5.Числовая последовательности и ее предел.

Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

Последовательность {xn} называют ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число m) такое, что каждой элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенству xn<М (xn>m).

Последовательность {xn} называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если существуют два вещественных числа M и m такие, что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравенствам m<xn<М. (2)

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

6. Предел функции в бесконечности и в точке

Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

7.8. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ,определение и свойства

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция наз-я бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно.

9. Основные теоремы о пределах

1. Предел константы равен самой этой константе: с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: [ k • f (х)] = k • f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: [ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций: [ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: