Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Сборник задач по алгебре. Майорова С.П., Завгородний М.Г

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

222. С помощью критерия Батлера определите, приводимы или нет над полем P данные многочлены. В случае приводимости разложите их на неприводимые над P мно-

жители:
1)	f (x) x2	1,	g(x) x3 x 1 ,	P GF (2) ;
2)	f (x) x3	x2	1, g(x) x4 x3	x 2 ,	P GF (3) .

223. Определите, приводимы или нет над полем GF (3)

данные многочлены. В случае приводимости разложите их на неприводимые множители:


1) x5 x2 2x 1;				2) x4 x3 x 1;					3) x5 x 1;
4) x5 x2 1;				5) x5 x3 1 .
224. В поле				3[x]	найдите сумму,			произведение и об-
224. В поле				f	найдите сумму,			произведение и об-
ратные	элементы			для	классов	[a(x)] f		и		[b(x)] f ,	если
a( x) x2 2x 1 ,				b( x) x2 1 ,		f ( x) x3 2x2 1 .
225.	В поле			2[x]	, где f (x) x		3	x	2	1, выполните
225.	В поле			f	, где f (x) x			x		1, выполните
		x2 x
деление			.
деление		x2 x 1	.
226. Укажите неприводимый многочлен над полем											3 , и

с его помощью постройте поле из девяти элементов. Составьте таблицы Кэли для операций сложения и умножения в этом поле. Для каждого ненулевого элемента укажите обратный.

227. Постройте таблицы сложения и умножения для

кольца	2[x]	f , где	f (x) x	3	x	2	x . Определите, будет ли

это кольцо полем. Найдите число его элементов, укажите все обратимые элементы и найдите обратные к ним.

228. Укажите, сколько элементов содержится в кольце GF (3)[x](x2 1) . Обратим ли в этом кольце элемент [2x 1] ?

229. Покажите, что кольцо	GF (2)[x]	, где f (x) x4 x3 x 1,
	f

не является полем. Найдите число его элементов, укажите все обратимые элементы и найдите обратные к ним.

230. Покажите, что GF (7)[x](x2 x 1) является полем.

Найдите элемент, обратный к [1 x] .

231. Выясните, существует ли поле, количество элемен-

тов в котором равно указанному числу:
1) 5;	2) 6;	3) 32;	4) 36;	5) 125;	6) 144;		7) 243.
232. Для каждой степени n 4					постройте все неприво-
димые многочлены степени n над полем						2 .
233. Для каждой степени n 3 найдите число неприво-
димых унитарных многочленов степени						n	над полем		3 .
Постройте все такие многочлены.
234. Существует ли простое число p такое, что много-
члены x5 2x 1 и x8			8x2 1 совпадают как функции на					p	?

235. Постройте многочлен f					[x]	наименьшей степе-

ни по данной таблице его значений, используя интерполяционную формулу Лагранжа:


1)	x	1	0	1	2	3	; 2)		x		1	2			3	4		6		; 3)	x	1		0		1		2	.
1)							; 2)													; 3)		1							.
	f (x)	6	5	0	3	2			f (x)		5	6			1	4		10			f (x)	1	3		3		5
	236. Постройте многочлен													f				[x]		наименьшей степе-
ни по данной таблице его значений:

									x	1	i	1				i	.
																i	.
								f (x)		1	2	3				4
	237. Постройте многочлен												f				5[x] наименьшей степе-
ни такой, что f (0) f								(1) f (4) 1 ,										f (2) f (3) 3 .
	238. Постройте многочлен														f				11[x] наименьшей сте-
пени такой, что f (0) 3 ,										f (1) 2 ,							f (2) 1,				f (3) 2 .

ГРУППА ПОДСТАНОВОК

239. Составьте таблицу умножения для симметрической группы S3 . Каждый элемент этой группы разложите в про-

изведение независимых циклов. Для каждого элемента группы найдите обратный.

240. Найдите произведение подстановок:

	1		2	3	4	5 1			2	3	4	5
1)													;
		3 4		1	5	2	5		3	1	2	4
	1		2	3	4	5		6 1		2	3	4	5	6
2)															.
		3 6		4	5	2		1 2		4	1	5	6	3

241. Найдите подстановки, обратные к данным:

1) 1 2 3 4 5					6	;			2) 1 2						3 4 5 6			.
	5 4 1 2 3				6						2 4				3 5 6 1
	242. Найдите				a 1 , b 1 ,				b 2a3 ,		a 3b2 ,				если:
				1	2 3 4						1 2				3 4
		a						,	b						.
				2	1 4 3						4 1				2 3
	243. Для данных подстановок a,b S5														найдите		ab ,		ba ,
aba , a 1b ,			a3 , a 3b2 , b 124 :
			1 2		3 4 5						1 2				3 4 5
		a						,	b							.
			3 5		1 4 2						1 5				4 2 3
	244. Для данных подстановок a,b S											n	найдите a 1 ,				b 1 ,		ab :
												n
	1	2	3	... n 1		n			1			2			3 ...	n 1			n
a						,	b							n 3 ...					.
	2	3	4 ...		n	1			n 1 n 2					n 3 ...			1		n
	245. Запишите данные подстановки в виде произведения
независимых циклов и транспозиций:
	1 2 3 4 5				6 7					1 2 3					4 5 6 7
1)						;			2)										;
	3 1 6 7 5				2 4						4 3 6				7 1 5 2
	1 2 3 4 5				6 7 8					1 2 3					4 5 6 7 8
3)								;	4)										.
	1 7 4 5 3				6 8 2						4 6 8				7 2 5 1 3

246.Запишите в каноническом виде данные подстановки:

1)(1, 3, 6)(2, 4, 7) ; 2) (1, 4, 7)(2, 3, 5, 6) ;

3)(1, 6, 5, 4, 2, 3, 7) ; 4) (1, 3, 5, ... , 2n 1)(2, 4, 6, ... , 2n) .

247.Найдите произведение подстановок, записанных в виде произведения независимых циклов:

1) (1, 3, 5)(2, 4, 6, 7) (1, 4, 7)(2, 3, 5, 6) ;

2)(1, 3)(5, 7)(2, 4, 6) (1, 3, 5)(2, 4)(6, 7) .

248.Найдите подстановку x S7 из уравнения:

1) ax b ,			2) axb c ,				3) bxa c ,
1 2 3				4	5	6	7		,	1
a										b
	3 1 2			7	4	5	6			7
1		2	3	4	5	6	7
c	5	1	3	6	4	7	2	.

249.Найдите подстановку x S7

1)(1, 7, 3, 5) x (2, 6)(3, 5, 7) ;

4) a2 x 1b c , где

2	3	4	5	6	7	,
3	2	1	6	5	4

из уравнения:

2)(1, 3, 5)(2, 6) x (2, 3, 6, 7, 5) (1, 2) .

250.Определите четность данных подстановок тремя способами: а) по определению, б) по декременту, в) при помощи транспозиций.


1) 1	2	3	4	5	6	7	8		; 2)	1	2	3	4	5		6	7	8	;
3	7	8	4	5	6	2	1			1	6	2	8	7		3	5	4
3) 1	2	3	4	5	6	7	8	; 4)		2	1	3	4	5	9	8	6		7	.
8	7	6	4	5	3	2	1			1	2	4	5	3	8	9	7		6

251. Выполните умножение подстановок, ответ запишите в виде произведения независимых циклов.

					...		n	1		2 , ... , n )					...		n
1)		1		2			n		( 1,	2 , ... , n )		1		2			n	;
		1	2		...	n						1	2		...	n
	1		2		3 ...				n 1	(2, 3, 4)	1	2		3	...		n
2)										(2, 3, 4)								.
	1		2		3 ...				n		1	2	3		...	n

252. Найдите четность и декремент подстановки x S5 , если известно, что x 1 a 1b3c 2ba , где a (1, 5)(2, 4) ,


b 1 (1, 4)(2, 3,	5) , c (1, 3, 5) .
253. Для данных подстановок a,b,c, d, f S			найдите a3	,
		8
b2a , cdf , c4d 2 ,	fdc ,	где a (1, 2,3)(4,5,6,8) , b (3, 4)(5, 2, 6,1,8) ,
c (1,5, 7, 2,3, 6)(4,8) ,		d (1, 4,3,8,5) , f (8, 7, 4,3,1, 2)(5, 6) .

254.Как меняется четность подстановки при умножении

еена транспозицию?

255.Докажите, что четные подстановки образуют под-

группу An			группы Sn . Чему равен порядок этой группы?
Выпишите все элементы группы A4 .
				ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
	256. Докажите,				что множество подстановок		1	2	3	,
	256. Докажите,				что множество подстановок					,
							1	2	3
1	2	3	1	2	3
			,			образует группу относительно опера-
2	3	1	3	1	2

ции умножения.

257. Докажите, что множество, состоящее из трех ком-


плексных чисел		1,			1	i		3	,			1	i	3	, обра-
плексных чисел	0	1,	1			i			,	2			i		, обра-
	0		1	2			2			2	2			2
				2			2				2			2

зует группу относительно операции умножения комплексных чисел.

258.Докажите, что группы, рассмотренные в задачах 256

и257, изоморфны.

259.(Четверная группа Клейна) Докажите, что множе-

ство подстановок K4 e, (1, 2)(3, 4), (1,3)(2, 4), (1, 4)(2,3) с

операцией умножения является группой.

260. Пусть G - множество матриц вида	a	0	, где
260. Пусть G - множество матриц вида			, где
	0	b
a, b { 1; 1} . Докажите, что множество G	относительно

операции умножения образует группу.

261.Докажите, что группы, рассмотренные в задачах 259

и260, изоморфны.

262.Докажите, что группы G1 и G2 изоморфны, если:

1)	G1	– множество матриц вида				1		x		, где x	, с опера-
1)	G1	– множество матриц вида								, где x	, с опера-
						0		1
	цией умножения;			G2 ( , ) ;
2)	G1	– множество матриц вида				a		a	, где a		, a 0 , с
2)	G1	– множество матриц вида							, где a		, a 0 , с
						a		a
	операцией умножения;				G2 (		\ {0}, ) ;
3)	G1	– множество матриц вида				a		0	, где a, b		, a 0 ,
3)	G1	– множество матриц вида							, где a, b		, a 0 ,
						b		0
	с операцией сложения;				G2	–	множество матриц вида
	x	y	, где x, y	, x	0 , с операцией сложения;
			, где x, y	, x	0 , с операцией сложения;
	0	0
4)	G1	–	множество	матриц вида				a		3b	a, b ,
4)	G1	–	множество	матриц вида						, где	a, b ,
								b		a

	a2 b2 0 , с операцией умножения;						G	– множество чи-
							2
	сел вида a b			a, b		a2 b2		0 , с операцией
	сел вида a b	3 , где		a, b	,	a2 b2		0 , с операцией
	умножения.
	263. Найдите порядок данной подстановки:
	1 2 3 4 5		6		1 2 3			4 5 6
1)			;	2)				;
	2 3 1 5 4		6			2 3 4		5 1 6
	1 2 3 4 5 6 7 8				1 2 3			4 5 6 7 8
3)				; 4)					.
	8 6 1 3 2 5 7 4					3 4 1		5 8 7 6 2

	264. Для данной подстановки a вычислите an :
	1		2	3	4	5	6			72 ;
1)	a	4	5	2	1	3	6	,	n	72 ;
		4	5	2	1	3	6
2)	1		2	3	4	5	6	,		100 ;
2)	a	5	6	2	1	4	3	,	n	100 ;
		5	6	2	1	4	3
	1		2	3	4	5	6		7		8	9		95 ;
3)	a	7	9	6	8	2	3		4		1	5	, n	95 ;
		7	9	6	8	2	3		4		1	5
	1		2	3	4	5	6		7		n 102 ;
4)	a	2	4	7	5	6	1		3	,	n 102 ;
		2	4	7	5	6	1		3
	1		2	3	4	5	6		7		n 137 ;
5)	a	4	7	1	3	5	2		6	,	n 137 ;
		4	7	1	3	5	2		6
	1		2	3	4	5	6		7	8		9		51 ;
6)	a	7	3	1	8	6	9		4	5		2	, n	51 ;
		7	3	1	8	6	9		4	5		2
	1		2	3	4	5	6		7	8		9		352 .
7)	a	9	5	4	3	1	7		6	8		2	, n	352 .
		9	5	4	3	1	7		6	8		2

	265. Пусть				1 2 3			4 5 6 7 8		,	1 2 3 4 5 6	7 8
	265. Пусть				a					,	b		.
						2 3 4		8 1 5 7 6			8 7 5 3 2 1	4 6
Вычислите				a100 , b100 , (ab)100 .
	266. Найдите порядки элементов:
	1 2		0		1		1 1
1)		,			,			в группе		GL2 ( 3 ) ;
	0 1		2		0		1 2
	1	1	1		2
2)		,				в группе GL2 ( 5 ) ;
	0	1		0	1
	1 1			i	0		1	0	2 1		в группе GL2 (	) .
3)			,		i		,	,			в группе GL2 (	) .
	0	1		0	i		0	1	1 1

267.Существует ли в группе S6 элемент порядка 8?

268.Выясните, какие порядки могут быть у элементов группы S4 , и сколько в S4 имеется элементов заданного по-

рядка.
269.		В группе GL2 ( ) укажите два элемента конечного
порядка и два элемента бесконечного порядка.
270.		Найдите порядок каждого элемента в группах		*8 ,
*12 ,	*7 .
271.		Найдите наибольший из порядков элементов груп-
пы Sn для каждого n 10 .
272.		0	0	, где
272.		Докажите, что множество матриц вида		, где
		x	y
x, y	,	относительно операции сложения является группой.

Укажите несколько ее подгрупп. Среди найденных подгрупп отметьте циклические и укажите их порождающие элементы.

	273. Докажите,					что в группе GL2 (				) множество H всех
		a		b					, a 0 , является подгруппой.
матриц вида					, где a, b				, a 0 , является подгруппой.
		0		1
	274. Выясните, какие из следующих множеств образуют
подгруппу в группе S4 :
	1 2 3 4			1		2	3 4		1 2 3	4			1 2	3 4
1)			,					,				,			;
	1 2 3 4				4	3	1 2		2 1 4	3			3 4	2 1
	1 2 3 4			1		2	3 4		1 2 3	4			1 2	3 4
2)			,					,				,			;
	1 2 3 4				2	1	4 3		2 1 3	4			1 2	4 3
	1 2 3 4			1		2 3 4			1 2 3	4		1 2		3 4
3)			,				,				,			;
	1 2 3 4				4	3 1 2			2 1 4	3			4 3	2 1
	1 2 3	4			1		2 3 4
4)				,					.
	1 2 3 4				2		1 3 4

275. Найдите в аддитивной группе вычетов по модулю

12 наименьшую по порядку подгруппу, содержащую:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 1; д) 5; е) 7; ж) 8.

276.Для группы S3 постройте подгруппу H , порожденную подстановкой a (1, 3) .

277.Докажите, что в группе S3 множество {e, (1, 2)} -

конечная циклическая подгруппа и ее образующий элемент равен (1, 2) .

278. Докажите, что множество комплексных чисел G {1, 1, i, i} образует группу относительно операции умножения. Докажите, что эта группа циклическая, найдите

ееобразующий элемент.

279.Для каждой из следующих групп определите, является ли она циклической группой:

1) (	4	, ) ;	2) (	*	, ) ;	3) (	*	, ) ;	4) (	*	, ) .
	4			7			8			9

280.Какие из следующих утверждений истинны: а) каждая циклическая группа абелева; б) каждая абелева группа циклическая;

в) каждый элемент циклической группы, отличный от еди-

ничного элемента, является ее порождающим; г) каждая группа порядка n 4 циклическая;

д) каждая группа порядка n 4 циклическая.

281.Докажите, что группы ( 4 , ) и ( *8 , ) не изоморфны.

282.Найдите порядки всех элементов аддитивной и

мультипликативной групп кольца 10 . Являются ли эти

группы циклическими?

283. Постройте левые и правые смежные классы группы S3 по подгруппе H e;(2,3) . Будет ли H нормальным делителем?

284. Докажите, что в группе S3 подгруппа A3 четных подстановок является нормальным делителем, а подгруппы H1 {e; (1,3)} , H2 {e; (1, 2)} нормальными делителями не являются. Постройте факторгруппу G / H , где G S3 , H A3 .

285.Разложите группу S4 в левые и правые смежные классы по подгруппе A4 всех четных подстановок и по подгруппе Клейна K4 (см. задачу 259). Покажите, что A4 и K4 являются нормальными делителями группы S4 .

286.Докажите, что факторгруппа S4 K4 изоморфна

группе S3 .

287.Найдите число классов сопряженных элементов в группах: а) S4 ; б) S5 ; в) S6 . Укажите мощности этих классов.

288.В группе S4 найдите класс сопряженности:

а) подстановки (1, 2)(3, 4) ;

б) подстановки (1, 2, 4) .

289.Разложите группы S3 , S4 в классы сопряженных элементов.

290.Найдите все решения уравнения Коши x 1ax b ,

где подстановки a,b S5 :

1)	a (1, 3, 4)(2)(5) , b (1, 5, 3)(2)(4) ;
2)	a (1, 2)(3, 4) , b (1,5)(2, 4) ;
3)	a (1, 4)(2,3,5) , b (1,3, 4)(2,5) ;

4)a (1,3)(4,5) , b (1,5)(2,3, 4) .

291.Покажите, что данные подстановки a и b являются сопряженными элементами группы S6 , найдите все решения

уравнения Коши x 1ax b , где
1	2	3	4	5	6		1		2	3	4	5	6
a						,	b							.
2	5	3	6	1	4			5	3	4	2	1	6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия