матанализ 1 курс 2 семестр Малышкин / ответы на вопросы к экзамену

1. Скалярное и векторное поле.

Скалярное поле – это поле, которое в каждой точке характеризуется одним числом, т.е. каждой точке M становится в соответствии некоторое число M(x, y,z).

Векторное поле – это поле которое в каждой точке характеризуется вектором, т.е. каждой т М ставится в соответствии некоторый вектор.

0-2. Градиент.

Градиентом функции в точке называется направленный отрезок, отложенный от точки, который указывает направление наибыстрейшего возрастания данной функции в данной точке.

0-3. Дивергенция векторного поля

0-4. Циркуляция (ротор) векторного поля.

0-5. Оператор Лапласа.

1-1. Первообразная.

Первообразной называется такая функция, по отношению к которой исходная функция является производной.

1-2. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

Совокупность всех первообразных функций для функции y = f(x), называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

Свойства:

1-3. Интегрирование по частям.

Формулой интегрирования по частям называют равенство , где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. Применение этой формулы имеет целью заменить отыскание интеграла левой части отысканием интеграла правой части, когда последний проще.

1-4. Интегрирование путем замены переменной.

Если интеграл f x dx  ( ) непосредственно вычислить не удается, то часто путем замены переменной x  (t) , где t – новая переменная, а (t) – непрерывно дифференцируемая функция, этот интеграл можно свести к интегралу, метод вычисления которого известен. При этом имеет место следующая формула:

1-5. Обобщенная формула интегрирования по частям.

1-6. Интегрирование рациональных выражений.

1-7. Основные свойства интеграла Римана.

1-8. Свойства интегрируемых функций.

1-9. Свойства определенных интегралов. Оценка модуля интеграла. Теорема о среднем значении.

1-10. Интеграл с переменным верхним пределом.

1-11. Формула Ньютона-Лейбница.

1-12. Формулы вычисления определенного интеграла. Интегрирование по частям и замена переменной.

1-13. Геометрические приложения интеграла.

1-14. Свойства двойного интеграла.

1-15. Вычисление двойных интегралов сведением к повторным.

1-16. Понятие интегралов высшей кратности.

1-17. Замена переменных в кратных интегралах.

1-18. Переход к сферическим и цилиндрическим координатам.

1-19. Формула Грина.

1-20. Следствия формулы Грина. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

1-21. Формула Стокса.

1-22. Формула Остроградского – Гаусса.