Билеты по высшей алгебре

Вопросы к экзамену по высшей алгебре.

Раздел I. Линейное пространство.

1.Линейное пространство: определения (2), примеры, свойства.

2.Свойства линейной зависимости векторов (1-7).

3.Свойства линейной зависимости векторов (8-14).

4.Базис (3 определения). Матрица перехода, свойства.

5.Подпространства: определение, свойства, теорема (о размерности суммы подпространств), обобщение.

6.Прямая сумма подпространств.

7.Относительный базис (линейная независимость над подпространством, система образующих над подпространством, относительная размерность). Теорема (об относительном базисе), формула размерности, алгоритм построения относительного базиса, замечание (о вложенных подпространствах).

8.Фактор-пространство. Определение.

9.Фактор-пространство: базис, линейное многообразие, примеры, построение базиса фактор-пространства.

Раздел II. Морфизмы.

10.Морфизмы: определения(2), классификация, примеры, свойство нуля, теорема (простая и важная).

11.Свойства морфизмов (мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм, автоморфизм).

12.Ядро и образ морфизма. Теорема об изоморфизме фактор-пространства, алгоритм построения базиса образа.

13. Операции над морфизмами(12). Линейное пространство морфизмов.

14.Кольцо операторов. Теорема о перестановочности значений двух многочленов от оператора.

15.Матричное представление морфизмов. Теорема.

16.Изоморфизм линейных пространств матриц и морфизмов.

17.Основные соотношения между морфизмами и матрицами(7).

18.Теорема об изменении матрицы морфизма.

19.Каноническая матрица морфизма.

20.Подобие матриц. Характеристический многочлен оператора.

21.Собственные векторы, собственные числа, определения, свойства.

22.Инвариантные подпространства: свойства(11).

23.Теорема о блочно-ступенчатой матрице оператора. Теорема о блочно-диагональной матрице оператора.

24.Индуцированный оператор: определение, характеристический многочлен, теорема.

25.Полный флаг, определение. Теорема, замечания.

26.Аннулирующий многочлен для вектора: теорема о существовании, минимальный аннулирующий многочлен, свойства(8).

27.Теорема о расщеплении вектора.

28.Аннулирующий многочлен для оператора: теорема существования, минимальный аннулирующий многочлен, свойства(8).

29.Почти обратная матрица, t – представление полиномных матриц.

30.Теорема Гамильтона-Кэли.

31.Теорема о расслоении №0. Примарные подпространства: определение, утверждение.

32.Теорема о расслоении №1. Теорема о расслоении №3.

33.Собственное число, как корень характеристического и минимального аннулирующих многочленов.

34.Циклические подпространства: определение, утверждение, свойства(5).

35.Теорема об инвариантных подпространствах циклического примарного подпространства.

36.Теорема о расслоении №2.

37.Корневые векторы, корневые подпространства.

38.Высота вектора. Корневой циклический базис, теорема. Свойства подпространств Q_i.

39.Алгоритм «Схема с башнями» в общем виде, замечания.

40.Теорема, дополняющая алгоритм “Схема с башнями”.

Раздел III. Жорданова форма матриц оператора.

41.Жорданова форма матрицы оператора.

42.Алгоритм “Схема с башнями” без наполнения.

43.Алгоритм “Схема с башнями” с наполнением.

Раздел IV. Обобщенная Жорданова форма.

44.Комплексификация вещественных пространств (до свойств сопряженности).

45.Свойства сопряженности (1-7).

46.Свойства сопряженности (8-14).

47.Минимальный аннулирующий многочлен оператора . «Схема с башнями» оператора для вещественного собственного числа.

48.Обобщенная Жорданова форма. Теорема о существовании и единственности.