Дана плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины ξ
Найти значение константы С, функцию распределения Fξ(x), вероятность попадания в интервал p(ξ∈[1, 3]), математическое ожидание M[ξ] и дисперсию D[ξ].
Решение:
Функция плотности распределения вероятности обладает свойством:
В данном случае:
Таким образом:
Функция плотности распределения:
Найдём функцию распределения F(X):
Таким образом, искомая функция распределения:
Вычислим вероятности попадания значений случайной величины X на промежуток [1, 3]:
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию вычислим по формуле:
В данном случае:
Таким образом:
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a=15 и дисперсией σ2=400. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна p=0,8859.
Решение:
Среднее
квадратическое отклонение
Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения a = 15, то его можно определить как множество значений ξ, удовлетворяющих неравенству:
.
Используем формулу
В
данной задаче
,
таким образом:
Используя
таблицу, находим
:
(15-31,6 <ξ <15+31,6) или (-16,6 <ξ <46,6)
Ответ: Искомый интервал (-16,6 <ξ <46,6)
Дан ряд распределения двумерной случайной величины (ξ, η):
ξ |
0 |
1 |
2 |
η |
|
|
|
-1 |
1/8 |
0 |
p13 |
0 |
1/8 |
1/8 |
0 |
1 |
3/8 |
1/8 |
0 |
Найти значение p13, частные распределения случайных величин ξ и η, их математическое ожидание и дисперсию (т.е. M[ξ], D[ξ], M[η], D[η]), а также корреляционный момент Kξ,η и коэффициент корреляции rξ,η.
Решение:
Чтобы найти неизвестный параметр p13 воспользуемся свойством нормировки для распределения двумерной с. в. (ξ, η):
Приведём к относительным частотам:
ξ |
0 |
1 |
2 |
η |
|
|
|
-1 |
0,125 |
0 |
0,125 |
0 |
0,125 |
0,125 |
0 |
1 |
0,375 |
0,125 |
0 |
Определение частных распределений. При известном совместном распределении систем двух дискретных случайных величин (ξ, η) частные распределения находятся по формулам:
Находим ряд распределения ξ:
ξ |
0 |
1 |
2 |
|
P |
0,625 |
0,25 |
0,125 |
|
Математическое ожидание M[ξ]:
Дисперсия D[ξ]:
Среднее квадратическое отклонение σ(ξ):
Находим ряд распределения η:
η |
-1 |
0 |
1 |
|
P |
0,25 |
0,25 |
0,5 |
|
Математическое ожидание M[η]:
Дисперсия D[η]:
Среднее квадратическое отклонение σ(η):
Вычисление корреляционной матрицы. Сначала вычислим корреляционный момент случайных величин ξ и η:
Теперь найдём коэффициент корреляции:
