ЛЕКЦІЯ_Модель незбуреного руху ШСЗ
.pdf
Рух супутника на орбіті визначається другим і третім законами Кеплера. У
другому законі Кеплера зазначається, що за рівні проміжки часу радіус-вектор супутника описує площі рівних секторів. Інакше кажучи, що секторіальна швидкість супутника є стала. Це можна довести, якщо розглядати рух ШСЗ у системі координат O , жорстко скріпленій з площиною орбіти (рис. 3). Дві осі,
О і O лежать у площині орбіти, тоді третя O – направлена перпендикулярно до площини орбіти по вектору інтеграла площ с. Вісь О направлена у точку перигею.
z |
|
|
c |
r |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
П |
|
O |
y |
|
|
|
|
|
N |
x
Рис. 3. Зв’язок систем координат O і Oxyz.
У вибраній орбітальній системі координат (рис. 3) інтеграли площ
отримаємо з виразу
i |
j |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
0 |
|
i 0 j 0 k c |
, |
(30) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де i , j , k - орти відповідних осей орбітальної системи координат. Розкриваючи визначник і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо
|
|
|
|
(31) |
c . |
|
|
||
Введемо полярну систему координат у площині орбіти через радіус-вектор r |
||||
і кут v, і в цій системі координат |
виразимо інтеграл площ |
(31). Для |
цього |
|
знайдемо вирази для координат , |
і складових вектора |
швидкості |
|
|
|
, |
|||
супутника у площині орбіти |
|
|
|
|
r cos v , |
|
|
|
|
r cosv r sin v v , |
|
|
|
|
r sin v , |
r sin v r cos v v . |
|
|
(32) |
Тепер підставимо вирази (32) у формулу (31) для вектора площ і після перетворень отримаємо
r 2 v c . |
(33) |
Нехай положення супутника за невеликий проміжок часу t зміниться на кут v. Тоді площа, яку опише радіус-вектор супутника, буде площею сектора
|
|
|
|
r 2 |
|
||||
s |
|
|
|
|
v . |
|
|||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Похідну від площі по часу t називають секторіальною швидкістю, яка |
|||||||||
запишеться так |
|
|
|
|
|
|
|||
s |
ds |
|
|
1 |
r 2v . |
(34) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|||
Порівнюючи формули (33) і (34), маємо |
|
|
|
|
|
|
|||
|
s |
c |
|
, |
|
(35) |
|||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
що виражає другий закон Кеплера.
Рівняння орбіти в полярних координатах. Розв’язок системи рівнянь (29)
єрівнянням орбіти. В орбітальній системі координат система (29)
перетворюється у таку:
0 |
|
. (36)
r c2 f 0
Вполярних координатах друге рівняння системи (36) після підстановки
r cos v прийме вид
|
|
c 2 |
|
|
||
r |
|
|
|
|
. |
|
1 f |
cos v |
|
||||
Якщо позначити |
|
|
|
|
||
c2 p ; |
|
f e , |
(37) |
|||
отримаємо рівняння кривої другого порядку у полярних координатах |
|
|||||
r |
p |
|
, |
(38) |
||
|
||||||
1 e cos v |
||||||
де p – параметр кривої, е – ексцентриситет. Параметр орбіти (для еліптичного руху – фокальний параметр) можна виразити через велику піввісь орбіти
p a 1 e2 . |
(39) |
В залежності від ексцентриситету е плоска крива другого порядку може приймати різну форму і значення інтегралів c, f i h при цьому також змінюються. Дослідимо, які значення приймає інтеграл енергії V 2 2 
r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо
e2 1 h c 2 . |
(40) |
В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що
V 2 2 
r .
Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо
h |
. |
(41) |
|
p |
|
При коловому русі радіус орбіти r p a . Враховуючи це і підставляючи
(41) в інтеграл енергії, отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
. |
(42) |
||||
|
|
|
r |
|
|||
Якщо приймемо, що Земля сферичної форми з радіусом 6371,1 км |
і = |
||||||
398600,5 км3/с2, то V = 7,91 км/с. |
|
|
|
|
|
|
|
При параболічному русі e 1, тому h 0 і, відповідно |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
V |
2 |
. |
(43) |
||||
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|||
Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.
В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою
космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.
При гіперболічному русі e 1 і h 0 , тому |
|
V 2 2 r . |
(44) |
В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.
Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння
орбітальної кривої (38), маємо
v |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t . |
(45) |
||
|
|
|
|
|||||
1 e cos v |
2 |
3 |
||||||
0 |
|
|
|
p |
|
|||
Інтеграл в лівій частині виразу (45) залежить від того, яке значення приймає ексцентриситет орбіти е.
Оскільки ШСЗ, як правило, має еліптичну орбіту 0 e 1, тому розглянемо тільки цей випадок. Для обчислення інтеграла (45) вводять нову змінну на основі тангенса половинного кута за формулою
tg |
v |
|
1 e |
|
tg |
E |
. |
(46) |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
1 e |
|
|
2 |
|
|
||
Після диференціювання (46), підстановки у (45) і інтегрування отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E e sin E |
|
|
|
|
|
|
t |
. |
(47) |
|
|
|
a3 |
||||||||
Введемо середній рух n і середню аномалію M за формулами |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|||||||
|
, |
|
(48) |
|||||||
a3 |
|
|||||||||
M n t . |
|
(49) |
||||||||
Рівняння (47) із врахуванням (48) і (49) прийме вид: |
|
|||||||||
E e sin E M . |
|
(50) |
||||||||
Це рівняння називається рівнянням Кеплера. Воно зв’язує допоміжну змінну,
якою є ексцентрична аномалія Е, середню аномалію М, момент проходження супутника через перигей і час t.
Згідно з формулою (49) середня аномалія М зростає прямо пропорціонально часові і визначає положення деякого фіктивного супутника, який рухається рівномірно по колу радіуса великої півосі а з періодом T, що дорівнює реальному.
Реальний супутник рухається по еліпсу і відповідно з другим законом Кеплера має максимальну швидкість в перигеї і мінімальну в апогеї.
Нехай супутник має період обертання Т. Тоді з рівнянь (49) і (50) виходить ,
що при повному оберті ШСЗ отримаємо 360 nT , звідси
n |
360 |
|
2 |
. |
(51) |
|
|
||||
|
T |
|
T |
|
|
Таким чином, n – середня кутова швидкість рухомої точки. В небесній механіці її називають середнім рухом.
Підставимо у формулу (51) замість n вираз (48) і після перетворень отримаємо
T 2 |
|
4 |
2 |
const , |
(52) |
a3 |
|
|
|||
|
|
|
|
Ця формула відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети.
Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається кеплерівським або незбуреним рухом. Необхідною умовою виконання законів Кеплера є припущення, що Земля (центральне тіло) і
супутник - це матеріальні точки з масами рівними масам Землі і супутника відповідно. У цьому випадку супутник рухається під дією тільки двох сил -
гравітаційного притягання Землі та прискорення супутника.