Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники 80226

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Рис. 2.2

Из треугольника ACD по теореме косинусов находим

				d 2 r 2		r 2	2r r cos .
					1	2	1	2
Отсюда
	r 2	r 2	d 2		(0,05м)2		(0,12м)2 (0,1м)2
cos	1	2							0,576 .
cos									0,576 .
		2r1r2				2	0,05м 0,12м

Подставив в формулу для В значения 0 , J , r1 , r2 и

cos найдём B 286мкТл.

Ответ: B 286мкТл.

Задача 2.2. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0 = 20 см от середины его (рис. 2.2). Сила тока I,

текущего по проводу, равна 30А, длина l отрезка равна 60 см.

Дано:

r0 =20см=0,2м I=30A l=60cм=0,6м

B - ?

Лапласа:

Решение

Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-

0 J sin dl . 4 r 2

Прежде, чем интегрировать это выражение, преобразуем его так, чтобы

можно было интегрировать по углу а. Выразим длину элемента dl проводника через d . Согласно рис. 2.2 запишем

dl rd , Подставим это выражение dl в формулу: sin

dB	0 I sin r d	0 J d	.
	4 r 2 sin	4 r

Но r – величина переменная, зависящая от и равная

r r0 . sin

Подставив r в предыдущую формулу, найдем:

dB 0 I sin d

4 r0

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 1 до 2 :

2	0 I					0 I	2
dB	0 I		sin d			0 I	sin d
dB	4 r		sin d			4 r	sin d
1	4 r					4 r	1
1		0			0		1
или
B		0 I		(cos 1	cos 2 ).
B		4 r0		(cos 1	cos 2 ).
		4 r0

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos 2 cos 1 . С учетом этого

формула примет вид:

B 2 0r cos 1 .

Из рис. 2.2 следует cos 1			l / 2			. Тогда



		r 2	(l / 2)2
	0
B	0 I		l		.
	2 r0
	2 r0		4r 2	l 2
			0

Подставляем числовые значения в формулу и получаем: В = =24,9 мкТл.

Ответ: В = 24,9 мкТл.

Задача 2.3. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I = 40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

Дано:

Решение:

I =40А

Согласно принципу суперпозиции магнитных

a =30см=0,3м

полей, индукция в центре равностороннего

В - ?

треугольника (рис 2.3) B 3B1 где

0 I

(cos 1

cos 2 ) – индукция от одной из сторон

4 r0

треугольника. Учитывая, что в данном случае

cos 2

cos 1 , получим

B 0 I 2 cos 1

0 I cos 1 .

4 r0

2 r0

Заметим, что

где r0

– радиус вписанной;

R –

описанной окружности;

а – сторона равностороннего треугольника.

Используя полученные соотношения и проводя вычисления, получаем:

B 3B	3 0I cos 1	3 0I cos 2	3	2,4 10 4(Тл) 240мкТл.
B 3B				2,4 10 4(Тл) 240мкТл.
1	2 r0	2 a
	2 r0	2 a

Ответ: 240 мкТл.

Задача 2.4. Бесконечно длинный проводник изогнут так,

как это изображено на рис. 2.4. Радиус дуги окружности

R = 10 см. Определите магнитную индукцию B поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводнику.

Дано:						Решение:
						Решение:

R=10см=0,1м			Магнитную индукцию				B в точке О найдем,
I=80A			используя принцип суперпозиции магнитных

B - ?			полей	B	Bi .	В	нашем
			случае	проводник			можно
разбить на три части (рис. 2.4): два
прямолинейных проводника (1 и 3), одним
концом уходящие в бесконечность, и дугу
полуокружности (2)				радиуса		R.	Тогда

B B1	B2	B3 , где B1 , B2 , B3 –				магнитные
индукции поля в точке О, создаваемые током,
текущим соответственно на первом, втором и								Рис 2.4

третьем участках проводника.
Так как точка О лежит на оси проводника 1,			то B1 0 и

тогда B B2	B3 . Учитывая, что векторы B2	и B3	направлены

в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

B B2 B3 .

Магнитную индукцию поля B2 можно найти, используя

выражение для магнитной индукции в центре кругового проводника с током I :

B 0 I . 2R

Так как магнитная индукция В2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать:

B2 0 I . 4R

Магнитную индукцию B3 найдем, используя формулу задачи 2.2:

0 I

(cos 1

cos 2 ).

4r0

В нашем случае r

(cos

0),

(cos 2

1) и B3

0 I

Используя найденные

выражения B2 и

B3 ,

получим:

B B

0 I

, или B

0 I

( 1).

Произведя вычисления, найдем В:

4 10 7 80

( 1) 3,31 10 4 Тл 331мкТл

4 0,1

Ответ: В=331мкТл.

Задача 2.5. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 5 см, по которому течёт ток I =10А, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.

Дано:

R=5см=0,05м I=10А d=10см=0,1м

В - ?

где dB элементом тока

	Решение:
Магнитное поле создается
током, текущим по кольцу.
Для решения задачи
воспользуемся законом Био-
Савара – Лапласа:
		0 I dl r		Рис. 2.5
	dB		,
		4 r3
—	магнитная индукция поля,			создаваемого
Idl	в точке, определяемой радиус-вектором r .

Выделим на кольце элемент dl

и от него в точку А проведем

радиус-вектор r (рис. 2.5). Вектор dB направим в соответствии с

правилом буравчика.

Запишем закон в скалярном виде:

0 I dl Sin

4 r 2

где r 2 R2 d 2 , тогда

0 I dl

4 (R 2 d 2 )

Разложим вектор dB на составляющие dB1

и dB2 (рис. 2.5)

dB1

dB sin , sin

, dB2

dB cos .

R 2 d 2

Согласно

принципу

суперпозиции магнитных полей,

магнитная индукция

B в точке А определяется интегралом

dB ,

dB dB1

dB2

где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Так

параллельно плоскости кольца, то dB2 0 (из

как dB2

соображений симметрии), то

2 R

0 IR dl

0 I 2 R

0 IR

B dB1

4 (R2 d 2 )3 2

2(R2 d 2 )3 2

Подставим числовые значения в единицах СИ, вычислим:


B	4 10 7		10 25 10	4	11,2 10 6	(Тл) 11.2мкТл
B	2(25	10 4 1 10 2 )3 2			11,2 10 6	(Тл) 11.2мкТл
	2(25	10 4 1 10 2 )3 2

Ответ: В=11,2 мкТл.

Задача 2.6. Замкнутый тороид с железным сердечником имеет N=400 витков из тонкого провода, намотанных в один слой. Средний диаметр тороида d = 25 cм. Определить напряженность и индукцию магнитного поля внутри тороида,

магнитную проницаемость железа, а также намагниченность J при значениях силы тока в обмотке тороида I1 =0,5 A и I 2 =5 A.

Дано:

N=400 витков d=25см=0,25м I1 =0,5А

I2 =5А

H1 ? H2 ?

1жел ? 2жел ?

I1 ? I2 ?

Решение:

Применяя теорему о циркуляции вектора

вдоль окружности с

диаметром d

(средняя

линия

тороида;

рис. 2.6)

H d IN ,

находим

напряженность

магнитного поля

внутри тороида:

( d )

Отсюда

после

подстановки численных

данных получаем:

0,5 400

255(

) ,

3,14 0,25

5 400

2550(

) .

3,14 0,25

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Далее, используя график на рис. 1.2, определяем магнитные

индукции:	B1 =0,9 Тл,		B2		=1,45 Тл.

Затем	по формуле				B	0 H находим магнитные
проницаемости (			B	) :
проницаемости (		0 H		) :
		0 H

1 2.8 103 , 2 4,5 102 ,

Анализ полученных данных позволяет установить, что силе тока I пропорциональна только напряженность магнитного поля внутри ферромагнетика (железа), тогда как все остальные величины (индукция В, магнитная проницаемость ,

намагниченность J ) являются нелинейными функциями H, а, следовательно, и нелинейными функциями силы тока I .

Задача 2.7. Обмотка тороида, имеющего стальной сердечник с вакуумным зазором длиной l0 =3мм, содержит n=1000 витков на метр длины. Средний диаметр тороида d=30 см. При какой силе тока I в обмотке тороида индукция B0 в зазоре равна 1Тл (рис. 2.7).

Дано:

l0 =3мм. n=1000 в/м d=30см

B0 =1Тл

I -?

поля в зазоре:

	Решение:
Применяя теорему о циркуляции вектора Н,
находим H d H0l0 I dn ,		где Н	–
напряженность	магнитного	поля	в
сердечнике, H 0	− напряженность магнитного

поля в зазоре. Так как относительная магнитная проницаемость вакуума 1, то по формуле

0 H определяем напряженность магнитного

H		B0	, H		107	А	.
	0	0		0	4 м
		0			4 м

Вследствие того, что вакуумный зазор узкий, будем считать радиальную составляющую вектора магнитной индукции и в зазоре, и в сердечнике равной нулю. Тогда,

учитывая факт непрерывности нормальных (радиальных)

составляющих вектора B на границе раздела двух различных магнетиков:

B1n B2n ,

получим, что индукция B в сердечнике по модулю равна B0 . По графику (рис. 1.2) определяем напряженность

магнитного поля в сердечнике: H 7 102 мА . Таким образом,

находим

		I	H		B0l0	,
		I	n		0 dn	,
Ответ:	I =3,2A.
Задача	2.8. На	оси		бесконечно длинного соленоида

напряженность H 24 103 мА при силе тока I=6A. Определить

число слоев обмотки, если диаметр проволоки d=1мм, намотка проведена вплотную, диаметр катушки D значительно меньше её длины l .

Дано:

Решение:

Напряженность

магнитного

поля на

оси

H 24 10

бесконечно длинного цилиндра равна

H Ink ,

I=6A

где n – число витков на единице длины, k –

D<< l

число слоев. Число витков N в одном

слое

d=1мм=10 3 м

намотки определится из формулы

N = l/d.

к - ?

Тогда

d l

Подставляя в первую формул и выражая k , получим

k , откуда k

24 103

10 3

4 (слоя)

Ответ: k=4 .

Задача 2.9. Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, охватывающего токи I1 =10A,

I 2 =10A , текущие в одном направлении, и ток I 3 =20A, текущий в противоположном направлении.

Дано:		Решение				J1	J2
I1=10A	По теореме о циркуляции
I2=15A	вектора магнитной индукции
I3=20A	вдоль произвольного контура L						J3
I1 I2 I3	запишем						L
B dl - ?							L
B dl - ?						Рис. 2.8
e						Рис. 2.8
Bdl (I1 I2 I3 ) 4 10 7					Гн	(10 15 20)А
Bdl (I1 I2 I3 ) 4 10 7					м	(10 15 20)А
L					м
L
20 107	Гн А	= 6,28 106	Гн А	.
20 107		= 6,28 106		.
	м		м

Ответ: 6,28 106 Гн А .

Задача 2.10. Провод в виде тонкого полукольца

радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле

(В = 50 мТл). По проводу течет ток I = 10 А. Найти силу F , действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Дано:					Решение:
Дано:					Решение:
R = 10 см=0,1м			Расположим провод в плоскости чертежа
В = 50мТл= 50 103			перпендикулярно линиям магнитной
I = 10 А			индукции (рис. 2.9) и выделим на нем
F - ?			малый элемент dl с током. На этот элемент
тока Idl будет действовать по закону

Ампера	сила			dF	I dl B .
Направление		этой		силы	можно
определить	по	правилу векторного

произведения или по правилу левой руки. Используя симметрию, выбе-

рем координатные оси так, как это

Рис. 2.9

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.16 Mб3Учебники 80221.pdf
#
01.05.20221.16 Mб11Учебники 80222.pdf
#
01.05.20221.16 Mб5Учебники 80223.pdf
#
01.05.20221.16 Mб7Учебники 80224.pdf
#
01.05.20221.17 Mб4Учебники 80225.pdf
#
01.05.20221.18 Mб2Учебники 80226.pdf
#
01.05.20221.2 Mб3Учебники 80227.pdf
#
01.05.20221.21 Mб4Учебники 80228.pdf
#
01.05.20221.24 Mб4Учебники 80229.pdf
#
01.05.2022304.94 Кб4Учебники 8023.pdf
#
01.05.20221.24 Mб3Учебники 80230.pdf