3.2.2Доверительный интервал случайной погрешности

На графике нормального распределения погрешности (рис. 3.3.) по оси абсцисс отложены интервалы с границами , 2, 3, 4.

Рис. 3.3. График нормального распределения погрешности измерений.

Интервал с симметричными границами (Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

Как видно из графика, оценка случайной погрешности группы измерений интервалом 1 соответствует доверительной вероятности Р = 0,68. Доверительному интервалу 3 соответствует доверительная вероятность Р = 0,997. Поэтому при нормальном распределении погрешностей границу 3 считают максимально возможной, а погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

Нормативные документы, касающиеся оценивания погрешностей результатов измерения и стандартизованных методик измерения, как правило требуют указывать границы доверительного интервала случайной погрешности, соответствующие доверительной вероятности 0,95. В случаях, когда результаты измерения важны для безопасности и здоровья людей, а также для состояния окружающей среды, животных и растений, рекомендуемая доверительная вероятность возрастает до 0,99. То есть в 99 из 100 случаев истинная погрешность гарантированно не превышает оцененное и указанное в результате измерения значение.

Важнейшим заключением из рассмотрения закона распределения случайной погрешности является заключение о невозможности приведения значения случайной погрешности без указания доверительной вероятности для этого значения. Отсутствие доверительной вероятности рядом со значением границы случайной погрешности может иметь место лишь в одном случае, когда приводится граница, соответствующая стандартному отклонению случайной погрешности - . Доверительная вероятность стандартного отклонения у нормального закона всегда одна и равняется 0,68.

3.2.3Проверка гипотезы о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному

В каждом конкретном практическом случае гипотеза о соответствии распределения случайных погрешностей нормальному, назовем её гипотезой , требует проверки. Между теоретическим нормальным распределением и статистическим распределением случайной погрешности неизбежны расхождения. Необходимо ответить на вопрос: являются ли эти расхождения случайными, обусловленными ограниченным числом наблюдений или эти расхождения свидетельствуют о том, что данное статистическое распределение не может рассматриваться как нормальное. Для ответа на этот вопрос служат «критерии согласия».

«Критерий согласия» - это некоторая величина U, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами, например, в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих статистических частот или максимальное отклонение статистической функции распределения случайной погрешности от теоретического нормального закона и т.п. Каким бы способом не была выбрана величина , она является случайной величиной, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины и от числа измерений . Если гипотеза верна, то закон распределения величины определяется законом распределения величины и числом . Распределение величины можно описать математически и указать вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное значение при известных и .

Мерой расхождения теоретического нормального закона распределения и статистического распределения случайной погрешности будет вероятность того, что теоретическая величина , т.е. соответствующая случаю, когда гипотеза о нормальном распределении верна, превзойдет значение , вычисленное для конкретной реализации измерений. Если эта вероятность ничтожна, а значит событие большего чем в опыте расхождения теоретического и статистического нормального закона маловероятно, то гипотезу следует отклонить (при этом говорят, что гипотеза имеет низкий уровень значимости). Если даже при соответствии статистического распределения нормальному возможны еще большие чем в опыте расхождения теоретического и статистического законов распределения, гипотезу следует принять.

Рассмотрим наиболее часто применяемый в метрологии критерий согласия – «критерий » Пирсона.

Согласно Пирсону в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями используется сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей попадания случайной погрешности в интервал : от соответствующих статистических частот

, (3.11)

где - число интервалов, на которые разбивается интервал при вычислении статистических частот распределения случайных погрешностей; - «вес» интервала, вычисляемый как

(3.12)

При таком выборе коэффициентов мера расхождения обозначается

. (3.13)

Для удобства вычислений можно ввести под знак суммы и, учитывая, что , где - число значений в -том интервале, привести формулу (3.13) к виду

. (3.14)

Важным свойством величины является независимость ее распределения от вида выбранного теоретического закона . Распределение зависит только от и параметра , называемого числом «степеней свободы» распределения. Число «степеней свободы» равно числу интервалов минус число независимых условий, наложенных на частоты . Примером такого условия может быть

.

если требуется, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях). В случаях, когда требуется совпадение теоретического среднего значения и теоретической дисперсии со статистическим средним значением и дисперсией, накладываются еще два условия

Для распределения составлены таблицы (см. Приложение 1). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения и числа степеней свободы найти вероятность того, что величина, распределенная по закону превзойдет это значение. Эта вероятность называется уровнем значимости гипотезы и обозначается q.

Пример использования критерия - Пирсона для проверки нормальности распределения случайной погрешности рассматривается в Приложении 3.