1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда

Дан ряд . (7)

Требуется с заданной точностью вычислить его сумму

( в случае сходимости ряда).

Если выполнены два условия признака Лейбница:

1) и 2) , то для остатка R_n ряда (7) справедливо неравенство , где - первый из отброшенных членов ряда. Если , то и подавно . Поэтому, решая неравенство при конкретных значениях n, находим число n - количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы S. Затем непосредственно вычисляем n-ую частичную сумму S_n . Так как , то приближенно за сумму S ряда принимаем n-ую частичную суммы S_n:

.

Задание 9. Вычислить сумму ряда с точностью έ.

Решение. Данный ряд знакочередующийся и сходящийся абсолютно, так как

и ряд Дирихле сходится (p=5>1).

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, справедливо неравенство

. По условию έ =0.001.

Если , то и . Поэтому, решая неравенство , находим при

n=1: b₁=2/81 0,0247>0,001

n=3: b₃=4/65² 0,00094<0,001

Итак, . Получили, что четвертый член удовлетворяет заданной точности . Значит, для вычисления суммы ряда с точностью 0.001 достаточно взять первые три члена ряда. Вычисляем частичную сумму . Таким образом, сумма, вычисленная с заданной точностью, данного ряда .

Ответ: .

2. Функциональные ряды

2.1. Основные теоретические сведения

Ряд , (8)

члены которого – функции от х, называется функциональным.

Множество значений аргумента х, при которых функции

определены и функциональный ряд (8) сходится,

называется областью сходимости этого ряда. При действительном значении аргумента областью сходимости является какой-либо промежуток оси ОХ. При конкретном значении ряд (1) становится числовым. Функция , где - сумма первых n членов ряда (8), а х принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Разность между суммой S(x) сходящегося ряда и его частичной суммой называется остатком ряда (8):

,

причем в области сходимости ряда .

Сходящийся функциональный ряд (8) называется

равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для

любого сколь угодно малого числа ε >0 найдется такое целое число N >0, начиная с которого, т.е. при n N, выполняется неравенство одновременно сразу для всех х из области Х. Достаточным признаком равномерной сходимости рядов является следующий признак Вейерштрасса.

Ряд (8) равномерно сходится в данной области Х, если существует такой сходящийся числовой ряд , что для всех значений х имеет место неравенство .

При этом сходящийся числовой ряд называется

мажорантой для ряда (8).

Пример. Ряды являются равномерно сходящимися в любой области, если ряд абсолютно сходится, т.к. , а ряд сходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов:

1. Если члены равномерно сходящегося ряда (8) непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке.

2. Равномерно сходящийся ряд (8) можно почленно интегрировать в данной области Х, если его члены непрерывны в области Х, причем сумма интегралов от членов ряда равна интегралу от суммы данного ряда:

, где

3. Если ряд (8) сходится к сумме S(x) на отрезке Х, причем его члены имеют непрерывные производные при х и ряд, составленный из производных , равномерно сходящийся на том же отрезке, то , т.е. ряд (8) можно почленно дифференцировать.

Эти свойства функциональных рядов будут в дальнейшем использованы в заданиях 17-18 при нахождении суммы ряда (см. пункт 2.4).