ГОУВПО
“Воронежский государственный технический университет”
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
РЯДЫ ФУРЬЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов специальности
230201 “Информационные системы и технологии”
очной формы обучения
Воронеж 2011
Составители: канд. физ.- мат. наук В.В. Дежин,
д-р техн. наук М.Л. Лапшина
УДК 517.2. (07)
Ряды Фурье: методические указания для студентов специальности 230201 “Информационные системы и технологии” очной формы обучения / ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”; Сост. В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж, 2011. 28 с.
Методические указания содержат краткий теоретический материал и большое количество подробно разобранных задач, задачи для самостоятельного решения, предназначены для практических занятий на втором курсе.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word, файл ряды Фурье.doc.
Ил. 2. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников
Ответственный за выпуск д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ГОУВПО “Воронежский государственный
технический университет”, 2011
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами, названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж. Ш. Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831. Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье. Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.
Многие процессы,
происходящие в природе и технике,
обладают свойством повторяться через
определённые промежутки времени. Такие
процессы называются периодическими.
Периодические процессы описываются
периодическими функциями. Простейшими
периодическими функциями с периодом
являются
и
.
Легко
показать, что функции
и
имеют период
.
Вычислим несколько интегралов, которые нам понадобятся в дальнейшем, k и n–натуральные числа
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл
.
Такой результат
получается в результате того, что
.
Получаем:
.
Далее умножаем выражение разложения
функции в ряд на cosnx
и интегрируем в пределах от -
до .
Отсюда получаем:
Аналогично умножаем
выражение разложения функции в ряд на
sinnx
и интегрируем в пределах от -
до .
Получаем:
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Теорема.
(Теорема Дирихле) Если функция f(x)
имеет период 2
и на отрезке [-;]
непрерывна или имеет конечное число
точек разрыва первого рода, и отрезок
[-;]
можно разбить на конечное число отрезков
так, что внутри каждого из них функция
f(x)
монотонна, то ряд Фурье для функции f(x)
сходится при всех значениях х,
причем в точках непрерывности функции
f(x)
его сумма равна f(x),
а в точках разрыва его сумма равна
,
т.е. среднему арифметическому предельных
значений слева и справа. При этом ряд
Фурье функции f(x)
сходится равномерно на любом отрезке,
который принадлежит интервалу
непрерывности функции f(x).
Пример: Разложить
в ряд Фурье функцию
с периодом
Получаем
Замечание: Нетрудно показать, что если функция f(x) имеет период , то
,
где l
– любое число.
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно–монотонной на отрезке [-;].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
.
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пример.
Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию
с периодом T
= 2
на отрезке [-;
].
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
Получаем:
.
Построим графики (рисунок 1) заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
Рисунок 1
Пример: Разложить
в ряд Фурье функцию
с периодом
.
Данная функция четная, поэтому
Заметим, что
Получим ряд Фурье:
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Если функция
задана на всей числовой оси и
непериодическая, то её нельзя разложить
в ряд Фурье, так как сумма тригонометрического
ряда является периодической функцией.
Рассмотрим
непериодическую непрерывную функцию
на промежутке
и построим ряд Фурье, который имел бы
её своей суммой в этом интервале. Для
этого рассмотрим вспомогательную
функцию
с периодом
такую, что
при
.
Разложив в ряд Фурье функцию
,
мы получили тем самым разложение
на
.
Если
функция задана только в промежутке
,
то для разложения её в ряд Фурье на этом
промежутке, нужно сначала продолжить
её каким–то образом на промежуток
,
а затем продолжить периодически с
периодом
на всю числовую ось. Чаще всего на
промежуток
функцию продолжают чётным или нечётным
образом.
Пример.
Разложить функцию
заданную на [0; 1] в ряд по синусам. Продолжим
данную функцию в интервал (-1, 0) нечётным
образом, а затем продолжим периодически
с периодом 2e=2
на всю числовую ось. Тогда
Получаем
ряд Фурье:
.
Ряды Фурье для функций любого периода
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
Для нечетной функции:
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции (х) и (х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Определение. Последовательность функций 1(x), 2(x), …, n(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
Определение.
Рядом Фурье по ортогональной системе
функций
1(x),
2(x),
…,n(x)
называется ряд вида:
коэффициенты
которого определяются по формуле:
,
где f(x)= - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
В случае
ортонормированной системы функций
коэффициенты определяются:
Интеграл Фурье
Пусть функция
f(x)
на каждом отрезке [-l,
l],
где l
– любое число, кусочно–гладкая или
кусочно–монотонная, кроме того, f(x)
– абсолютно интегрируемая функция,
т.е. сходится несобственный интеграл
.
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
+
.
Переходя к пределу
при l,
можно доказать, что
и
.
Обозначим
при l
un
0.
