Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

571.39 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.

Систему уравнений вида (*)

будем наз-ть сист-ой m-линейных ур-й с n неизвестными . Коэф-ты этих ур-ий будем записывать в виде матрицы

, назыв матрицей системы.

Числа, стоящие в пр частях уравнений, обр-т столбец , наз столб своб членов.Матр сист, дополненная спр столбцом свободны членов, наз расшир матрицей системы и обозн .Опред матрицы – число, соотв-ее квадратичной матрице и полученные путем ее преобр-ия по определ правилу обозн Опред матр, в кот вычеркнуты произвольная строка и произвольный столбец, наз минором. Он имеет порядок на 1 меньше, чем исходный опред.Ранг матр - наивысший из порядков отличных от 0 миноров этой матрицы. Ранг неизменен при простых преобразованиях матрицы.

Т.Кронекера-Капелли. Сист совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Сост СЛУ (*) однор систему с той же матрицей коэф-ов . По отношению к (*) она наз приведенной. Матрица , сост из столбцов высоты наз фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если а) ; б)столбцы линейно независимы; в) ранг максимален среди рангов матрицы, удовл усл а). столбцы - ФСР.

Если - некоторое решение системы (*), а - фундаментальная матрица ее приведенной системы, то столбец (**) при любом является решением (*). Наоборот, для любого ее решения существует такой столбец , что оно будет представлено (**). Выражение - общее решение СЛУ

Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.

Пусть и - лин пр-ва с размерностями и соотв. Будем наз опер-ом , действующим из в отображение вида, сопоставляющее каждому элементу пространства некоторый элемент пространства . При этом используют обозначения или .

Опер , действующий из в , наз линейным если для любых эл-ов , и для любого компл числа выполняется соотн:1) - аддитивность опер;2) - однородность опер.

В мн-ве лин операторв, действующих из в , определены операции суммы и умножения опер-ра на скаляр.

Квадр матрицу с элементами . Это матрица наз матрицей лин опер-ра в заданном базисе .

Пусть - лин опер-р, - тождеств опер-р из . Тогда мн-н относительно назыв характеристич мн-ом опер-ра . Ур-ие назыв характеристич ур-ем опер-ра .

Число наз собственным значением опер-ра , если сущ-т некоторый ненулевой вектор такой, что . При этом вектор наз собств вектором опер-ра , отвечающий собств значению . Для того, чтобы число было собств значением опер-ра н.и д., чтобы это число было корнем хар-ого ур-ия опер-ра .

Б2 3.Билинейные и квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. акон инерции.

Билинейной ф-ей или бил-ой формой на лин пространстве наз ф-ия от 2-х векторов из , линейная по каждому из своих аргументов, т.е.удовлетворяющая рав-ам:

Квадратичной формой или квадратичной ф-ей на лин пр-ве наз функция , значение которой на любом векторе определяется рав-ом , где - симметричная билинейная форма.

Паре векторов на пл-ти сопоставим скаляр пр-ние. В силу известных св-в скаляр-го произв это – билинейная форма. Пусть - базис в . Если и - координаты векторов и , то значение БФ на этой паре векторов может быть вычислено так

или .

Здесь чисел называется ее коэффициентами в базисе. Их запис в в квадр матрицы порядка

, .

Эта матрица наз матрицей билинейной формы в данном базисе. Матрицей квадратич формы наз матрица соответ БФ.

Квадр форма , , , не имеющую попарных произведений переменных наз квадратич формой канонич вида. Переменные , в которых квадр форма имеет канонич вид, наз канонич переменными.

Один из методов преобразования квадр формы к канонич виду путем замены переменных состоит в последоват-м выделении полных квадратов. Такой м-д наз м-дом Лагранжа.

Квадр форму можно привести к канонич виду ортогонал преобразованием. При этом коэф-ты квадр формы канонич вида будут соотв знач матрицы исход квадр формы.

Закон инерции.

Теорема. Число отрицат и число положит коэф-ов в канонич виде квадр формы не завис от базиса, в котор она приведена к канонич виду.

Доказательство:

Докажем, что если в каком-либо базисе форма приведена к канонич виду, то число коэф-ов =-1 равно отрацат индексу формы . Пусть в базисе форма ранга с индексом имеет канонич вид :

Обозн через линейную оболочку векторов , а через лин оболочку остальных базисных векторов. Для любого имеем:

, и , если только . Значит, отрицательно определена на и .

На форма положит-но полуопределенная, потому что для любого и . (форма может быть =0 на ненулевом векторе, если ).

. Пусть сущ-т подпр-во размерности , на которм отриц определена. Тогда, т.к.сумма размерностей и больше , эти подпр-ва имеют ненулевой вектор в пересечении. Имеем т.к. и , т.к. . Получ противоречие, показывает, что . Число коэф-ов, равных -1, равно отрицат индексу и поэтому не зависит от базиса. Число коэф-ов , = +1, также не зависит от базиса, т.к.оно равно а ранг и индекс от базиса не зависят. Ч.т.д.