
|
A x i |
B y i |
+ C z i |
||||
Найдем оценки |
~ |
~ |
~ |
из условия |
|
|
|||
A , B |
, C |
|
|
n
Q = åνi2 = min .
i=1
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы ∂∂QA = ∂∂QB = ∂∂QC = 0 .
Найдем эти частные производные и приравняем их нулю:
∂Q |
n |
~ |
~ |
~ |
− li )xi = 0, |
∂A |
= 2å(Axi |
+ Byi |
+ Czi |
||
i =1 |
|
|
|
− li )yi = 0, |
|
∂Q |
n |
~ |
~ |
~ |
|
∂B |
= 2å(Axi |
+ Byi |
+ Czi |
||
i =1 |
|
|
|
− li )zi = 0. |
|
∂Q |
n |
~ |
~ |
~ |
|
∂C |
= 2å(Axi |
+ Byi |
+ Czi |
||
i =1 |
|
|
|
|
Отсюда получаем систему так называемых нормальных уравнений:
~ n |
2 |
~ n |
|
|
~ n |
|
|
n |
|
Aåxi |
+ Båxi yi + Cåxi zi = åxili , |
|
|||||||
i =1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
i =1 |
|
|
~ n |
|
~ |
n |
2 |
~ n |
|
|
n |
|
Aåyi xi + B |
å yi |
+ Cå yi zi = åyili , |
|
||||||
i =1 |
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
i =1 |
|
|
~ n |
|
~ |
n |
|
~ n |
|
2 |
n |
|
Aåzi xi + Båzi yi + Cåzi |
= åzili . |
|
|||||||
i =1 |
|
|
i =1 |
|
i=1 |
|
i =1 |
|
|
При написании нормальных уравнений часто пользуются |
|||||||||
обозначениями Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
åxi2 = [xx], |
åxi yi = [xy] и т. д. |
|
|||||||
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
åxi yi = åyi xi , т.е. [xy]= [yx]. |
|
||||||||
i=1 |
i =1 |
|
|
|
|
|
|
||
В обозначениях Гаусса нормальные уравнения принимают более |
|||||||||
простой вид: |
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
[xl], ü |
|
||||
|
[xx]A + [xy |
]B |
+ [xz]C |
|
|||||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
ï |
(7-4) |
|
[xy]A + [yy]B |
+ [yz]C |
= [yl],ý |
||||||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
= |
|
ï |
|
|
[xz]A + [yz |
]B |
+ [zz]C |
[zl]. ï |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
Нужно обратить внимание на две хотя и очевидные, но важные
особенности матрицы коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (7-4):
1.Матрица этих коэффициентов симметрична относительно главной диагонали.
2.Bсe элементы главной диагонали положительны.
Эти свойства являются общими, они не зависят от числа неизвестных,
но в данном примере показаны применительно к случаю с тремя неизвестными.
Число нормальных уравнений равно числу неизвестных, и их решение
известными методами дает интересующие нас оценки измеряемых величин. Наиболее кратко решение записывается с помощью определителей:
~ |
D |
~ |
|
Dy |
~ |
|
D |
|
|
A = |
x |
, B |
= |
|
, C |
= |
z |
, |
(7-5) |
D |
D |
|
|||||||
|
|
|
|
|
D |
|
где
[xx] [xy] [xz]
D = [yx] [yy] [yz] .
[zx] [zy] [zz]
Определитель Dx получают из главного определителя системы D
путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном ~ а столбец со
A
свободными членами:
[xl] [xy] [xz]
Dx = [yl] [yy] [yz].
[zl] [zy] [zz]
Определители Dy и Dz находят аналогично, т. е. путем замены на указанный столбец второго и соответственно третьего столбца.
Теперь нужно оценить погрешности полученных результатов. Задача решается в том случае, когда из числа непосредственно измеряемых величин можно выделить одну, погрешность измерения которой существенно превышает погрешности измерений остальных. Условные уравнения тогда преобразуют так, чтобы величина, измеряемая с наибольшей погрешностью, была выделена в свободный член li .
Результаты наблюдений xi , yi , zi тогда считаются точными. В этом случае
оценки дисперсий найденных значений неизвестных можно вычислить, пользуясь формулами:
~ |
D |
|
ü |
|
|
S2 (A)= |
11 |
S2 , ï |
|
||
|
D |
|
ï |
|
|
~ |
D |
|
|
||
|
ï |
|
|||
S2 (B)= |
22 |
S2 |
,ý |
(7-6) |
|
D |
|||||
~ |
|
ï |
|
||
D |
|
ï |
|
||
S2 (C )= |
33 |
S2 |
,ï |
|
|
D |
|
||||
|
|
þ |
|
где D11 , D22 , D33 — алгебраические дополнения элементов [хх], [уу] и [zz]
определителя D соответственно (они получаются путем удаления из матрицы определителя D столбца и строчки, на пересечении которых находится данный элемент), S2 — оценка дисперсии условных уравнений.
Оценка дисперсии условных уравнений вычисляется по формуле
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
åνi2 |
|
(7-7) |
|
|
|
S2 = |
i =1 |
, |
|
|
|
|
|
n - m |
|
|
где νi — невязка условного уравнения, |
полученная при подстановке в него |
|||||
оценок |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
A , |
B |
, C . |
|
|
|
На практике не всегда погрешности измерений всех величин много меньше погрешности измерения величины, выделенной в правую часть условных уравнений. Тем не менее и в этих случаях желательно пользоваться уравнениями (7-6) и (7-7), дающими простое решение задачи. Вычисление
оценки дисперсии
Поскольку |
A0 , B0 ,C0 — неслучайные величины, то S |
2 |
~ |
2 |
~ |
S |
2 |
~ |
2 |
~ |
|
(A)= S |
|
(a ), |
|
(B)= S |
|
(b ) |
и т. д.
В принципе, получив ~ ~ ~ можно сделать второе приближение и т. д.
A, B,C
Наряду с рассмотренным общим методом линеаризации условных уравнений пользуются также методом подстановок [61 ]. Так, если условное
уравнение имеет вид
y |
= x sin A + z |
e−2B , |
|
|
i |
i |
i |
|
|
где x, y, z — непосредственно измеряемые |
|
величины, а А, В |
требуется |
|
определить, то можно сделать подстановку |
|
|
|
|
U = sin A, E = e−2B . |
|
|||
Тогда получим линейное условное уравнение |
|
|||
|
yi = xiU + ziU . |
|
||
|
~ ~ |
|
|
используя |
Решение этих уравнений дает u, E и оценки их дисперсий, |
которые, затем можем найти искомые величины А, В.
Метод подстановок удобен, однако возможен не во всех случаях.
В принципе можно представить себе еще один общий метод решения системы уравнений в условиях, когда число уравнений превышает число неизвестных. Этот метод таков.
Возьмем из всех имеющихся у нас условных уравнений группу уравнений, такую, чтобы число их было равно числу неизвестных. Такая группа дает определенное значение для каждого из неизвестных.
Затем, заменяя поочередно уравнения группы на каждое из не вошедших в группу, получим другие значения тех же неизвестных. Независимо от способа комбинирования уравнений необходимо перебрать все возможные их сочетания и для каждого найти значения неизвестных. В результате таких вычислений получим для каждого неизвестного группу значений, которую можно рассматривать как группу наблюдений, полученную при прямых измерениях.
Все значения в группе равноценны, однако, к сожалению, их нельзя считать независимыми. Это создает трудности в оценке дисперсии полученных значений неизвестных.
Возьмем, к примеру, искусственный случай. Предположим, мы имеем группу наблюдений
x ,..., x . Все x независимы, M [x ]= A , |
D[x ]= σ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
n |
i |
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Введем случайную величину |
|
|
|
yk = |
xi |
+ xj |
и найдем первые два момента yk , зная их для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
xi (i ¹ j): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M [y |
k |
]= M é |
xi + xj |
ù = |
1 (Mx + Mx |
j |
) |
= A, |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ê |
2 |
|
|
ú |
2 |
i |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D[y |
|
|
]= D |
é xi + xj |
ù |
= 1 (Dx + Dx |
|
)= σ 2 . |
|||||||||
|
|
|
k |
ê |
|
|
|
ú |
j |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
i |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
|
|
||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [xi ]= M [yk ]= A, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D[xi ]= 2D[yk ]= σ 2. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следовательно, |
обрабатывая |
|
|
группу |
yk (k =1,...,r), можно |
|
найти параметры величины |
xi (i =1,...,n). Имея в виду приведенные соотношения, нужно считать,
что оценкой математического ожидания X будет оценка математического ожидания Y , а чтобы найти оценку дисперсии X, надо удвоить оценку дисперсии Y.
Число случайных величин yk будет |
|
|
|
|
|
r = Cn2 = 2 |
n! |
|
= |
n(n −1) |
. |
2(n − 2) |
|
||||
|
2 |
|
Следовательно, r > n при n > 4 . Ясно, что данная процедура может быть оправдана только при значительном числе наблюдений.
К сожалению, в представляющих интерес случаях поправочный коэффициент к оценке дисперсии найти нелегко.
7-4. Применение метода наименьших квадратов для нахождения параметров эмпирических формул
Цель почти всякого естественно-научного исследования состоит в установлении закономерностей в явлениях материального мира, а измерения являются тем характерным методом, который дает объективные данные для достижения этой цели.
Закономерные связи между физическими величинами, устанавливаемые на основании результатов измерений, желательно представить в аналитическом виде, т. е. в виде формул. Первоначальный вид формул обычно устанавливается на основе неформализованного анализа совокупности полученных данных. Одной из важных предпосылок анализа является предположение, что искомая зависимость должна выражаться плавной кривой: обычно физическим закономерностям отвечают гладкие кривые.
Выбрав вид формулы, ее параметры затем находят путем
интерполяционного приближения получаемой формулы к эмпирическим данным, причем чаще всего на основе метода наименьших квадратов.
Данная проблема имеет большое значение, и ей посвящен ряд работ как математического, так и прикладного характера [61]. Мы остановимся лишь на некоторых аспектах решения данной задачи, связанные с применением метода наименьших квадратов. В основе применения этого метода лежит допущение, что критерием оптимального выбора искомых параметров можно
считать минимум суммы квадратов отклонений эмпирических данных от полученной кривой. Очень часто это допущение оправдано, но не всегда. Например, иногда требуется провести кривую так, чтобы она точно прошла через все заданные точки. Последнее естественно, если координаты упомянутых точек заданы как точные. Задача решается методами интерполяционного приближения, причем известно, что степень интерполяционного полинома будет лишь на единицу меньше числа упомянутых точек.
Иногда минимизируется максимальное отклонение экспериментальных данных от кривой. Однако, как было отмечено, чаще всего минимизируют сумму квадратов указанных отклонений,