Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

649.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

числяет проценты. Обозначим через p количество процентов, начисляемых за год. Обычно про такую процентную ставку говорят, что она p % годовых. Если промежуток времени, за который начисляются проценты, меньше, чем год, например 1/n от года, то за этот промежуток времени банк начислит p/n %. Например, может быть ежеквартальное начисление процентов, тогда за каждый квартал будет начислено p/4 %. Иногда применяют ежемесячное начисление процентов. В этом случае за каждый месяц банк будет начислять p/12 %. В принципе, возможна и ситуация с ежедневным начислением p/365 %.Возможны различные ситуации начисления процентов:

1)с капитализацией (когда проценты прибавляются к основному вкладу и тоже участвуют в начислении процентов в последующие временные промежутки),

2)без капитализации (проценты переводятся на отдельный беспроцентный счет

или выплачиваются вкладчику, так что основной вклад остается неизменным). Рассмотрим вначале второй случай. Пусть вклад находится nt временных промежутков, за каждый из которых банк начисляет p/n %, при ставке p % годовых. После первого промежутка банк начислит Np/100n рублей (множитель 100

взялся из-за перевода процентов в доли от единицы, то есть 10% соответствует 0.1 доле), после второго еще Np/100n и так далее. Спустя nt временных промежутков к основному вкладу N рублей дополнительно можно получить Npnt/100n рублей. Если вклад хранится Y лет, то nt=Yn и сумма вклада и процентов за этот срок составит N(1+Yp/100) рублей. Рассмотрим теперь ситуацию с капитализацией процентов к основному вкладу. В этом случае за первый временной промежуток к вкладу будет добавлено Np/100n рублей, что в итоге составит общую сумму N(1+p/100n). Другими словами, вклад увеличится в (1+p/100n) раз. То же

самое произойдет после второго, третьего и последующих временных промежутков. Через nt временных промежутков сумма вклада составит N(1+p/100n)n, а через Y лет N(1+p/100n)Yn. Такой способ начисления процентов обычно называют начисление сложных процентов. В качестве n можно брать единицу при ежегодной капитализации, 4 - при ежеквартальной, 12 - при ежемесячной, 365 - при ежедневной. В принципе, можно поставить задачу о непрерывном начисле-

нии процентов, то есть когда n→∞. В этом случае мы приходим к необходимо-

сти вычисления предела последовательности

Заменой

lim N 1+

100n

n→∞

Ypn 100

&n&&

100

Y p

n =100

он сводится к пределу: lim N 1 +

=lim N

1 +

= N e100 .

&n&&→∞

И хотя непрерывный способ начисления процентов, как правило, не применяется в банках, тем не менее может оказаться полезным в ряде задач при анализе долгосрочных прогнозов. Возьмем p=10% годовых, срок вклада Y =1 год, начальная сумма N=1 ден.ед. В таблице приведена сумма вклада при различных способах начисления процентов (без капитализации / с капитализацией) и различных периодах выплаты процентов (ежегодно, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно и непрерывное начисление).

	n=1	n=4	n=12	n=365	N=∞

Без капитализа-	1.1 ден.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.	1.1 ден. ед.
ции	ед.

С капитализаци-	1.1 ден.	1.10381 ден.	1.10471 ден.	1.10516 ден.	1.10517 ден.
ей	ед.	ед.	ед.	ед.	ед.

Например, начальный размер вклада под 10% годовых в банке составил 1 млн рублей. Найдем размер вклада через 5 лет: а) без капитализации процентов, б) с ежегодной капитализацией, в) с ежеквартальной капитализацией, г) с ежемесячной капитализацией, д) с ежедневной капитализацией, е) с непрерывной капитализацией. В данном случае:

а) 1 млн рублей (1+5 лет × 10 %/100)=1.5 млн рублей;

б) 1 млн рублей [1+(10 %/100)5 лет]=1.611 млн рублей; в) 1 млн рублей [1+(10 %/100)5 лет×4]=1.639 млн рублей;

г) 1 млн рублей [1+(10 %/12×100)5 лет×12]=1.645 млн рублей;

д) 1 млн рублей [1+(10 %/12×365)5 лет×365]=1.649 млн рублей;

е) 1 млн рублей e5 лет×10%/100=1.649 млн рублей.

Другая задача - это вопрос о рыночной цене бессрочной облигации номиналом, например, 1000 рублей и 5% купоном. Это означает, что каждый год ее владелец будет получать 50 рублей дохода с одной облигации. Здесь используется ситуация начисления процентов без капитализации, рассмотренная выше. Однако пусть имеется инфляция 2% в год, которая обесценивает как саму облигацию, так и доходы от нее с течением времени. Доход 50 рублей, полученный через год, будет эквивалентен 50/(1+0.02) рублей сейчас, полученные еще через год 50 рублей будут эквивалентны 50/(1+0.02)2 рублей в современных ценах и так далее. Если считать доход от облигации без учета инфляции, то он будет расти до бесконечности, каждый год увеличиваясь на 50 рублей. С учетом же инфляции мы должны рассчитывать стоимость дохода, привязавшись к какомуто определенному моменту времени. Проведенные выше рассуждения имели привязку к текущему моменту времени и расчет дохода проводился исходя из текущей покупательной способности рубля. В итоге с учетом обесценивания денег бессрочный доход, получаемый с облигации в ценах текущего момента

				∞		50	. Запишем
времени, будет даваться бесконечным числовым рядом ∑						50
времени, будет даваться бесконечным числовым рядом ∑					(1	+ 0.02)k
				k =1	(1	+ 0.02)k
его в виде	∞	1
	50 k∑=1		−1	. Здесь постоянный множитель 50 в каждом слагае-
	50 k∑=1	(0.02)k	−1	. Здесь постоянный множитель 50 в каждом слагае-

мом вынесен за знак ряда, а суммирование ряда начато не с k=1, а с k=0 (чтобы привести его к ряду, составленному из членов геометрической прогрессии, начиная с единицы). Добавление члена ряда с k=0 скомпенсировано вычитанием единицы в скобках. Используя известную формулу для суммы геометрической


			1
прогрессии, можем записать 50			1	−1	= 2500	рублей. Именно такой до-
прогрессии, можем записать 50			1	−1	= 2500	рублей. Именно такой до-
	1	−	1

			1.02
			1.02

ход в ценах сегодняшнего дня за бесконечный промежуток времени мы получим с одной облигации. Подобные задачи возникают при необходимости спрогнозировать и сравнить две стратегии инвестиций на будущее.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

I)Исследовать сходимость рядов и определить, условно сходятся ряды или абсолютно.

01.01. 2ln12(2)+3ln12(3)+ 4ln12(4)+...;

01.03. 1− 12 + 13 − 14 +...;

01.05. 321−1 + 521−1 + 721−1 +... ;

01.07. 23 + 94 + 276 + 818 +... ;

01.09. 1+					3			+		32						+			33			+...;
			2 3							22
														5 23							7
01.11. 1+				1 2				+			1 2 3							+...;

					15							225
01.13.		1	+					5				+		9						+ 13				+...;
	3						2 32										3 33
																							4 34
	1									1				1							1
01.15.						+							+								+			+...;
		ln(2)							ln(3)								ln(4)						ln(5)
01.17.		1			+			1				+			1					+... ;
	1 4						4			7					7 10

01.02. 1+		1	+			1		+		1	+...;
		4					7			10
01.04.	1		+				1			+	1		+...;
	2					+ 2			2		+3	2
1	+1			1						1
01.06. 1	+	1 +		1 + 1					+...;
		3		5			7
01.08. 1	+	2	+		4		+	8		+...;
		2!		3!				4!

01.10.1+12!2 +1 4!2 3 +...;

01.12.12 + 34!! + 65!! + 87!! +...;

01.14.1+ 215 + 3 152 + 4 153 +... ;

01.16.112 + 213 + 314 +... ;

01.18. 213 + 323 + 433 +...;


01.19. 1		−	1		+			1		−		1	+...;			01.20.			1			−		1			+	1			−...;
01.19. 1		−		32	+		52			−	72		+...;			01.20.	2 ln(2)					−	3 ln(3)				+		4 ln(4)		−...;
01.21.	sin(α)				+sin(2α)+sin(3α)										+...;	01.22. 1		+	1		+			1	+...;
		1							22					32					3		3		5	5
01.23.	1	+		1		+			1			+	1	+...;		01.24.		1			+		1			+		1		+...;
01.23.	1	+	101			+		201				+		+...;		01.24.		+14			+		+ 24			+		+34		+...;
			101					201				301				1		+14			1		+ 24		1			+34
01.25.	1	+	3 +			5		+		7		+...;				01.26. 1		+		1	+		1	+	1			+...;
01.25.	1	+	3 +			9		+	16			+...;				01.26. 1		+	42		+			+	102			+...;
			4			9			16										42		72				102

01.27. 1 +	3	+	5	+	7	+... ;	01.28. 2	+		4	+			6	+...;
	22		23										5!
2				24			1	3!
01.29. 1−	1	+	1	−... ;			01.30. 1−		1			+		1		−	1	+...
	3		5						3					3			3
								2						3	4
II) Определить радиус сходимости рядов.
02.01. 1-3x+9x2-27x3+…;							02.02. 1+3x+5x2+7x3+…;

02.03. 1− x + x2 +...; 3 32

02.05. x − x2 + x3 −...; 1 2 3

02.07. x + x2 + x3 +...; 22 23 24

02.09. 1−5 x2 +52x3 3 −53x5 4 +...;

02.11. x − x2 + x3 −...; 22 32

02.13. ∑ 2	n	x	n
02.13. ∑ 2		x	;
∞

n=1 5n (3n −2)

02.04. x + x2 + x3 +...; 53 54 55

∞ xn

02.06. ∑

;

n=1 n!

02.08. x +

+...;

2 4

3 42

02.10. 1+

4x2

8x3

+...;

02.12. ∑ x

n−1

;

∞

n=1

∞ 2n xn−1

02.14. ∑

3n n

;

n=1

02.16.

∞

;

∑

02.15. 1+ 3 2 + 32 3 + 33 4 +...;

n=0 (n

+1)!

02.18.

02.17.

−

(x)

+ (x)

+... ;

1−

2 x

+...;

−

2 2

3 3 3

4 4 +

02.19. x +

+...;

02.20.

1−

−

+...;

02.21. x3 +

+...;

02.22.

4 x2

+ 8 x3

+...;

1+ x3

+ x3 )2

9 52

13 53

∞

xn−1

∞

;

02.23. ∑

;

02.24. ∑

n=1

n=110n

∞

2n−1

02.25. ∑(−1)n−1

;

02.26.

+...;

3 2

2n −1

n=1

1 2

02.27. 2x+1+(2x+1)2

+(2x+1)3

+...;

02.28. 1− x + x2

− x3

+...;

02.29. 1-4x+7x2-10x3+…;

02.30. 1+2x+3x2 +4x3+…

III) Разложить в ряд Маклорена следующие функции

03.01. y=cos(x+4);

03.02. y=cos2(x);

03.03. y=exp(-x2);

03.04. y=ln(1+x);

03.05. y=cos(x-1);

03.06. y

=x exp(x);

03.07. y=ln(5-2x);

03.08. y=sin(x+3);

03.09. y=sin(x+1);

03.10.y=cos[(1+x)/2];

03.11. y=cos(3+x/2);

03.12. y=cos(3+x/2);

03.13.y=cos(x)+sin(x);

03.14. y=ln(2+x);

03.15. y=cos(1+x);

03.16. y=cos(x)+ln(x);

03.17.y=sin(x)+exp(x);

03.18. y=cos(x)+ sin(x);

03.19. y =

1+ x2 ;

20. y = (1+ x2 )1,5 ;

03.21. y =sin(

1+ x);

03.22. y=cos(5x)+sin(x);	03.23. y=sin(x)+cos(3x);	03.24. y=sin(2x)+cos(x);
03.25. y=ln(1-x);	03.26. y=cos(1-x);	03.27. y=sin(x/2);
03.28. y=sin(1+x);	03.29. y=x2cos(x);	03.30. y=sin(1-x).

IV) Найти значения рассмотренных в предыдущем задании функций в точке x = 0,1 с точностью до 10-4.

V) Используя представление функции в виде степенного ряда вычислить пре-

дел или интеграл, или найти решение дифференциального уравнения.

05.01.
		−
lim	9 + x	−	9 − x	;
lim	x2 + 6x			;
x→0	x2 + 6x

05.04. ∫e−x2 d x ;

05.07. y"= x2 y ;

05.10. ∫[1+ln(x+1)]d x;

10 x2 05.13. lim ( );

x→0 1 −cos x

05.16.

∫ x12 ln (x +1)d x ;

05.19. ∫ cosx(x)d x ;

05.22. x3 y'''+x2 y' =1;

05.25.

05.02.

lim sin(3x)+sin(5x);

x→0 6 x

05.05. y"= x + y ;

05.08. ∫ 1+x3 d x ;

05.11. lim	3x tg (x)	;
05.11. lim	sin2 (x)	;
x→0	sin2 (x)
05.14. lim1−cos(2 x)			;
x→0	x2
05.17.
lim cos (3x)−cos (5x)				;
x→0	6 x2

1−cos(6x) 05.20. lim ( );

x→01−cos 4x

05.23. ∫x−3 ln(x +1)d x;

05.26.

05.03.
	1		π
∫		sin x +	cos (x)d x ;
∫	x2	sin x +	cos (x)d x ;
	x2		6

05.06. x y"+y'+x y = 0 ;

05.09. y'= x2 + y2 ;

05.12. lim	2 −	x	;
05.12. lim	6x +1 −5		;
x→4	6x +1 −5

05.15.∫cos x2 d x ;

05.18.

∫ 1x sin (x)cos(x)d x ;

05.21. ∫3 1+ x2 d x ;

05.24. y'(x2 −4)= 2x y ;

05.27.

cos(2x)−4cos(x)

−

∫

ln (x +1)d x ;

xlim→π 2

;

lim

−

;

x→0

05.28. y"+4 y' = 0 ;

05.29.

y'=1+ x − y2 ;

05.30.

y'= y − x .

VI) Разложить в ряд Фурье следующие функции на интервале x [-a,b]

06.01. y = cos(x-α), α=const, x [-π,π];

06.03. y=cos(x-α), α=const, x [-π,π];

06.05. y=ex-1, x [-π,π];

06.07. y=sin(x) exp(x), x [-π,π] ;

	2
	x , −π≤x≤0			, x [-π,π];
06.09.	y = 2	2	≤x≤π	, x [-π,π];
	π	−x , 0	≤x≤π

06.11. y=x2cos(x), x [-π,π];

06.13. y=x sin(x), x [-π,π];

06.15. y=cos(a x), x [-π,π];

06.17. y = π, −π ≤x ≤0				, x [-π,π];
π −x, 0 ≤x ≤π
	x	, −π≤x≤0
1+
1+	π
06.19. y =	π			, x [-π,π];
	x	, 0≤x≤π
1−		, 0≤x≤π
	π
	π
06.21. y=cos2(x), x [-π,π];
06.23.
cos (x),	0 ≤ x ≤π		, x [0,2π];
y =	π ≤ x ≤ 2π		, x [0,2π];
0,	π ≤ x ≤ 2π

06.02. y=sin(x-α), α=const, x [-π,π];

06.04. y=x cos(x), x [π/4,3π/4];

06.06. y=sin(x-α), α= const, x [-π,π];

06.08. y=cos(x) cos(x), x [-π,π];

sin(x), 0≤x≤π

06.10. y = , x [0,2π];

0, π≤x≤2π

06.12. y=cos(3x+5), x [-π/4,π/4];

06.14. y=x2, x [-π,π];

06.16. y=sin2(x), x [-π,π];

06.18.	x, −π ≤ x ≤0									, x [-π,π];
06.18.	y =									, x [-π,π];
	x2,			0 ≤ x ≤π
			≤x≤				π
	x, 0		≤x≤				3
06.20. y =					π		3			, x [0,π];
06.20. y =										, x [0,π];
	π−x			,		≤x		≤π
		2		,	3	≤x		≤π
		2			3
06.22. y=x3, x [-π,π];
06.24.
0,		0 ≤ x			≤π				, x [0,2π];
y =		π	≤ x ≤ 2π						, x [0,2π];
sin(x),		π	≤ x ≤ 2π


			x 2
	1+			, −π≤x≤0

06.25.			π		, x [-π,π];
	y=		x 2

	1−			0≤x≤π
		π

06.27. y=x3sin(x+7), x [-π,π];

06.29. y=x2, x [-π,π];

	3			π
x		, 0≤x≤		2
06.26. y=		(π−x)2			, x [0,π];
			,	π	≤x≤π
π
		2		2

06.28. y=|x|3, x [-π,π];

06.30. y=x ex, x [-π,π].

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1.Шилов, Г.Е. Математический анализ / Г.Е. Шилов. - М.: Издательство

“Лань”, 2015. 912 с.

2.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа (в двух томах) / Г. М. Фихтенгольц. - М.: Издательство “Лань”, 2015. 912 с.

Дополнительная литература

1.Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер. -

М.: Юнити, 2008. 480 с.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2004. 336 с.

3.Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2005. 336 с.

Евгений Леонидович Панкратов Елена Алексеевна Булаева

РЯДЫ

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского». 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 1,2. Уч.-изд.л. Заказ № . Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

603000, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37

Лицензия ПД № 18-0099 от 14.05.01

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.2022954 Кб4Определенный интеграл.pdf
#
28.06.2022570.37 Кб11Приложение определенного интеграла.ppt
#
28.06.2022364.03 Кб19ряды 1.ppt
#
28.06.2022501.76 Кб2ряды 2.ppt
#
04.10.2022218.11 Кб2Ряды найти интервал сходимости математический анализ амгу.doc
#
28.06.2022649.77 Кб6Ряды.pdf
#
11.08.20221.87 Mб10Ряды.pptx
#
11.08.20227.75 Mб7Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.pptx
#
28.06.20227.75 Mб2Числовые ряды.pptx