МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАФЕДРА 2

ОЦЕНКА

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

Доктор физико-математических наук, профессор				Фарафонов В. Г.
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Основы теории вероятностей и математической статистики

по дисциплине: Математика. Теория вероятностей и математическая статистика

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №	9411				Кафка Р. С.
	номер группы		подпись, дата		инициалы, фамилия
Студенческий билет №	2019/3603

Шифр ИНДО

Санкт-Петербург 2020

Вариант 3

1. Бросают игральную кость. Путь событие А – это выпадение четного числа, а событие В – выпадение числа большего 3. Что представляют собой события A̅, B̅, A∪B, A∩B, A\B, B\A? Какие элементы пространства элементарных исходов данного опыта им благоприятствуют?

Решение:

Найдём общее число исходов:

(1), (2), (3), (4), (5), (6).

Событию А соответствует три благоприятствующих исхода:

(2), (4), (6)

Событию B соответствует три благоприятствующих исхода:

(4), (5), (6)

A̅ = (1), (3), (5) – выпадение нечётного числа.

B̅ = (1), (2), (3) – без чисел, которые больше 3.

A∪B = (2), (4), (5), (6) – объединение событий, наступает хотя бы одно событие.

A∩B = (4), (6) – пересечение событий, одновременное наступление событий.

A\B = (2) – разность событий. А происходит, а B не происходит.

B\A = (5) – разность событий. B происходит, а A не происходит.

2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность события A, когда сумма выпавших очков равна 5, и события B, когда произведение выпавших очков равно 4.

Решение:

Найдём общее число исходов:

комбинаций цифр может выпасть при одновременном броске двух кубиков.

Событию А соответствует четыре благоприятствующих исхода:

(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)

По классическому определению вероятности:

– вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

Событию B соответствует три благоприятствующих исхода:

(1,4), (4,1), (2,2)

По классическому определению вероятности:

– вероятность того, что произведение выпавших очков равно 4.

Ответ: , .

3. Случайным образом выбирают 3 шара из 8, среди которых 3 белых и 5 черных. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется два белых шара.

Решение:

Всего 8 шаров.

способами можно извлечь 3 шара.

способами можно извлечь 2 белых шара.

По классическому определению:

- вероятность того, что будут извлечены 2 белых шара

Ответ:

4. Два независимых события A и B наступают с вероятностями 0,4 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что наступит: а) хотя бы одно событие; б) ровно одно событие.

Решение:

По условию , – вероятности наступления событий. Тогда вероятности того, что они не наступят:

;

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что оба события не наступят.

Найдём вероятность противоположного события:

– вероятность того, что наступит хотя бы одно событие.

б) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что наступит ровно одно событие.

Ответ: а) б)

5. В группе 20 студентов: 2 отличника, 8 хорошистов, 6 троечников и 4 двоечника. Отличники учат 100% экзаменационных билетов, хорошисты – только 80%, троечники – 60% и двоечники – только 40%. Найти вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен. Если некий студент данной группы сдал экзамен, то какова вероятность того, что он являлся одним из шести троечников?

Решение:

Из условия находим – вероятности выбора отличника, хорошиста, троечника и двоечника соответственно.

– вероятности того, что отличник, хорошист, троечник и двоечник соответственно сдаст экзамен.

По формуле полной вероятности:

– вероятность того, что взятый наугад студент этой группы сдаст экзамен.

По формуле Байеса:

– вероятность того, что сдавший экзамен студент являлся одним из шести троечников.

Ответ: ,

6. Известна вероятность события A: p(A) = 0,3. Дискретная случайная величина ξ – число появлений события A в трех опытах. Требуется построить ряд распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание M[ξ], дисперсию D[ξ], среднее квадратическое отклонение σ и вероятность попадания в интервал p(|ξ – M[ξ]| < σ).

Решение:

Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение. Найдем закон распределения случайной величины ξ, используя формулу Бернулли:

В данной задаче:

– всего опытов;

– вероятное количество появлений событий.

– вероятность того, что из n опытов появится ровно ξ событий.

По условию:

– вероятность события.

– вероятность события не появиться.

1. 

2. 

3. 

4. 

Таким образом, искомый закон распределения:

	0	1	2	3
	0,343	0,441	0,189	0,027

Проверка: 0,343+0,441+0,189+0,027=1

Составим функцию распределения:

Вычислим математическое ожидание M(ξ), дисперсию D(ξ) и среднее квадратическое отклонение σ(ξ).

Вычислим математическое ожидание:

Найдём дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение: