Приложение определенного интеграла
Среднее значение функции.
Определение:
Средним значением функции y=f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] называется число:
yср b 1 a b f (x)dx
a
Пример 1
Условие:
Пусть t(x) – функция, которая описывает изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от системы освоения производства, х – порядковый номер изделия в партии. Найти среднее время, затрачиваемое на изготовление одного изделия
Решение:
Площадь плоской фигуры
b |
d |
S f (x)dx |
S ( y)dy |
|
c |
a |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
(x) f1 (x))dx |
|||
S |
f (x)dx |
S |
( f2 |
|
a |
a |
Условие.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох, прямыми х=1, х=4
и кривой |
y 1 x2 |
|
4 |
Решение
|
, |
|
|
Условие |
, |
|
|
|
y sin x |
x [0,2 ] |
|
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой: y 0 |
|||
Решение
Условие
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение
Площадь криволинейного сектора
S1 f ( ) 2 d
2
Условие: . 1 cos
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S 2 12 0 (1 cos )2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d |
2 cos d cos2 d |
|
2sin 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 sin 2 |
|
|
3 |
(ед.2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Объем тела вращения
b |
b |
d |
d |
|
V f 2 |
(x)dx y2 dx |
|||
V 2 |
( y)dy x2 dy |
|||
a |
a |
|
|
|
|
|
с |
c |