38. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде  , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на  :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x₀ y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).

Значения x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —  , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

41.42. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет следующий вид:

Общее решение

Из систем (87) можно определить постоянные с1и с2. и тем самым найти частное решение

удовлетворяющее уравнению (85) и заданным начальным условиям Заметим, что при решении конкретных задач, как правило, наряду с дифференциальным уравнением участвуют те или иные начальные условия (88), так как решение таких задач должно быть однозначным.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида коэффициенты которого p(x) и q(x)– непрерывные функции

Два решения y1 иy2 называются линейно независимыми, если можно подобрать постоянные числа b1 и b2 , не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и y2 называются линейно независимыми, т.е. если функции y1 и y2 линейно независимые и имеет место тождество (90), то

43.44. Понятие числового ряда, сходимость

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:

Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .

При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если то ряд расходится.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.

Ряд гармонический и другие

1

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда

Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т.е. для которого

Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством un = 2un-1un+1

un-1 + un+1 .

Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.

В курсе математического анализа гармонический ряд является основным и играет не менее значительную роль, чем убывающая геометрическая последовательность.