Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Общая теория связи

Файл:

Лекции / Лекция 7-05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.05.2022

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T

xW (x)dx

(x b)dx

a)dx

f (x) (x a)dx f (a)

m2 x2W (x)dx b2

2 m m2

(

a)2

T T

11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

Нелинейное преобразование:

y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk).

ФПВ для процесса y на выходе:

W ( y) W (x)	dx	W (x)
W ( y) W (x)	dy
	dy		dy

			dx

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

Рис.11.14

	b
-a	a	x
	-b

nx b, x a y kx, kx a

nx b, x a

Это нелинейное устройство называется ограничителем.

Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m1x=0.

x 2

W (x)

e 2 2

ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок).

Рассчитаем ФПВ процесса y:

1. Пусть

у=kx (k>1)

W ( y)

W (x

)

W (x)

Подставим в W(x) вместо x выражение y/k, тогда

W ( y)

2k 2 2

На интервале

ka ФПВ для у будет

нормальной, со средним

значением m1y=0, но дисперсия y, т.е. 2y k 2 2

2 (т.к. k 1) .

W(x)

-a

W(y)

Рис.11.15.

-ka

2. Пусть: x a

y ka

y nx b

W ( y)

W (x

)

W (x)

Выражаем x через у, т.е. x

y b

( y b)2

W ( y)

2n2 2

Это нормальная

ФПВ

со средним

значением

b и дисперсией

n2 2 2 ,(n 1)

3.Пусть:

x a y ka

y nx b

W (x

)

W (x)

( y b)2

W ( y)

2n2 2

Это нормальная ФПВ, m1= -b и дисперсия n2 2 . ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).

11.8.ФПВ процесса на выходе идеализированного ограничителя.

Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения.

kx, x a

y ka, x a

ka, x a

1. x a, y kx y ka

		y

		2 k 2 2
W ( y)	e	2 k 2 2		,	y	ka


	k		2
	k		2

2.x a; y ka

(y b)

при..n , дисперсия

W(y) lim e

2σ

" уши " сжимаются и к функции

P(x a) ( y ka)

( y ka)

nσ

2π

n ,b ka

3.x a; y ka

W ( y) P(x a) ( y ka)

W(y)

P(x<-a) (y+ka)

P(x>a) (y-ka)

Рис.11.16.

-ka

11.9.ФПВ процесса на выходе идеального ограничителя.

Характеристика идеального ограничителя показана на рис.11.17. y

		ka		Рис.11.17.
		ka		Рис.11.17.
				x
			-ka
			-ka
Процесс	на выходе	идеального ограничителя		y - имеет только два
значения :	ка и –ка.	Т.к. вероятность положительных и отрицательных
значений х	равна 0.5, то вероятность того, что y принимает значения +ka

или -ka также равна 0.5. Поэтому, выполняя расчеты, как в предыдущем случае, получим, что ФПВ процесса y вырождается в две дельта-функции в точках y=-ka и y=ka (рис.11.18):

	W(y)
0,5 (y+ka)		0,5 (y-ka)
			Рис.11.18.

-ka	0	ka	y

11.10.Линейные (инерционные) преобразования случайного процесса.

Линейная инерционная система – это линейный фильтр.

В этом случае процесс на выходе системы у(t1) зависит от входного процесса x не только в момент времени t1, но и от значений x в предшествующие и последующие моменты времени:

y(t) x( )g(t )d


y(t) выходной	случайный	процесс
x( ) входной	случайный	процесс

g(t ) импульсная реакция линейной цепи

1.Если процесс на входе ЛЭЦ нормальный, то у тоже нормальный случайный процесс, но его числовые характеристики отличаются от числовых характеристик процесса x и вычисляются следующим образом:

m1y

y(t)

x( )

g(t )d m2 y

m2 y y(t2 )

x( )g(t )d

x(v)g(t v)dv

g(t )g(t v)d dv

x( )x(v)

2. Если процесс на входе ЛЭЦ не нормальный, но ширина его спектра значительно больше полосы пропускания линейной цепи x Плэц , то

процесс на выходе ЛЭЦ имеет тенденцию к нормализации.

12.Функция корреляции.

Функция корреляции характеризует степень статистической зависимости двух значений случайного процесса, разделенных интервалом времени .

Общее определение – функция корреляции случайного процесса B(t1,t2) это второй смешанный момент распределения случайного процесса:

B(t1 , t2 ) x(t1 ) x(t2 )W (x(t1 ); x(t2 ))dx(t1 )dx(t2 )

(12.1)

Для эргодического стационарного случайного процесса с нулеым средним функция корреляции зависит только от разности =(t2-t1) и определяется выражением:


			T
	1	2
B( ) lim	1		x(t) x(t )dt		(12.2)
B( ) lim			x(t) x(t )dt		(12.2)
T T				T
				2
				2

Стандартный вид функции корреляции.

В( )

В(0)

Рис.12.1.

- к

1.В( ) - четная; В( ) = В(- )

2.В(0) - max; В(0) = 2 (средняя мощность переменной составляющей, т.е. дисперсия случайного процесса).

3.		lim		B( ) 0


			B( )d
4. k			0		интервал корреляции	случайного процесса,
4. k				B(0)	интервал корреляции	случайного процесса,
				B(0)
характеризует ширину графика функции корреляции:
Если \| \| к - то значения СП коррелированны,
	Если			\| \| > к - то значения СП не коррелированны.
	5. R( ) = В( ) / В(0) - коэффициент корреляции,					R( ) 1.

13.Энергетический спектр.

Энергетическим спектром G( ) называется зависимость энергии составляющих случайного процесса от частоты.Стандартный вид энергетического спектра:

G( )

Рис.13.1.

Пэ

Энергетический спектр показывает, какая энергия процесса заключена в единичной полосе частот, т.е. это энергия процесса, приходящаяся на 1Гц или на 1 рад/с. Размерность G( ) --- В2/Гц или В2/ рад*Гц

Пэ - ширина энергетического спектра,т.е. полоса частот, в пределах которой заключено порядка 95 - 99,9 энергии всего процесса. Она обратно пропорциональна интервалу корреляции

const

ПЭ k ;

const 3 6- зависит от ограничений накладываемых на сигнал .

14.Соотношение Винера - Хинчина и его применение к решению задач

Это соотношение связывает функцию корреляции и энергетический спектр случайного процесса. В теории случайных процессов это соотношение аналогично преобразованию Фурье для детерминированных процессов:


G( ) 4 B( ) cos( )d
	0		(14.1)
	1

B( )		G( ) cos( )d
	2
		0

Коэффициенты могут быть и другими.

В теории связи, в качестве модели помехи, часто используется случайный процесс, называемый аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ). Белым шумом (АБГШ) называется абсолютно случайный (дикий) процесс, энергетический спектр которого бесконечен и равномерен.

G( )

Рис.14.1.

G( ) = G0 при 0

G0 - спектральная плотность белого шума (мощность, приходящаяся на 1Гц или 1рад/с) .

Мощность белого шума в полосе частот ( в рад/с ) :

P = G0*

Пример белого шума - это тепловой шум. Функция корреляции белого шума вычисляется в соответствии с преобразованием Винера-Хинчина:


	1		1		cos(w )dw
B( )	1	G(w) cos(w )dw	1	G0 cos(w )dw G0	0		G0 ( )
					0
	2		2			2
		0		0

( )

Функция корреляции белого шума имеет следующий вид:

В( )

G0 ( )

Рис.14.2.

Рассмотрим прохождение белого шума через полосовой фильтр. На входе идеального полосового фильтра с АЧХ равной :

		0		Пэ
				Пэ
k0	при
				2
				2
k( )				Пэ
			0

0	при
				2

действует нормальный белый шум со спектральной плотностью G0. Определим функцию корреляции и ФПВ процесса y на выходе фильтра;

т.е. В( )вых и W(y) .

Спектр белого шума на входе фильтра показан на рис.14.1.

АЧХ полосового фильтра показана на рис. 14.3, а спектр процесса на выходе полосового фильтра изображен на рис.14.4.

К( )

К0

0 ( 0 -Пэ/2)

( 0 +Пэ/2)

Рис.14.3

G( )вых

G0К02

0 ( 0 -Пэ/2)	0	( 0 +Пэ/2)
			Рис.14.4.

Спектральная плотность белого шума на выходе ПФ: G( )вых = G0К02, т.к. АЧХ показывает во сколько раз изменится амплитуда напряжения, следовательно, энергия изменится в К02 раз. В соответствии с соотношением Винера - Хинчина, зная G( )вых найдем В( )вых. :

						0		П э				0		П э
				1		0		2			1	0		2		1			э
B( )вых				1			G( )вых cos d				1		G0 K0		2 cos d	1	G0 K0	2 2sin	э	cos 0
B( )вых			2				G( )вых cos d				2		G0 K0		2 cos d	2	G0 K0	2 2sin	2	cos 0
			2					П э			2			П э		2			2
						0		П э				0		П э
						0		2				0		2
	K 2	G			sin				э
	K 2	G			sin			2		cos
	0	э	0					2
	2					э
	2					э			0
									0

							2

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
04.05.2022837.45 Кб101Лекции.pdf
#
04.05.20221.49 Mб39Лекция 23-4.pdf
#
04.05.2022472.09 Кб44Лекция 26-3.pdf
#
04.05.20221.07 Mб48Лекция 7-05.pdf
#
04.05.2022794.5 Кб35Лекция 9-4.pdf