Книги и конспекты / Шпоры / 7

7.Доминирование. Теорема о доминировании (формулировка).

Минимальный и максимальный элемент. Теорема о нумерации элементов конечного частично упорядоченного множества. Верхняя и нижняя границы.

Лемма о границах.

Определение доминирования. Пусть P = [S, ≤]- частично упорядоченное множество, а a и b - его элементы. Будем говорить, что a

доминирует над b, если a > b, но ни для какого x S не верно, что a > x > b.

Теорема о доминировании (формулировка). Пусть a < b в конечном частично упорядоченном множестве P. Тогда P содержит, по крайней мере,

одну цепь x0 a x1 ... xl b , в которой каждый из элементов xi (i =1, . . . , l) доминирует над xi 1 .

Определение (минимальный и максимальный элемент).

Элемент m частично упорядоченного множества [S, ≤] называется минимальным, если не существует такого элемента x S, что x<m.

Элемент m называется максимальным, если не существует такого элемента x S, что x > m.

Теорема о нумерации.

Пусть [S, ≤], S {s1 ,..., sn } - конечное частично упорядоченное множество. Тогда элементы S можно пронумеровать таким образом:

S {x1 ,..., xn } , что из xi x j будет следовать i<j.

Доказательство.

Т.е. нужно расставить S1 ,...Sn так, чтобы они шли по возрастанию.

► Введѐм множество X m* {X1* ,..., X m* }

1)m=S x1 (S1 ) x1* (x1* )S1

2)m=r, берѐм S2 , сравниваем с X 1* если S2 X1* - ставим слева, если S2 X1* -

справа.

перенумеровываем.◄

Следствие. В любом конечном частично упорядоченном множестве P

есть минимальный элемент m: не существует x P, такого, что x < m.

Верхняя и нижняя грани. Пусть S некоторое подмножество частично упорядоченного множества P. Элемент a (a P) называется нижней границей, или минорантой, множества S, если a ≤ x для всех x S.

Назовем a верхней границей, или мажорантой, множества S, если a ≥ x для всех x S. Определим элемент b P нижней гранью S, если: он является

нижней границей для S; b b для любой другой нижней границы b

множества S. В этом случае пишут b = inf S.

Аналогично c P - верхняя грань множества S, если: c - верхняя граница для

S; c c . В этом случае вводят обозначение c = sup S.

Лемма о границах. Любое подмножество частично упорядоченного множества имеет не более одной верхней и не более одной нижней грани.

Доказательство. Пусть b1 ,b2 - нижние грани множества S. Тогда

, потому что b1 - нижняя граница, а b2 - наибольшая нижняя граница.

Аналогично, b2 b1 . Из свойства (если x y, y x, то x=y) следует, что b1 b2 . Двойственное рассуждение доказывает единственность верхней грани.