4.5 Сглаживание данных эксперимента

Сглаживание данных эксперимента является специальной операцией усреднения с помощью интерполяционных многочленов, обеспечивающей получение «уточненного» значения по заданному значению y_i и ряду близлежащих значений , известных со случайной погрешностью. Примерами алгоритмов сглаживания являются:

1. Линейное сглаживание по трем точкам.

Линейное сглаживание по трем точкам выполняется с помощью следующих формул:

где N — номер последней точки (ординаты y_i).

2. Линейное сглаживание по пяти точкам.

Линейное сглаживание по пяти точкам выполняется с помощью следующих формул:

где N - номер последней точки (ординаты y_i).

3. Нелинейное сглаживание по семи точкам.

Нелинейное сглаживание по семи точкам — операция усреднения с помощью интерполяционного многочлена третьей степени. Выполняется с помощью формул:

где N - номер последней точки (ординаты y_i).

Следует заметить, что несмотря на название, метод линеен относительно входных данных (т.е. при увеличении всех величин входных данных в два раза результат тоже вырастет в два раза). /16/

4.6 Аппроксимация

Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломанными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

1. аналитический

2. графический

3. табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(x) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены (см. рис.9):

φ(х)

Рис. 9. Пример аппроксимации. Точки – данные эксперимента, φ(х) - аппроксимирующая функция /17/.

4.7 Сплайн

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.

Классический сплайн одной переменной строится так: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1.

Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Функции, подобные тем, что сейчас называют сплайнами, были известны математикам давно, начиная как минимум с Эйлера, но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века. В 1946 году Исаак Шёнберг (Isaac Jacob Schoenberg) впервые употребил этот термин в качестве обозначения класса полиномиальных сплайнов. До 1960 годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений.

После 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании, что продолжается по сей день (например, Кривые Безье или NURBS).