2.2. Компенсация систематических погрешностей

В практике измерений применяется несколько методов, позволяющих за счет некоторого усложнения процедуры измерений получить результат измерения свободным от систематической погрешности. К ним относятся метод замещения, метод противопоставления и метод компенсации погрешности по знаку.

Метод замещения. Этот метод дает наиболее полное решение задачи компенсации постоянной систематической погрешности и представляет собой разновидность метода сравнения. Сравнение производится путем замены измеряемой величины известной величиной и так, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при воздействии измеряемой величины.

Метод противопоставления. Рассмотрим данный метод на следующем примере.

Пример. Взвешивание на рычажных равноплечих весах. Условие равновесия весов отсюда . Если длины плеч , одинаковы, то . Если же (из-за технологического разброса длин плеч при их изготовлении, например), то при взвешивании каждый раз возникает систематическая погрешность:

.

Для исключения этой погрешности взвешивание производится в два этапа. Сначала взвешивают груз т_х, уравновешивая весы гирями массой т₀₁. При этом . Затем взвешиваемый груз перемещают на ту чашу весов, где прежде были гири и вновь уравновешивают весы массой т₀₂ гирь. Теперь получим Исключив из равенств отношение / найдем:

.

Как видно из формулы, длины плеч не входят в окончательный результат взвешивания.

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод также предусматривает проведение измерения в два этапа, выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знаками. За результат измерения принимают полусумму показаний, систематические погрешности при этом взаимно компенсируются.

Независимо от того, к какому виду относится измерение, является ли оно прямым, косвенным, совместным или совокупным, систематическая погрешность результата измерения оценивается, как правило, по ее известным составляющим. Поскольку в каждом конкретном случае каждая систематическая составляющая получает конкретную реализацию (она либо постоянная, либо известен закон ее изменения), то результирующая, суммарная систематическая погрешность представляет собой алгебраическую сумму составляющих:

. (2.3)

2.3. Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов и погрешностей

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. В этом случае предсказать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от до , где , – соответственно, нижняя и верхняя границы разброса. Однако остается неясным, какова вероятность появления того или иного значения погрешности, какое из множества лежащих в этой области значений величины принять за результат измерения и какими показателями охарактеризовать случайную погрешность результата. Для ответа на эти вопросы требуется принципиально иной, чем при анализе систематических погрешностей, подход. Подход этот основывается на рассмотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случайных погрешностей как случайных величин. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины и получена группа наблюдений x₁, x₂, х₃,..., x_n. Каждое из значений x_i содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от до , и найдем размах ряда . Разделив размах ряда на k равных интервалов , подсчитаем количество наблюдений , попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат – относительную частоту попаданий . Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте. На рис. 2.3 показана полученная в одном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 50 наблюдений, сгруппированных в табл. 2.1.

Таблица 2.1