Bilety_na_matan

1

Вещественные числа и правила их сравнения. Теорема о существовании ТВГ (ТНГ)

2

Приближение вещественного чисел рациональным. Арифметические операции

у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел

над вещественными числами. Свойства вещественных чисел

Рациональным называется число, представимое в виде

2.1.

Целое число раз без остатка. Тогда поставим т. A

1

≤ ≤ .

Любое вещественное число можно

двух вещественных

чисел

отношения двух целых чисел.

в

соответствии

бесконечную десятичную

дробь

Лемма

Суммой(Произведением)

, 000…

заключить между двумя рациональными со сколь

а и называется такое вещественное число , что для

Свойства для , , :

2.2.

Целое число раз с остатком O2A, | | < | |.

угодно малой разницей.

любых рациональных чисел, ограничивающих

и , их

1.

Любые два числа , связаны

ровно одним

Тогда выясним, сколько раз 1/100 OM поместится в

Утверждение. Любое вещественное число можно с

суммы(произведения) ограничивают

.

среди знаков <,>,= причем если < , то > .

O2A.

2.

Существует правило, ставящее в соответствие

И так далее… Таким образом мы поставили в соответствие

наперед

заданной

точностью

приблизить

Уточненное

определение

вещественного

числа:

любым числам ,

число ,

называемое их

точке M некоторое конкретное число.

рациональными числами.

вещественными называются числа, представимые в

суммой и обозначаемое с = + .

Доказательство:

рассмотрим

неотрицательное

виде бесконечных десятичных дробей, при условии,

3.

Существует

правило,

ставящее

в

соответствие

Числа представимые бесконечными десятичными дробями,

вещественное

число

а.

Обрывая его

дробное

что для

них

определены

вышеуказанным образом

любым числам , число ,

называемое их

как положительными так и отрицательными, называются

представление

на -м

знаке

после

запятой,

мы

операции упорядочения, сложения и умножения.

произведением и обозначаемое с = .

вещественными. Для вещественных чисел выполняются те

получим

рациональное

число,

не

большее

а.

4.

Правило упорядочения: если > и > → >

же 16 вышеуказанных свойств, что и для рациональных.

Увеличив

его последний

ненулевой

десятичный

Теорема о существовании суммы двух вещественных

(свойство транзитивности знака >);

из = и

знак на единицу (с переносом, если это нужно),

чисел.

= → = (свойство транзитивности знака =).

Назовем модулем вещественного числа а эту же бесконечную

десятичную дробь, взятую со знаком “ + ”.

получим второе рациональное число, не меньшее а.

Доказательство: Рассматриваем

ограниченное

5.

Св-во коммутативности сложения: а + = + .

Два числа a и b называются равными, если они имеют

Таким образом, для любого номера

есть

два

множество сумм двух любых рациональных чисел

6.

Св-во ассоциативности сложения:

одинаковые знаки и совпадают по разрядам.

ограничивающие его

рациональных

числа такие,

(ограничителей снизу). Находим ТВГ и доказываем,

+ + = + + .

что они отличаются на 10– .

что она и является искомым значением суммы, т.к.

7.

Существует число такое, что + = для любого

При сравнении неравных чисел a и b возможны 3 случая:

удовлетворяет определению (слева, т.к. – ТВГ

числа a (особая роль нуля).

оба числа неотрицательны, в этом случае в силу их

Тогда справедлива лемма 1, где малое = 10

–

8.

Для каждого числа существует число

такое,

неравенства − й разряд чисел

отличен. Тогда

.

{α1+β1}; справа, т.к. α2+β2 – одна из верхних граней

{α1+β1}, а

– ТВГ).

9.

что + = .

между числами a и b стоит такой же знак, что и

Лемма

≤ < ≤ . Для любых двух вещественных

Св-во коммутативности умножения: = .

оба

числа

отрицательны,

тогда

рассмотрим

их

Теорема о единственности суммы двух вещественных

между числами k – го разряда;

2

10.

Св-во ассоциативности умножения: = .

модули (по 1 случаю) и возьмем противоположный

чисел найдется такое рациональное число,

что

оно

чисел.

заключено между ними. Следовательно найдется б/м

11.

Существует число такое, что ∙ = для любого

знак;

Доказательство: Пусть существует две суммы,

рациональных чисел между ними.

числа (особая роль единицы).

одно из

чисел

отрицательно,

а

второе

—

рассматриваем сумму из неравенств ограничителей.

Доказательство: рассматривается неотрицательный

12.

Для каждого числа ≠ , существует обратное ему

неотрицательно,

тогда первое

всегда меньше

случай. Найдем «скачок» в вещественных числах и

Возьмем такие ограничители, что разность между

число а такое, что а ∙ а = .

второго.

ними

равна

/2.

Получим,

что

между

b (то есть тот десятичный знак

, начиная с которого

нарушается равенство: и

ограничителями на сумму разность равна ε, то есть

13.

Свойство дистрибутивности операции

умножения

Множество вещественных чисел ограничено сверху, если

). Далее зафиксируем

любому произвольному числу. По Лемме 3 суммы

относительно суммы: + = + .

, { }: ≤ . При этом

число

называется

все следующие

нули

(если они

есть), и

первый

равны.

14.

Из > вытекает + > + для любых , , .

верхней гранью мн-ва .

ненулевой знак большего числа уменьшим на

15.

Из > и > 0 следует > .

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху

единицу, а дальше допишем девятки. Это число и

16.

Аксиома Архимеда: Каково бы ни

было число ,

мн-ва

называется

точной

верхней

гранью

этого

будет искомым.

Свойства вещественных чисел (не обязательно):

можно число 1 повторить слагаемым столько раз,

множества. Обозначение: .

Свойства 1-4

доказаны

выше, свойства 5-8(9-13)

что сумма превзойдет а.

1) { }, ≤ ,

2) ; ′ < , { }, т. ч. >

Лемма3

о равенстве. Если

два

вещественных числа

вытекают из определения суммы(П) и св-в .

или 1) , ≤ ,

2) > 0 { }, т. ч. > −

можно «зажать» между двумя рациональными ( , )

Св-во 14° (Из > вытекает + > + , , , ):

Каждому рациональному числу соответствует определенная

Теорема. Если множество непустое и ограничено сверху,

Составляем

тандем из

ограничителей (лемма2) и

точка

на числовой

оси, но

не каждой

точке можно

то у него существует ТВГ.

со сколь угодно малой разницей – числа равны.

чисел. Обозначим разность верхнего ограничителя а

сопоставить рациональное число. [Если выбрать точку M

Доказательство: рассмотреть два случая — когда среди

Доказательство: от противного: зажимаем два

и нижнего ограничителя

меньше и ограничим

такой,

чтобы длина

отрезка

OM равнялась

диагонали

элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное

вещественных числа, применяем лемму 2 (α2,α1 ),

квадрата со стороной OE (длина масштабного отрезка), то по

вещественное число, и когда все элементы отрицательны.

применяем

свойство транзитивности

знаков >, =,

так,

чтобы

разность

между

ограничителями

равнялась . Далее выписываем тандем из сумм, и

теореме Пифагора эта длина x отрезка OM является корнем

В первом случае отбрасываются все отрицательные числа

откуда следует, что ε > γ2 - γ1 > α2 - α1 (?! ε наперед

уравнения x2 = 2 и это — нерациональное число.]

и рассматриваются оставшиеся неотрицательные. Далее

заданное )

используем транзитивность “>”.

среди элементов мн-ва выбирается наибольшая целая

Докажем, что посредством измерения отрезка OM каждой

часть (такой элемент найдется, т. к. мн-во ограничено

точки оси можно поставить в соответствие бесконечную

сверху). Среди всех элементов с такой целой частью

десятичную дробь. Выберем на оси начало отсчета (О) и

выбирается элемент с наибольшим первым десятичным

масштабный отрезок | | = . Пусть A – произвольная точка

знаком после запятой ( ). Продолжая аналогичные

на прямой. Отрезок OM укладывается в отрезке OA:

рассуждения мы получим число , которое удовлетворяет

1. Целое число раз без остатка. Тогда поставим т. A в

определению точной верхней грани. Первый случай

соответствии бесконечную десятичную дробь a0,00000…

доказан, во втором случае все аналогично за исключением

2. Целое число раз с остатком O1A, | | < | |. Тогда

того, что брать надо наименьшие из десятичных знаков.

выясним, сколько раз / OM поместится в O1A.

3

Счетные множества и множества мощности континуум. Неэквивалентность

4

Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и

счетного множества множеству мощности континуум

бесконечно малые последовательности

Множества – совокупность объектов одинаковой

Теорема 1. Множества { } и {n} эквивалентны.

Последовательностью

называется

множество

ОГР×БМП=БМП.

Произведение

БМП

А

на

природы.

Доказательство: вводится понятие высоты дроби как

занумерованных чисел, которые по некоторому закону

ограниченную последовательность B есть БМП.

суммы модуля числителя и значения знаменателя.

ставятся в соответствие натуральным числам.

Доказательство: Пусть B ограничена числом М

Далее подряд нумеруются дроби высоты 1, затем

Последовательность { }

называется ограниченной

сверху. Фиксируем положительное число ε и

Декартовое произведение множества A и B называется

высоты 2 и т. д. Таким образом мы установим

сверху, если : ≤ , где

– верхняя

записываем определение БМП последовательности

множество ×

– множество всех пар

, , таких, что

взаимно

однозначное

соответствие

между

грань.

B для

числа

/М. Умножаем одно на другое и

,

.

множествами R и N.

Посл-ть {

} называется бесконечно

большой,

если

получаем | | ≤

| | ≤ ( /М) =

.

Отображением множества A в множество B называется

> 0

, т. ч.

≥

|

|

>

.

подмножество F декартова П

×

, такое, что

Множество

называется

счетным,

если

оно

ББП

является

неограниченной. Обратное не верно:

Теорема об ограниченности. Всякая БМП ограничена.

существует единственная пара

,

множества F. 1)

эквивалентно множеству натуральных чисел.

1,1,2, , … ,

,

– здесь

сходится.

Доказательство: Возьмем в определении БМП

= 1.

Отображение F называется сюръекцией или

Посл-ть { }

Тогда найдется такой номер последовательности,

отображением

«на»,

если для

любого элемента

Множество,

эквивалентное

множеству

всех

точек

называется

бесконечно

.

малой,

если

начиная с которого все элементы {

} по модулю

множества B существует единственный элемент

отрезка [0,1] называется множеством мощности

> 0

(

) , т. ч.

≥

|

|

<

меньше 1. Обозначим = | |, . . , | |, 1 , где

множества A:

,

, иначе

говоря = .

2)

континуума.

БМП+БМП=БМП. Сумма (и разность) двух бесконечно

{ } ≤

– по определению огр. посл-ти.

Отображение F называется инъекцией или вложением,

малых последовательностей (БМП) есть БМП.

если из ≠ => 1 ≠ 2 . 3) Отображение F

Теорема 2. Всякое непустое подмножество счетного

Теорема о нуле. Если все элементы БМП с какого-то

Доказательство: фиксируем

ε,

и

для

обеих

называется биекцией или взаимно однозначным

множества является или счетным множеством, или

последовательностей α и β выбираем такой номер

номера равны , то они равны 0.

берем

в

соответствием, если оно является одновременно и

имеет конечное число элементов.

, чтобы, начиная с этого номера, все элементы

Доказательство: от

противного:

сюръекцией и инъекцией.

Доказательство: нумеруем множество A, затем

определении БМП

=

| |

≠ 0.

Рассмотрим

два множества. Если

в

одном из

них

нумеруем подмножества A, сопоставляем их.

были по

модулю

меньше

/2. Складываем

элементов окажется больше, то оно имеет большую

соответствующие

неравенства

и

получаем

Теоремы

о

обратных

последовательностях.

| + | < | | + | | < .

мощность.

Теорема 3. Множество мощности континуум несчетно.

Пусть { }– БМП. Тогда { } = {1/ } – ББП.

Множества А и В называются эквивалентными, если

Доказательство: Предположим что ММК счетно и все

Пусть { }– ББП. Тогда { } = {1/ } – БМП.

между ними можно установить взаимно однозначное

вещественные

числа

интервала

0,1

можно

соответствие: ~

занумеровать как = 0,

… . Тогда берем число

1)

!

, не содержащее 9 и 0 в своей десятичной записи,

2)

!

т.ч. ≠ . Тогда число b не принадлежит классу

3) разным соответствуют разные

рациональных

чисел,

имеет

единственное

представление и не совпадает ни с одним из .

5

Понятие сходящейся последовательности (СП). Единственность предела,

6

Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной

ограниченность СП, арифметические операции над СП

ограниченной последовательности. Число е

Последовательность { } называется сходящейся, если

Теорема о сумме (разности) СП. Сумма (разность) двух

Теорема 1. Если все элементы СП % (возможно,

Последовательность называется невозрастающей, если

а ,

что

последовательность

{! −

"}

является

СП сходится к сумме их пределов.

начиная с некоторого номера) не меньше (не больше),

каждый ее элемент, начиная со второго, не больше

бесконечно

малой.

Число

"

называется пределом

Доказательство: Представляем в специальном виде,

чем

,

то

и

предел

этой

последовательности

не

предыдущего.

последовательности { }.

рассматриваем

сумму

последовательностей,

меньше (не больше), чем .

*

Последовательность называется монотонной, если она

которая равна сумме (разности) доп. БМП. Остается

Доказательство: от противного: пусть с

либо неубывающая, либо невозрастающая.

Представление в специальном виде: каждый элемент

равенство двух СП и их пределов.

выполняется

≥

. Делаем

предположение,

что

представляется

в виде

=

+ ,

где

— предел

предел меньше

. Тогда для числа

–

в качестве

Теорема о пределе монотонной ограниченной

последовательности, а

— БМП.

Теорема о произведении СП. Произведение двух СП

, причем пусть

≥

*. Тогда

–

#

<

– а, откуда

последовательности.

Если

неубывающая

сходится к произведению их пределов.

#

последовательность ограничена сверху, то она

Теорема о единственности предела. СП имеет один

Доказательство: перемножаем

специальные

следует – <

− а или <

≥

(?!).

сходится.

предел.

представления,

используя

ОГР×БМП=БМП

Замечание. Соответствующее утверждение для строгих

Доказательство:

у

этой

последовательности

Доказательство: от противного (пусть существуют

приходим к нужному равенству.

существует ТВГ . Докажем, что и есть предел

знаков неверно, например для последовательности

два

предела

—

и ), далее представляем в

Лемма. Если последовательность {$ } сходится к

{1/

} — любой элемент больше 0, а предел равен 0.

этой последовательности. Во-первых, любой

специальном виде и рассматриваем разность БМП

элемент не больше М. Фиксируем

и замечаем, что

из этого вида. Получим, что все элементы

ненулевому пределу

, то, начиная с некоторого

Следствие 1. Можно делать предельный переход в

по определению ТВГ найдется хотя бы один элемент,

полученной

БМП

равны

а–

= 0

(по

ранее

номера, определено частное {1/ }, являющееся

неравенствах с СП.

больший

–

.

Во-вторых,

последовательность

доказанному). Тогда а =

.

ограниченной последовательностью.

Доказательство: ≤ $ . Переносим

неубывающая, значит, начиная с этого элемента все

Доказательство:

возьмем

= |

|/2. Расписывая

в

одну часть,

элементы

находятся

на

полуинтервале

Теорема об ограниченности СП. Всякая СП ограниченна.

получаем

−

≤ 0. Применяем теорему 1.

≤

определение СП, получаем $ > | |/2, начиная все с

$

–

<

, приведем к

−

|

<

, откуда

–

Доказательство: Пусть

– предел СП.

–

#

<

того же . Взяв обратную дробь, получаем условие

Следствие

2.

Если

все

элементы

СП

заключены

на

|

предел последовательности

.

<

| |

+ 1.

в

#

ограниченности для %1/$ .

отрезке

,

, то и предел этой последовательности

%

Выбираем

качестве

грани

| |

| | + 1

Замечание. Не всякая сходящаяся последовательность

наибольшее

из

чисел

и

модулей

Теорема

о частном

СП. Предел частного

двух СП

лежит на том же отрезке.

теорему

1

для

предшествующих

-му

элементов. Это

и

будет

(предел

второй

отличен

от

0)

равен

частному

Доказательство:

используем

является монотонной. Пример: 1/2, –1/2, 1/3, –1/3,…

верхняя грань.

доказательства.

Теорема. Последовательность = 1 + 1/

пределов.

сходится.

Доказательство: будем

рассматривать

частное

Теорема «о двух милиционерах». Если две сходящиеся

начиная с номера ,

определенного

в лемме.

Предел ее называют числом '.

бином

Ньютона.

последовательности

и {

} имеют общий предел

Доказательство:

расписываем

Рассматриваем разность ( /$ )– ( / ). Подставим

%

$

Доказываем,

что

%

монотонно

возрастает

и

элементы

третьей

последовательности

{ }

(с

специальное представление и получаем в правой

&

< :

оцениваем

сверху

–

заменяем

в

части ограничение на БМП.

некоторого номера) лежат между элементами этих

двух, то она сходится к тому же пределу а.

биномиальном разложении все скобки на 1, а

Доказательство:

Выберем

*:

– < & – <

каждый факториал — на соответствующую степень

! ≥ 2

−

. Тогда

≥

:

–

#

≤ max {|

–

|, |

−