DiffEq
.pdf
С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения |
21 |
(3) Представить левую часть в виде в виде A( x) cos β x + B( x) sin β x , где A( x) и B( x) – многочлены, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в
многочленах при cos β x (т.е. в A( x) и P ( x) ), а затем приравнять коэффициенты при
m
одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin β x , т.е. при B( x) и Qk ( x) );
получится система из 2( N +1) линейных уравнений;
(4) Решить полученную систему уравнений.
Замечание. Часто правая часть f ( x) не имеет специального вида, но является суммой нескольких функций f ( x) = f1( x) + ... + fs ( x) , где каждая из функций fi ( x) имеет специальный вид 1-го ил 2-го типа. В этом случае, по теореме 8, частное решение имеет
вид yчн = y1( x) + ... + ys ( x) , где yi ( x) |
– частное решение для НЛДУ |
|
||||||||||||||
|
a y(n) |
+ a y(n−1) + ... + a |
n−1 |
y′ + a |
n |
y = f |
( x) . |
|
||||||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
Пример 10. Найти общее решение НЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = (4x + 8)e− x + 13sin 2x. |
||||||||||||||||
Решение. Для соответствующего однородного ЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 |
характеристическое |
|||||||||||||||
уравнение λ 2 − 2λ − 3 = 0 имеет корни λ = −1 |
и λ = 3 кратности r = 1 каждый. Общее |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
решение ОЛДУ есть y |
|
= С e− x |
+ C |
e3x . Правая часть есть сумма двух функций |
||||||||||||
|
|
|
|
оо |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = ( x + 2)e− x + 13sin 2x = f ( x) + f |
2 |
( x) , имеющих специальный вид 1-го и 2-го типа |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно. Частное решение есть сумма: |
yчн = y1( x) + y2 ( x) , где |
|
||||||||||||||
y ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = f ( x) = (4x + 8)e− x , |
(12) |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y2 ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = f2 ( x) = 13sin 2x . |
(13) |
|||||||||||||||
(1) f ( x) = eα x P |
( x) = e− x ( x + 2) , |
α = −1 – корень кратности 1, m = 1, следовательно |
||||||||||||||
1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− x |
|
− x |
( Ax + B) |
= e |
− x |
( Ax |
2 |
+ Bx) . |
|
|||||
y ( x) = x e |
P ( x) = xe |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим первую и вторую производные: |
|
|
|
|||||||||||||
y ′ = −e− x |
( Ax2 + Bx) + e− x (2 Ax + B) = e− x (− Ax2 + (2 A − B) x + B) , |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ′′ = −e− x (− Ax2 |
+ (2 A − B) x + B) + e− x (−2 Ax + 2 A − B) = |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=e− x ( Ax2 + (B − 4 A) x + (2 A − 2B))
иподставим в уравнение (12), получим:
e− x ( Ax2 + (B − 4 A) x + (2 A − 2B)) − 2e− x (− Ax2 + (2 A − B) x + B ) − 3e− x ( Ax2 + Bx) = (4x + 8)e− x
Сократим на e− x , приведем слева подобные:
0x2 − 8 Ax + (2 A − 4B) = x + 2 и приравняем коэффициенты при x1 и x0 слева и справа,
|
|
|
|
|
−8 A = 4 |
A = − 1 2 , |
|
получим систему: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 A − 4B = 8 |
B = − 9 4 . |
|
Итак, |
y ( x) = (− 1 x − 9 )e− x . |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
(2) f |
2 |
( x) = eα x (P ( x) cos β x + Q ( x) sin β x ) = 3sin 2x , α = 0, β = 2, λ = 0 ± 2i – корень |
|||||
|
|
|
|
m |
k |
|
|
кратности r = 0 , |
Pm ( x) = 0, Qk ( x) = 3 , m = −1, k = 0 N = 0 , поэтому |
||||||
|
|
y |
2 |
( x) = x0e0 x (P ( x) cos 2x + Q |
( x) sin 2x ) = A cos 2x + B sin 2x . |
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения |
22 |
Находим первую и вторую производные:
y ′ = −2 Asin 2 x + 2B cos 2 x, |
y ′′ = −4 A cos 2 x − 4B sin 2 x |
2 |
2 |
и подставим в уравнение (13), получим:
(−4 A cos 2x − 4B sin 2x ) − 2 (−2 A sin 2x + 2B cos 2x ) − 3( A cos 2x + B sin 2x ) = 13sin 2x .
приравняем слева и справа коэффициенты при cos 2x и sin 2x , получим систему уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
A = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
−7 A − 4B = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
, поэтому y2 |
( x) = |
cos 2x − 7 sin 2x . |
|
|
|||||||||
4 A − 7B = 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
B = − |
7 |
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
= y |
+ y |
чн |
= y |
оо |
+ y + y |
2 |
= С e− x |
+ C |
e3x + y ( x) − |
( |
1 |
x + 9 )e− x + |
4 |
cos 2x − 7 sin 2x . |
||||||||
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||
|
он |
оо |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
4 |
5 |
|||||||||
Пример 11. Не находя неопределенных коэффициентов, указать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
yIV − 5 y′′ − 36 y = 3sin 2 x + xe3x + x2e−2 x .
Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУ y IV − 5 y′′ − 36 y = 0 , для чего найдем корни характеристического уравнения:
λ 4 − 5λ 2 − 36 = 0 (λ 2 − 9)(λ 2 + 4) = 0 , λ1 = 3, λ2 = −3, λ3,4 = ±2i .
Следовательно, общее решение есть yоо = C1e3x + C2e−3x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x .
Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций:
f ( x) = f ( x) + f |
2 |
( x) + f |
3 |
( x) , где |
f ( x) = 3sin 2 x, f |
2 |
( x) = xe3x , |
f |
3 |
( x) = x2e−2 x . Поэтому |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yоо + yчн , где yчн = y1 + y2 + y3 и
y ( x) – частное решение неоднородного ЛДУ y IV − 5 y′′ − 36 y = f |
i |
( x) , i = 1, 2, 3 . |
|||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y′′ − 36 y = f ( x) = 3sin 2 x частное решение есть: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 = x( A1 cos 2 x + B1 sin 2 x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y′′ − 36 y = f |
2 |
( x) = xe3x частное решение есть: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
= x( A x + B )e3 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y′′ − 36 y = f |
3 |
( x) = x2e−2 x частное решение есть: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
= ( A x2 |
+ B x + D )e−2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид |
|||||||||||||||||||||
+ y |
он |
= y |
оо |
+ y + y |
2 |
+ y |
3 |
= C e3 x + C |
e−3 x + C cos 2 x + C |
4 |
sin 2 x + |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ x( A cos 2 x + B sin 2 x) + x( A x + B )e3x + ( A x |
2 + B x + D )e−2 x . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
Здесь |
|
С1, С2 , C3 , C4 |
|
– произвольные |
постоянные |
(которые |
|
всегда присутствуют в |
|||||||||||||
общем решении дифференциального уравнения), |
Ai , Bi (i = 1, 2, 3) и D2 – конкретные |
||||||||||||||||||||
числовые постоянные, которые, в принципе, можно найти (методом неопределенных коэффициентов), но в данной задаче это не требуется.
С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения |
23 |
4.3.Задачи для самостоятельного решения.
1.Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений:
(а) y′′′ − 3 y′ − 2 y = 0 ; |
(б) 27 y′′′ + 8 y = 0 ; |
(в) |
y′′′ + 3 y′′ + 3 y′ + y = 0 ; |
(г) y IV − 2 y′′ + y = 0 ; |
(д) y IV + 8 y′′ + 16 = 0 ; |
(е) |
y IV − 2 y′′′ − 3 y′′ = 0 . |
2. Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов:
(а) |
y′′ − 4 y′ + 3 y = xe3 x ; |
(б) |
y′′ + 4 y = x sin x ; |
(в) |
y′′ − 4 y′ + 4 y = e2 x sin x ; |
(г) |
y′′ − 2 y′ + 10 y = cos 3x . |
3. Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (сами коэффициенты не находить!):
(а) y′′′ − 3 y′′ + y′ − 3 y = x2e3 x + x2 − 5x + 3cos x ;
(б) y IV + 5 y′′ + 4 y = x sin 2 x + e− x cos x + ( x − 2)e− x ; (в) yV − 8 y′′ = xe2 x − x2e− x + x2 − 5x + 3 + 2 cos x ; (г) y IV + 2 y′′ − 8 y′ + 5 y = xe x + x2e− x + 3cos 2 x .
Контрольные вопросы
1.Что такое дифференциальное уравнение?
2.Что такое порядок дифференциального уравнения?
3.Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?
4.Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?
5.Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка?
6.Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, и как его решать?
7.Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как его решать?
8.Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и какие способы его решения вы знаете?
9.Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли, и какие способы его решения вы знаете?
С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения |
24 |
10.Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, и как его решать?
11.В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка? Как это сделать?
12.Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка:
(а) однородное; (б) неоднородное?
13.Какими свойствами обладают частные решения однородного линейного дифференциального уравнения?
14.Что такое фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения?
15.Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения?
16.Как находить фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второго порядка (б) п-го порядка?
17.Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения?
18.В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородного линейного дифференциального уравнения?
19.В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методом вариации постоянных?
20.Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решать методом неопределенных коэффициентов. В каком виде следует искать частное решение? Как находить неопределенные коэффициенты?
Литература
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.
3.Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 352 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VIII).
4.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.:
Наука, 1986. – 368 с.
5.Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 37 с.
6.Пелевина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 38 с..
С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения |
25 |
Содержание
Предисловие ····························································································································2
1.Дифференциальные уравнения первого порядка ·······················································3
1.1.Введение в дифференциальные уравнения первого порядка ·······································3
1.2.Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка
иметоды их решения········································································································3
1.3.Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка ························ 7
1.4.Задачи для самостоятельного решения ········································································10
2.Дифференциальные уравнения высших порядков ···················································10
2.1.Основные сведения ·········································································································10
2.2.Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков ···································11
2.3.Задачи для самостоятельного решения ·········································································14
3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ··································14
3.1.Основные сведения ·········································································································14
3.1.Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами··········································································································· 15
3.2.Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных ·············································16
3.3.Задачи для самостоятельного решения ········································································17
4.Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами ············································································································17
4.1.Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами ································17
4.2.Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида ···············································································19
4.3.Задачи для самостоятельного решения ·········································································23
Контрольные вопросы ······································································································· 23 Литература ····························································································································24
Содержание ···························································································································25