Горячие формулы / Таблица интегралов
.pdf
Таблица интегралов ● Математика для заочников и не только
Таблица неопределенных интегралов
Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования, а затем – таблица интегралов.
Правила интегрирования:
1) Cudx C udx , здесь и далее C – постоянное число
– константу можно вынести за знак интеграла.
2)(u v)dx udx vdx – интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов.
3)udv uv vdu (правило интегрирования по частям).
Таблица неопределенных интегралов:
dx x C
xn 1
xndx n 1 C ( n 1)
Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая
вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например 3
a
представить в виде xb для применения формулы xndx
Горячие формулы школьного курса математики: http://mathprofi.ru/matematicheskie_formuly.html)
dxx |
ln |
|
x |
|
C |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
ax |
|
|
||||
axdx |
|
|
C , в частности, |
exdx ex C |
|||||
ln a |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
Тригонометрические функции:
x5 ,
xn 1 n 1
1 |
|
, |
1 |
, нужно |
||
|
|
|
x5 |
|||
7 x2 |
||||||
|
|
|
||||
C (как представить – см.
sin xdx cos x C ;
cos xdx sin x C ;
cos12 x dx tgx C ;
sin12 x dx ctgx C
|
dx |
1 |
x |
|
|
a arctg |
|
C , в частности |
|
a2 x2 |
a |
dx |
|
1 x2 |
arctgx C ; |
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Таблица интегралов ● Математика для заочников и не только
|
dx |
|
1 |
|
x a |
|
C «высокий логарифм» |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
||
x2 a2 |
2a |
x a |
|||||||
Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде, например:
|
|
dx |
|
|
|
1 |
ln |
|
a x |
|
C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a x |
|
||||||||||||||
a2 x2 |
2a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
x |
2 |
|
A |
C , или, то же самое: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 A |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
x |
2 |
|
A |
C «длинный логарифм». |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 A |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
|
arcsin |
x |
|
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||
|
a |
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегралы от гиперболических функций не указываю, так как они на практике не встречаются (в отличие от производных, которые встречаются, да и то очень редко).
! Важно
Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук). Такие таблицы рекомендую использовать только в самом крайнем случае, так как
интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приемов интегрирования. И, соответственно, подобное «решение» может сильно понравиться преподавателю.
Типичный пример «табличного» интеграла: ln xdx x(ln x 1) C
В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, необходимо применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.
А вот неберующиеся неопределенные интегралы:e x2 dx – интеграл Пуассона
sin x2dx , cos x2dx – интегралы Френеля
lndxx – интегральный логарифм
exxdx – интегральная экспонента
sin xdx – интегральный синус x
cos xdx – интегральный косинус. x
Изредка на «дурачка» проскакивают. Встретятся, не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берется. А если такие интегралы «всплывут» в ходе решения какого-либо интеграла, значит, Вы либо ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта