1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов

Рассмотрим ряд с положительными членами

=a₁+a₂+a₃+ , (2)

где , при .

Так как все члены ряда (2) положительны, то частичная сумма S_n возрастает с возрастанием n. Поэтому знакоположительный ряд (2) либо сходится, когда , либо его сумма бесконечная: и ряд расходится.

Перечислим основные достаточные признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения. Если 0 a_n b_n, начиная с

некоторого номера _n=n0, и ряд

=b₁+b₂+b₃+… (3)

сходится, то ряд (2) также сходится. Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3).

2. Второй (предельный) признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если a_n~b_n), то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения удобно использовать один из следующих рядов:

1. Геометрический ряд

(_c=const), который сходится при <1 и расходится при 1.

2. Гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.

3. Обобщенный гармонический ряд (Дирихле)

, который сходится при _p>1 и расходится при p 1.

Замечание. Для оценки общего члена ряда удобно использовать неравенства -1 , -1 ,

, , и т. п.

Пример1. Ряд

сходится по первому признаку сравнения, так как

a_n= b_n Для сравнения взяли сходящийся геометрический ряд , составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

, знаменатель которой q=1/3 меньше 1, а сумма всех ее членов равна . (S= )

Пример 2. Ряд

-расходится. Действительно, ряд

сравним с расходящимся гармоническим рядом

= . Имеем .

Находим

III. Признак Даламбера. Пусть _an>0(начиная с

некоторого номера _n=n0). Если для ряда (2) существует

предел отношения последующего члена _an+1 к предыдущему _an, т. е. , то при _q<1 ряд (2) сходится, а при q>1 ряд (2) расходится.

IV. Признак Коши. Пусть _an (начиная с некоторого номера n=n₀). Если для ряда (2) существует предел

, то при _q<1 ряд (2) сходится, а при q>1 ряд (2) расходится.

Замечание 1. Признаки Даламбера и Коши при q=1 ответа не дают. Тогда следует применить другой признак сходимости.

Замечание 2. При вычислении пределов полезно иметь в виду, что , , , где P(n) —многочлен относительно n. Например,

= .

V. Интегральный признак Коши. Если a_n=f(n),

где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при , где , то ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл .

Устанавливают сходимость несобственного интеграла обычно по определению: = , когда первообразная функция F(x) легко вычисляется.

Пример. Ряд расходящийся по интегральному признаку. Действительно, a_n=f(n)= при _n>2 функция f(x)= -положительная, непрерывная и монотонно убывающая при ,ибо ,т.к. при , и интеграл , то есть расходится. Здесь

Задания (3-7).

Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

Задача 1. .

Решение. При n → ∞ числитель не имеет предела, но является величиной ограниченной: , (произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая) — необходимый признак сходимости ряда выполнен. Применим первый признак сравнения. при . Ряд - сходится (как обобщенный гармонический,

где р=2>1). Значит, исходный ряд также сходится.

Задача 2.

Решение. Необходимый признак сходимости выполнен.

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно второму (предельному) признаку сравнения

т.е. . Ряд сходится согласно интегральному признаку Коши. Значит, сходится исследуемый ряд.

Задача 3. .

Решение. Так как при n → ∞, то исходный ряд сравним с рядом (по второму признаку сравнения): .Воспользуемся признаком Даламбера для установления сходимости этого ряда: q=

Следовательно, ряд сходится. Значит, сходится и исследуемый ряд.

Задача 4.

Решение. Используем признак Коши.

.

Следовательно, ряд сходится.

Задача 5.

Решение. Применим признак Коши.

Значит, ряд расходящийся.

Задача 6.

Решение. Имеем a_n= >0. Применим интегральный признак Коши, предварительно упростив выражение для а_п

~

Члены ряда рассматриваем как значения функции

при x=n, n=4,5,6... .Проверяем условие применения этого признака при : функция >0, непрерывная и f(x) убывает Вычислив ,

видим его расходимость. Следовательно, расходится и ряд

. Из расходимости этого ряда по второму (предельному) признаку сравнения следует расходимость исходного ряда.

Задача 7. .

Решение. Данный ряд сравним с рядом

, так как ~ . Далее применим интегральный признак Коши к вспомогательному ряду.

,

Откуда следует сходимость несобственного интеграла и, следовательно, вспомогательного ряда (по интегральному

признаку). По второму (предельному) признаку сравнения следует сходимость исходного ряда.

Задача 8.

Доказать справедливость равенства . (Ответом служит число q, получаемое при применении признака Даламбера или признаки Коши)..

Доказательство: Рассмотрим знакоположительный ряд

, где

Этот ряд сходится по признаку Даламбера.

.Значит, для него выполняется необходимый признак сходимости ряда: . Значит, , что и требовалось доказать.