Сборник задач по алгебре. Майорова С.П., Завгородний М.Г

1)

127x 80 (mod 274) ;

2)

36x 42 (mod 90) ;

3)

83x 12 (mod101) ;

4)

820x 13 (mod 9) ;

5)

78x 42 (mod 51) ;

6)

415x 200 (mod 630) ;

7)

134x 118 (mod 206) ;

8)

111x 75 (mod 321) ;

9)

67x 64 (mod183) ;

10)

354x 567 (mod 639) ;

11)

2775x 825 (mod 624) ;

12)

285x 177 (mod 924) ;

13)

285x 51 (mod 363) ;

14)

12103x 385 (mod1425) ;

15)

89x 86 (mod 241) ;

16)

186x 374(mod 422) ;

17)

486x 39 (mod 327) ;

18)

690x 57 (mod 429) ;

19)

213x 137 (mod 516) ;

20)

1296x 1105 (mod 2413) .

1)

x4 3x3 x2 2 0

(mod 7) ;

2)

x3

7x 3 0

(mod 5) ;

3)

x3 x 1 0

(mod 6) ;

4)

x2

3x 5 0

(mod 5) ;

5)

x5 x 1 0

(mod 7) ;

6)

x3

3x 1 0

(mod19) .

172. Решите системы сравнений:

1)

x 3 (mod12)

;

2)

x 2 (mod 15)

;

3)

x 28(mod15)

;

x 4 (mod 5)

x 18 (mod 22)

x 18(mod 22)

4)

3x 2(mod 5)

;

5)

4x 7(mod11)

;

6)

4x 3(mod 7)

;

2x 5(mod 9)

8x 15(mod13)

5x 4(mod 6)

7x 5(mod11)

7x 10(mod11)

5x 20(mod 6)

10) 13x 12(mod 23) ; 11) 12x 7(mod13) ;

12) 6x 6(mod

5) .

5x 2(mod 7)

7x 11(mod15)

4x 5(mod

77)

175. Для кольца

360

найдите: 1) число обратимых эле-

ментов; 2) число делителей нуля.

176.

Укажите, какие из данных колец вычетов являются

полями:

8 , 15 ,

19 ,

47 , 129 .

177.

В кольце классов вычетов 117 найдите сумму,

1)

319 и

35 ;

2)

17 и

31;

3)

16

и

271;

4)

219 и

201 ;

5)

102

и 35 ;

6)

131

и

262 .

179. В кольце

18

вычислите:

1)

318 72

15 5 1 ( 21) 35 ;

2) 15 715

12 75 730 7 ;

1)

(2 6 3 5)10

в поле

7 ;

2) (1 2 3 4) 2 в поле 11 ;

3)

(7 3 1 4) 1

в поле

13 ;

4)

1 1 2 1 ... ( p 1) 1

в поле

p ( p 2 ).

181. Для матрицы A над данным полем

p

найдите

обратную матрицу A 1 . Сделайте проверку.

3

2

8

7

1)

A

над

7 ;

2)

A

над

13 ;

1

6

3

5

7

5

1

2

5

11 ;

3)

A

над

4)

A

4

0

1

над 7 ;

1

3

3

1

2

5

2 1

1

0 1 1

2 .

5)

A

8

3

6

над 31 ;

6)

A

0

1

0

1 над

7

4

5

1

0

0

1

1

1

1

1

182. Найдите ранг данной матрицы над данным полем:

2 3

1 4 5

1 2

1 1 0

1 2

0

6

3

2 1

0

2

1

1)

над

7

; 2)

над

3

.

3 3

5 0 2

1 2

2 1 1

2 4

4 3 5

0 0

1 0 1

183. Решите уравнение в указанном поле:

1)

3x 7 0 в поле

17 ;

2) 5x 11 0 в поле 19 ;

3)

4x2 x 2 0 в поле

7

;

4) 2x2 4x 1 0 в поле

5

;

5)

x3 x 2 0 в поле

5

;

6)

x4 3x3 4x 5 0 в поле

7

.

184. Решите системы линейных уравнений:

1) над полем

2 :

x

x

x

x

1

x

x

x

x

1

1

2

3

4

1

2

3

4

а) x1

x3

1 ;

б) x1

x3

1;

x2

x4

0

x2

x4

1

2) над полем

3 :

x

x

x

1

2x

x

x

1

1

2

3

1

2

3

а) 2x1

x2

x3

1 ;

б) 2x1

x2

2x3

2 ;

2x

2x

1

2x

2x

x

0

2

3

1

2

3

3) над полем

5 :

x

2x

4x

1

x

x

x

2

1

2

3

1

2

3

а) x1

3x2

4x3

2 ;

б) 2x1

3x2

4x3

1 .

x

4x

x

3

3x

2x

0

1

2

3

1

3

185.

Решите системы уравнений над данным полем.

Сделайте проверку.

1)

3x 4 y 1

над

13 ;

2)

4x 5 y 6

над 11 .

3y 7

7x 3y 1

5x

186.

Решите матричное уравнение над полем

7 , сде-

лайте проверку:

3

2

4

3

X

.

1

4

1

1

187.

Докажите, что ненулевой элемент [a]m

m обра-

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ

190. Для многочленов

f (x) и g (x) над данным полем P

разделить с остатком f (x)

на g (x) :

1)

f (x) x4 3x3 5x2 6x 7 ,

g(x) x2 x 3 ,

P ;

2)

f (x) x5 1 , g(x) x3 1 ,

P ;

3)

f (x) 2x4 3x3 4x 1 ,

g(x) 3x3 x 2 ,

P

5

;

4)

f (x) x5 x3 x 1,

g(x) x3 x 1 ,

P

2

.

191. В кольцах

3[x] ,

5[x] ,

[x]

найдите частное и

остаток при делении многочлена

f (x) на многочлен g (x) :

1)

f (x) x5 x2 x 1,

g(x) x3 2x 1 ;

2)

f (x) 2x4 x2 2x ,

g(x) x2 2 .

192. Разделить

многочлен

f (x)

[x]

с остатком на

(x x0 ) и найти значение

f (x0 ) :

1)

f (x) x4 2x3 4x2 6x 8 ,

x 1 ;

0

2)

f (x) 2x5 5x3 8x ,

x 3 ;

0

3)

f (x) 3x5 x4 19x2 13x 10 ,

x 2 ;

0

4)

f (x) x4 3x3 10x2 2x 5 ,

x 2 .

0

195. Найдите кратность корня x0

многочлена f

[x] :

1)

f (x) x5 6x4 11x3 2x2 12x 8 ,

x 2 ;

0

2)

f (x) x5 5x4 7x3 2x2 4x 8 ,

x 2 ;

0

3)

f (x) x5 7x4 16x3 8x2 16x 16 ,

x 2 ;

0

4)

f (x) 3x5 2x4 x3 10x 8 ,

x 1;

0

5)

f (x) x5 6x4 2x3 36x2 27x 54 ,

x 3 .

0

196. Может ли кольцо многочленов K[x]

быть полем?

197. Пусть f , g K[x] и f (x) x4 a ,

g(x) x2

bx 1.

Найдите a и b так, чтобы многочлен

f (x) делился на g (x) .

198. Многочлен f [x] четвертой степени со старшим

200. С помощью алгоритма Евклида найдите НОД для

многочленов f и g над полем

:

1)

f (x) 2x4 x3 x2 x 3 ,

g(x) x3 2x2 1;

2)

f (x) x5 2x4 x3 7x2 x 6 ,

g(x) x4 4x3 4x2 3x 14 ;

3)

f (x) x4 4x3 1,

g(x) x3 3x2 1 ;

4)

f (x) x6 x5 3x4 2x3 4x 2 , g(x) x5 3x4 x3 6x2 4x 6 ;

5)

f (x) x4 x3 2x2 x 1 ,

g(x) x3 2x2 x 2 ;

6)

f (x) x4 x3 3x2 4x 1 ,

g(x) x3 x2 x 1 ;

7)

f (x) x4 2x3 2x2 2x 2 ,

g(x) x3 3x 2 ;

8)

f (x) x6 7x4 8x3 7x 7 , g(x) 3x5 7x3 3x2 7 .

201. Найдите НОД и его линейное представление для

многочленов f

и g над полем

:

1)

f (x) 3x3 2x2 x 2 ,

g(x) x2 x 1 ;

2)

f (x) x4 x3 3x2 6x 3 ,

g(x) x3 2x2 2x 1 ;

3)

f (x) x3 1,

g(x) x4 x3 2x2 x 1 ;

4)

f (x) x5 x4 2x3 x2 2x 1 ,

g(x) x4 2x2 x .

202. Найдите НОД и НОК для многочленов f , g, h [x]:

f (x) x3 2x2 3x 2 , g(x) x4 x3 x2 x 2 ,

h(x) x3 x2 4 .

203. Найдите НОД и его линейное представление для

многочленов f

и g над данным полем

p :

1)

f (x) x5 x4 1,

g(x) x4 x2 1 ,

p 2 ;

2)

f (x) x5 x3 x 1,

g(x) x4 1,

p 2 ;

3)

f (x) x5 x 1 ,

g(x) x4 x3 1,

p 2 ;

4)

f (x) x5 x3 x ,

g(x) x4 x 1 ,

p 2 ;

5)

f (x) x6 x5 x3 x 2 , g(x) x5 x4 x3 x2 1 , p 3 ;

6)

f (x) x8 2x5 x3 x2 1 , g(x) 2x6 x5 2x3 2x2 2 , p 3 .

204. В каждом из колец

3[x] ,

5[x] , [x] найдите

НОД и НОК для данных многочленов f

и g :

1)

f (x) x3 x2 2x 2 ,

g(x) x2 x 1 ;

2)

f (x) x4 x3 x2 1 ,

g(x) x3 2x 1;

3)

f (x) x4 2x2 2x 2 ,

g(x) x3 x2 1.

1) 1 - корень кратности два;

2, 3,

1 i - простые корни;

2)

i - корень кратности два;

1 i

- простой корень;

3)

1 i , 2 i - корни кратности два.

206. Зная, что многочлен

f (x) имеет корень c , найдите

его остальные корни:

1)

f (x) x4 3x3 2x2 x 5 ,

c 2 i ;

2)

f (x) x6 9x5 33x4 65x3 74x2 46x 12 , c 1 i .

207. Многочлен f [x]

степени n имеет веществен-

208.

Найдите канонические разложения

многочленов

f ( x) x6

1 и g( x) x4 1 над полями ,

, .

2)

f (x) (x3

1)(x2 2x 1) ,

g(x) (x2 1)3 ;

3)

f (x) (x2 x 2)2 (x 1)4 (x 1) ,

g(x) (x2

x 1)5 (x 2)(x 1)3 ;

4)

f (x) (x2

2x 1)2 (x2 x 1) ,

g(x) (x 2)(x 4)(x 1)2 ;

5)

f (x) (x2 2x 8)2 (x3 8)(x 2)2 ,

g(x) (3x2 5x 22)2 (x2 16)3 .

210. Отделите кратные корни многочлена и напишите

разложение

f (x) на неприводимые над полем множители:

213.

Докажите, что если несократимая рациональная дробь

m

является корнем многочлена f (x) a xn a

xn 1 ... a x a

n 1

q

n

1 0

с целыми коэффициентами, то:

1) a0 m ;

2) an q ;

3)

f (k) (m kq)

при любом целом k .

214.

Докажите, что для любого простого числа p

мно-

гочлен x p 1 x p 2

... x 1 неприводим над полем .

215.

Используя признак Эйзенштейна, докажите непри-

водимость над полем

следующих многочленов:

1) x4 8x3 12x2 6x 2 ;

2) x5 12x3 36x2 12 ;

3) 6x5 7x4 14x3 28x2 7x 35 ;

4) xn 5 .

216.

Установите, какие из следующих многочленов не-

приводимы над полем

рациональных чисел:

1) 2x5 6x4 9x2 12 ;

2) 3x4 4x3 8x 10 ;

3) x2 3x 4 ;

4) x3 12 ;

5) x3 x 2 ;

6) x3 3x 5 ;

1)

x3 3x 2 ;

2)

x3 x 1;

3)

x4 x3 6x2 3x 6 ;

4)

x4 3x3 4x2 18x 18 ;

5)

x4 x3 11x2 5x 30 ;

6)

x4 2x3 13x2 38x 24 ;

7)

x5 x4 6x3 14x2 11x 3;

8)

x4 4x3 2x2 12x 9 .

1)

x3 6x2 15x 14 ;

2) x4 2x3 8x2 13x 24 ;

3) 3x5 2x4 2x3 7x2 7x 3 ;

4) 3x3 5x2 5x 2 ;

1)

4x6 24x5 29x4 37x3 34x2

39x 9

над полем

;

2)

x7 4x6

4x5

2x4 4x3 3x2

3x 4

над полем

5

;

3)

x6 2x5

3x4

x3 4x 3 над полем

7

.

1)

x3 x 1,

P

2

;

2) x5 x3 x2 1,

P

2

;

3)

x3 2x2 4x 1,

P

5

;

4) x4 x3 x 2 ,

P

3

;

5)

x4 3x3 2x2 x 4 ,

P

5

;

6)

x6 x5 2x4 3x3 2x2 2x 1,

P

5

;

7)

x5 5x4 x3 6x2 6x 4 ,

P

7

;

8)

x4 2x3 2x 6,

P

7

.