2.5. Подходы к определению мер риска для различных распределений вероятности ущерба

Наиболее простой мерой риска является, по-видимому, математическое ожидание ущерба [33]

, . (2.24)

В более наглядной форме формула (1.15) будет выглядеть так:

- для НСВ, (2.25)

- для ДСВ, (2.26)

где – удовлетворяет условию нормировки.

Если вычисление интеграла в (2.16) на практике является слишком трудоемкой задачей, то возможно прибегнуть к следующему приему: продискретизируем закон распределения ущерба по оси абсцисс с шагом дискретизации и будем считать, что при закон распределения на этом участке является линейной функцией (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Закон распределения вероятности величины ущерба продискретизированный по оси абсцисс

Введем обозначение . Тогда интеграл в формуле (2.25) можно представить в виде суммы элементарных рисков ( ), т.е. рисков на интервале . Запишется это так:

, (2.27)

где .

. (2.28)

С учётом (2.28), предлагается записать выражения для расчёта рисков, которые позволяют найти его (риска) величину исключительно на интересующем нас интервале, при непрерывном распределении вероятности ущерба:

,

, (2.29)

.

Учитывая, что при функцию распределения вероятности ущерба на этом промежутке можно рассматривать как линейную и, как следствие, , а также , выражения (2.29) можно записать так:

,

, (2.30)

. Эта мера риска, по существу, используется [32], когда решения принимаются на основании средних значений, то есть, степень неопределенности игнорируется. Если неопределенность состояний среды значительна, такой способ принятия решений приводит к большим, иногда катастрофическим, ошибкам.

Другим примером может служить дисперсия распределения ущерба

, . (2.31)

Эта мера риска позволяет уже по существу учитывать неопределенность; на ее основе были построены теории Марковица, а также развившая ее САРМ (Capital Asset Prising Model) – модель Шарпа [15, 34].

Можно ввести также смесь и

, , (2.32)

где – взвешенный параметр, определяющий зависимость и имеющий размерность ущерба.

В современных приложениях активно используется мера ожидаемой полезности [33]

, , (2.33)

где – некоторая вогнутая возрастающая функция полезности, определяющая насколько быстро с ростом ущерба растет его влияние на систему. В качестве примера такой функции можно взять . Тогда риск будет определяться площадью под следующей кривой:

. (2.34)

В приложениях активно используется [33] мера риска , называемая VaR (Value at Risk), которая представляет собой квантиль распределения заданного уровня :

. (2.35)

Отметим, что меры риска и жестко фиксированы, меры и обладают некоторой гибкостью: в них можно выбрать значения параметров и , а меры риска и обладают уже значительным запасом гибкости, что позволяет настраивать эти меры риска на исследуемую систему. Также заметим: во всех вышеприведенных формулах – есть закон распределения ущерба.

В качестве меры риска возможно также представить вероятность превышения ущербом некоторого установленного значения :

. (2.36)

При неизменных условиях внешней и внутренней среды риск в системе является константой и определяется в большинстве случаев в литературе как математическое ожидание ущерба [33]. Но с изменением условий, например, с внедрением новых мер защиты или появлением новых алгоритмов взлома, система переходит в новое качественное состояние, которое характеризуется иными параметрами распределения ущерба. Таким образом, можно говорить о том, что изменение ущерба представляет собой случайный процесс, а его математическое ожидание – риск – является случайной величиной.

Пусть – случайный процесс нанесения ущерба. Тогда при любом фиксированном ущерб является случайной величиной, распределенной по закону . В таком случае риск будет представлять собой:

. (2.37)

Таким образом, наблюдается широкое разнообразие способов определения мер риска. Наиболее простыми из них являются - . Далее приводятся уже более подробные методики оценки рисков и защищенности.