Медведев Е.М., Данилин И.М., Мельников С.Р., 2007 - Лазерная локация земли и леса. Учебное пособие

ляют не менее 100 м (рис. 22). С учетом этого обстоятельства можно полагать:

RH = 0.5φH.

Термин «эффективный» применительно к величинам DH, RH, φ означает, что они определяются на таком расстоянии от оси ла-

зерного луча, на котором интенсивность излучения убывает до величины 1/e = 0.368 от максимального значения.

Перейдем к выводу аналитической зависимости, описывающей распределение

поверхностной плотности потока в поперечном сечении лазерного луча. Обозначим через W(t) мгновенное значение выходной

мощности излучателя на выходном зрачке. Это значение будем отождествлять с пото-

ком Ф(t), переносимым лазерным лучом сквозь свое поперечное сечение. Для оценки распределения энергии излучения в пространстве будем пользоваться понятием поверхностной плотности потока излучения:

E=ddSФ.

Сделаем несколько предварительных замечаний относительно величины

E:

1) значение E очевидно является функцией времени t. Более конкретно, значение E в каждой точке пространства в определенный момент времени t

прямо пропорционально мгновенной мощности излучения W(t). В дальнейшем

будем обозначать E и все связанные с ней величины без ссылки на время.

51

Данное выражение удовлетворяет двум главным условиям:

x=+∞ y =+∞

∫∫E(x, y)dxdy = ФH

1)x=−∞ y =−∞

2)E(x = RH,y = 0) = 0.368 E(x = 0, y = 0).

Первое условие выражает тот факт, что общее количество энергии, сосредоточенное на площади поперечного сечения, равно полному потоку ФH, падающего на это сечение.

Второе условие определяет значение RH как эффективный радиус сечения луча, т.к. на границе зоны, определяемой этим значением, величина плотности

потока падает в e раз по отношению к максимуму.

Величины RH и φ связаны соотношением RH = 0.5φH. С учетом этого факта и вышеизложенных соображений может быть найдена искомая функциональная зависимость, определяющая значение E для произвольной точки пространства:

3.2. Отражение лазерного луча от наземных объектов

Здесь и в дальнейшем исследуется отражение лазерного луча от объектов

цилиндрической формы с относительно малым сечением. Примерами таких

объектов могут выступать ветви деревьев, провода или тросы ЛЭП и др.

При описании процесса отражения лазерного луча от проводов первостепенное значение имеет корректное использование понятия «коэффициента отражения» ρ. Величина ρ в общем случае является двунаправленной, она зависит как от угла падения, так и от направления отраженного излучения. Кроме

того, определенную трудность создает тот факт, что падающее излучение мы условились характеризовать величиной E, являющейся производной от вели-

чины потока по площади, в то время как подобная величина неприменима для характеристики отраженного излучения. Поэтому начнем с формального введения понятия коэффициента отражения применительно к задачам настоящего

исследования.

Введем следующие обозначения:

Фпад – величина потока, падающего под некоторым углом на площадку малой площади dS.

Фотр – величина потока, отраженного от площадки во всю полусферу. Исходя из введенных определений, полусферическим коэффициентом от-

ражения ρ , может быть названа величина:

52

Фотр

ρ= Фпад .

Квведенному таким образом коэффициенту ρ применимо соотношение –

ρ+ α = 1, где α коэффициент поглощения. Величины ρ и α являются безразмерными.

Перейдем к определению направленного коэффициента отражения ρm. Сразу оговорим, что в дальнейшем будет проведен количественный анализ

только отражения диффузного типа по причинам, которые будут рассмотрены ниже. Диффузное отражение, в частности, характеризуется тем, что индикатриса отраженного излучения не зависит от угла падения, а зависит только от величины потока. Это обстоятельство позволяет уже сейчас рассматривать ρm как однонаправленную величину, зависящую

только от угла отражения βотр.

Обратимся к рисунку 24. Будем облу-

чать бесконечно малую площадку dS потоком со значением поверхностной плотности потока E перпендикулярно к поверх-

∂2Фотр

∂S∂Ω

ρm = E .

Величина ρm имеет размерность ср–1.

Представим два важных соотношения с участием ρm, имеющих практическое значение:

∫∫ρmdΩ = ρ

Как будет показано ниже, это соотношение позволяет в определенных слу-

чаях оценить значения ρm по ρ. Значения ρ для многих материалов могут быть

получены из справочников.

Интенсивность отраженного излучения –

∂2Фотр

Rm = ∂S∂Ω ,

53

может быть найдена по формуле Rm = ρmE cos(βпад), где βпад – угол между на-

правлением потока излучения и вектором нормали к поверхности в точке падения.

Выражение может быть уточнено, исходя из априорных знаний, по харак-

теру диффузного отражения, а именно ρm не зависит от угла падения βпад и зависит только от угла отражения βотр, который также измеряется по отношению

нормали к облучаемой поверхности. Кроме того, априорно известно, что ρm выражается формулой ρm = ρ0 cos(βотр), где ρ0 – значение направленного коэффициента отражения в направлении перпендикуляра к поверхности.

Оценим значение ρ0 следующим образом. Введя сферическую систему координат, где α угол отклонения от нормали, а θ угол места имеем – dΩ = sin(α)dα dθ.

Тогда,

Таким образом,

ρ

ρ0 = π .

Как будет показано в дальнейшем, во всех случаях нас будет интересовать отражение в сторону падения излучения, т.е. βпад = βотр = β.

Это позволяет прямо сейчас сделать одно полезное упрощение. Будем обозначать через ρR направленный коэффициент отражения в сторону падения излучения. Тогда,

∂2Фотр

∂S∂Ω

ρ0 cos(β) = E cos(β) .

Откуда

∂2Фотр

ρR = ∂S∂Ω / E = ρ0 cos2(β).

Окончательно имеем

ρR = ρ cos2 (β)

π.

Перейдем к выводу формулы, определяющей интенсивность потока, отраженного от объекта цилиндрической формы (например, провода или ветви дерева) и попадающего на входной зрачок приемника излучения. Обозначим через rпр радиус поперечного сечения такого объекта. Введем специальную систему координат, которая будет использоваться при вычислении, как показано

на рисунке 25.

54

Положение элементарного участка по-

верхности провода dS будем характеризовать его линейной координатой l вдоль оси провода и углом θ, измеренным относительно зенитного направления.

Очевидно, что dS = rпр dθ dl. Необходимо сделать два замечания: 1) при вертикальном расположении ска-

нерного блока распространение падающего излучения можно считать параллельным оси

Z. Строго говоря, это не так, так как сканиро-

вание осуществляется с углами до ±25° от

вертикали. Однако в дальнейшем полагается, что объекты расположены в плоскости, перпендикулярной плоскости сканирования;

2) величина rпр может считаться малой по сравнению с эффективным радиусом луча RH при H от 100 м и более. Поэтому величина E может считаться

константой по ширине провода.

С учетом вышеизложенного вычислим величину потока в единице телесного угла, отраженного от цилиндрического элемента объекта длиной dl:

После взятия интеграла будем иметь:

dФотр = rпрρE dl dΩ 2 .

Продолжим вывод формулы, определяющий поток, отраженный от объекта цилиндрической формы. Рассмотрим объект, удаленный от оси луча на расстояние d, а начало оси l расположим в точке 0, соответствующей кратчайшему

расстоянию до оси провода (ветви дерева) (рис. 26).

Распределение поверхностной плотности потока падающего излучения

вдоль объекта будет выражаться фор-

мулой:

формулу для Rm, полученную ранее. Перед началом вывода формулы сделаем

следующие замечания:

1) при реальных высотах полета угловой размер входного зрачка приемника мал, и поэтому отраженный поток, регистрируемый приемником, может быть выражен как

55

Sпр

где Ωпр = H 2 – телесный угол, соответствующий входному зрачку приемника, Sпр – площадь входного зрачка приемника;

2) допустим следующие упрощения, которые позволят получить аналити-

ческое выражение для искомой величины:

–будем рассматривать только строго вертикальную составляющую отра-

женного излучения. Точнее было бы учитывать направление от каждой точки отражения на приемник. Однако, вариации этого направления малы, учитывая размер пятна и расстояние до приемника;

–границы интегрирования распространим на всю длину провода. Ошибка

вэтом случае будет определяться величиной потока, отраженного за предела-

ми мгновенного поля зрения приемника. Эта величина мала. Перейдем непосредственно к выводу формулы:

Интеграл в правой части этого выражения может быть вычислен аналитически:

Подставляя найденное значение в формулу для Фотр, а также принимая во внимание тот факт, что излучение претерпевает ослабление на пути от источника к проводу и обратно к приемнику, имеем окончательно:

Где, Фпр0 – поток на входном зрачке приемника при перпендикулярном облучении.

Полученная формула выражает величину потока при вертикальном облучении и полностью диффузном характере отражения. Рассмотрим другие практически важные случаи.

Прежде всего рассмотрим сканирование с наклонным положением сканер-

ного блока. Угол наклона плоскости сканирования по отношению к вертикали

будем обозначать через γ. При вычислении значения потока, вернувшегося на входной зрачок Фпрγ, будем пользоваться тем же приемом, что и в случае верти-

56

кального положения сканерного блока. Использованные формулы необходимо

скорректировать следующим образом:

а) при вычислении отклика от элементарного участка провода (ветви) dl учтем наличие угла γ следующим образом (рис. 27).

После вычисления интеграла получим:

RH

луосями, равными RH и cos(γ ) . Это позволяет записать выражение для E(l) при наличии наклона сканера в виде:

Eγ (l) = E(l cos(γ )) .

57

В соответствии с общей формулой имеем:

Таким образом, получена главная формула, определяющая значение потока при наклонном положении сканерного блока:

Фотрγ = cos(γ )Фотр0 .

Очевидно также, что значение потока, приведенного ко входному зрачку приемника, будет выражаться аналогично:

Фпрγ = cos(γ )Фпр0 .

3.3.Математическое моделирование лазерно-локационного измерения

Оптимизация режимов эксплуатации лазерного сканера проводится в рам-

ках математической модели с той или иной степенью адекватности, описыва-

ющей главные процессы, составляющие лазерно-локационное измерение, а именно:

–излучение лазерного импульса описывается параметром мгновенной мощности W(t), имеющего максимум W0, а также значением расходимости φ;

–распространение излучения в атмосфере описывается законом Бугера с

параметром μ;

–характер отражения от объекта считается диффузным, и для этого слу-

чая получено аналитическое выражение, описывающее значение отраженного потока;

–процесс регистрации потока приемником описывается с помощью един-

ственного значения Фпр, определяющего пороговое значение величины потока. Предполагается, что если мощность отраженного импульса хотя бы для неко-

торого значения t превышает Фпр, то такой импульс будет зарегистрирован.

Важнейшим практическим следствием из 4-го положения является тот факт, что можно оценивать значение потока только для максимальной мощно-

сти выходного импульса W0, так как если Wo превышает Фпр, то регистрация га-

рантирована и наоборот.

58

С учетом введенной категории математической модели процесса регист-

рации перепишем основное уравнение потока на входном зрачке приемника в виде:

Понятно, что импульс будет зарегистрирован в том и только в том случае, когда F > 0.

В представленном выражении можно выделить несколько смысловых групп параметров:

1)приемо-передатчик Фпр, W0, Sпр, φ. В рассматриваемом приближении все

три величины являются константами. Их значения могут быть определены непосредственно экспериментально либо их можно получить от производителя

лидара;

2)параметры среды – μ. Эта величина сильно зависит от состояния атмос-

феры;

3)параметры обследуемого объекта цилиндрической формы ρ, rпр.

4)условия съемки H, γ, d.

Отнесение параметра d к условиям съемки нуждается в комментарии. Если значения всех прочих параметров фиксированы, то функционал F будет больше нуля только при d < d’ (d’ может быть равен нулю, что будет означать невозможность регистрации). Это обстоятельство может быть интерпретирова-

но следующим образом. Зарегистрированными окажутся все импульсы, попав-

шие в полосу по обе стороны объекта шириной 2d’. Специфика проведения ла- зерно-локационной съемки такова, что при движении носителя вдоль объекта съемки генерируется некоторая совокупность точек с расстояниями до провода (ветви) {di}, то есть дискретная случайная совокупность значений, которая мо-

жет быть описана законом распределения, а само di может рассматриваться как

непрерывная случайная величина. Знание закона распределения {di} однозначно определит количество (вероятность появления) точек с di < d’, и, таким обра-

зом, позволит однозначно судить о количестве зарегистрированных импульсов.

Параметр d потому отнесен к группе «условия съемки», что именно условия съемки определяют распределение {di}, а именно:

V – скорость движения носителя, м/с; fскан – частота сканирования, Гц;

fим – частота зондирующих импульсов, Гц; H – высота полета;

ψ – угол (амплитуда) сканирования,°.

Далее необходимо ввести набор критериев, определяющих эффективно-

сть работы лазерного локатора. Введем численный параметр, позволяющий количественно характеризовать эффективность.

Исходя из самых общих представлений, эффективность съемки в части обнаружения провода может быть оценена по количеству лазерных импульсов, мощность отклика которых превышает Фпр. С этой целью может быть введен

следующий параметр – обнаружительная способность:

59

K = ρW

ρT [м],

где ρW – линейная плотность откликов от объекта, м–1;

ρT – поверхностная плотность всех излученных импульсов, м–2. Необходимые пояснения по введенному параметру K:

1) параметр K наиболее точно описывает эффективность обнаружения, т.к. он инвариантен по отношению к скорости полета, ширине полосы захвата, поверхностной плотности импульсов ρT ;

2)физический смысл K состоит в следующем. При выполнении съемки с поверхностной плотностью ρT равной 1 точке на м2, коэффициент K численно равен количеству отражений от провода на 1 м его длины;

3)в прикладной лазерной локации коэффициент K занимает центральное

место в методиках оценки качества съемки в части обнаружительной способности.

Для получения аналитических оценок для K необходимо получить выраже-

ние для ρW. Понятно, что эта оценка ρW будет являться статистической. Для

этой цели необходимо, в первую очередь, получить закон распределения вероятности удаления центральной точки импульса от объекта.

Проведем две параллельные полосы 1 и 2 соответственно на расстояниях d1 и d2 от объекта (рис. 29).

N – имеет размерность м–1. Коэффициент 2 появляется потому, что рассматриваются две полосы с обеих сторон объекта, расположенные на расстоянии d. Как было отмечено выше, зарегистрированными окажутся те и только те

импульсы, которые при данных условиях съемки будут иметь di < d’. С учетом этого обстоятельства:

ρW = ∂∂N d ' = 2ρT d ' d .

И с учетом этого

60