Книги и конспекты / Шпоры / 1-3

1.Множества и подмножества. Булевы операции. Алгебраические законы с доказательствами.

Система элементов а1,а2,…,аn называется алгебраической, если на ней определены операции сложения и умножения, не выводящие за рамки этого множества.

S U если из x S => x U.

Множества называются равными, если S=T  S T => S подмножество множества T. Аксиомы:

1.S S для любого S

2.S T, T U => S U (транзитивность)

P(U) – множество всех подмножеств множества U. Например U={a,b,c}, его подмножества:

{ },{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Булева Алгебра

Бинарной операцией, заданной на множестве S - называется правило, по которому паре (a,b), где a,b S, ставится в соответствии c S.

Унарная операция – правило f, которая элементу a множества S ставит в соответствии элемент b S. f(a)=b. A B и A B – бинарные.

A - унарная операция. ( A - операция дополнения. A - Это множество все элементов, которые A )

Законы булевых операций (Для всех подмножеств множества U выполняются):

1.A B = B A A B = B A

2.S S = S

S S = S (закон идемпотентности)

3.A (B C) = (A B) C

7.

R R

R

R U U

R U R

8.1-ый закон Де Моргана: S T S T

2-ой закон Де Моргана: S T S T

9.(S) S (двойное отрицание)

Док-во:

Докажем закон дистрибутивности. R (S T ) (R S) (R T ) .

Пусть x R (S T ) => x R и x (S T ) => ( x R и x S) или (x R и x T) => => x (R S) (R T ) .

Докажем в обратную сторону, пусть x (R S) (R T ) => (x R и x S) или (x R и x T) => => x R и (x S или x T)=> x R (S T ) ,=> (R S) (R T ) R (S T ) и

R (S T ) (R S) (R T ) => R (S T ) (R S) (R T ) .

2.Функция. Тождественная функция. Левая и правая декомпозиция. Лемма о композиции. Инъекция, сюръекция, биекция, характеристическая функция.

Пусть S,T множества. Функцией f (отображением, преобраз.) называется правило, которое любому элементу s S ставит элемент t T. Будем говорить что f является функцией из S в T и обозначается f: S->T.

Образом (образующей) Im f отображения f:S->T называется множество f(S) всех значений f(s), которое оно принимает при все s S. Образ f явл-ся подмножеством T.

Пример. S={a,b,c}, T={a,b,c,d}. f: a->a, b->c, c->d, тогда Im f = {a,c,d}.

Опр. Две функции f и g, такие что, f : s->T, g : s1->T1, равны, если: s=s1 и T=T1  f(x)=g(x), x S=S1.

Если S такое, что из 1S: S -> S => 1S (S)=S, то говорят, что 1S - тождественная функция.

Композиция двух функций: f:S->T, g:T->U.

g f - левая композиция, которая отображает множество S в мно-во U.

Условие g f (x) =g(f(x)): Множество значений f(x) входит в область определения g. f◊g = g◦f

правая левая

Лемма: (h◦g)◦f = h◦(g◦f) = f◊(g◊h) = (f◊g)◊h. f:S->T, g:T->U, h:U->K.

Док-во:

((h◦g)◦f) = f◊(g◊h) = (h◦g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h(g◦f(x)) = (h◦(g◦f))(x)= (f◊g)◊h

Лемма: пусть 1S и 1T тождественные функции. Тогда f◦1S = 1T ◦f = f

Док-во:

1T :T->T, 1S :S->S, f:S->T. (f◦1S )(x)=f(1S (x))=f(x)

(1T ◦f)(x)= 1T (f(x))=f(x)

Функция f:S->T называется инъективной (или инъекцией), если s1 s2выполн. f (s1 ) f (s2 )

тогда функция lS называется характеристической функцией.

Пример: U={1,2,3}.

{0, 0, 0}

{1} -> {1,0,0} ; {2} -> {0,1,0}; {3} -> {0,0,1}; {1,2} -> {1,1,0} и.т.д.

3.Обратные функции. Две теоремы об обратимости функции. Функции из S в S.

f: S-> T, g:T->S.

Если g◦f=1S , то g – левая обратная функция функции f, а f правая обратная функция функции g.

Если f◦g=1S и f◦g=1T , то говорят что g- двусторонняя обратная функция функции f. Функция, имеющая двустороннюю образующую, называется обратимой.

Теорема. Чтобы f была обратима справа, необходимо и достаточно, чтобы она была сюръекцией. Чтобы f была обратима слева, необходимо и достаточно, что она была инъекцией.

Док-во.

Инъекция. Необходимость: Пусть f – обратимая слева, s S и f(s)=f(s1).

s=1S (s) = (g◦f)(s) = g(f(s)) = g(f(s1)) = (g◦f)(s1) = 1S (s1) = s1. Таким образом, из предположения, что f(s)=f(s1) мы

вывели, что s=s1, это означает инъективность.

Достаточность. Пусть f – инъекция. s1 S, g1: T -> S такое, что g1(t) = s, если t=f(s) для некоторого s S. g1(t) = s1, в противном случае.

(g1◦f)(s)=g1(f(s))=g1(t)=s=1S (s) ч.т.д.

Сюръекция. Необходимость. Пусть f- обратимая справа.

(f◦h)(t)= 1T ; t=1T (t) = (f◦h)(t) = f(h(t)) t T, h(s)=s S : f(s)=t

Достаточность. Пусть f – сюръективна. t=f(s), Im f = T. Фиксируем s, находим t, обозначаем s=h(t). Тогда h :T -> S, f(h(t))=f(s)=t для всех t T, т.е. f◦h=1T ч.т.д.

Следствие: если функция биективна, значит она обратима и слева, и справа. (Необходимое и достаточное условие).

Теорема. Пусть f-биекция, а g его левая обратная функция, h –правая.

Функции из S в S

f : S -> S

композиции f◦g и f◊g = g◦h всегда существуют.

Обе эти операции удовлетворяют закону ассоциативности: f◦(g◦h)=(f◦g)◦h, f◊(g◊h)=(f◊g)◊h для всех f,g.

При этом 1S ◦f = f◦1S =f.

Если f f= f 2 = f, то функцию f называют идемпотентной.