Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Сборник задач по алгебре. Майорова С.П., Завгородний М.Г

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

x 5 (mod 3)

7)x 17 (mod 4)x 3 (mod 13)

x 3 (mod 17)x 26 (mod 3)

x 5 (mod 4)9)

	x 19 (mod 4)
11)
11)	x 26 (mod 5)

	x 2 (mod 7)
	x 14 (mod 3)
13)
13)	x 25(mod 4)

	x 3 (mod 11)
	x 14 (mod 13)
15)
15)	x 35(mod 3)

	x 3 (mod 5)
	x 1 (mod 3)
17)
17)	x 39 (mod 4)

	x 15 (mod 13)
	x 36 (mod 17)
19)
19)	x 7 (mod 3)

	x 15 (mod 4)

x 23(mod 7) 8) x 3 (mod 5)

x 17 (mod 8)

x 38(mod 5) 10) x 17 (mod 4)

x 2 (mod 11)

x 8 (mod 7)

12)x 3 (mod 5)x 29 (mod 9)

x 3 (mod 5)

14)x 37 (mod 7)x 23(mod 11)

x 29 (mod 3)

16)x 11 (mod 5)x 3 (mod 8)

x 10 (mod 7)

18)x 42 (mod 5)x 9 (mod 8)

x 12 (mod 5)

20)x 31(mod 4)x 3 (mod 11)

161

ЗАДАЧА 56. Найдите число обратимых элементов и число

делителей нуля в кольце классов вычетов				m при данном

значении m . Выпишите все обратимые				элементы этого
кольца.
1)	m 819 ;	8) m 712 ;		15)	m 840 ;
2)	m 392 ;	9) m 351;		16)	m 624 ;
3)	m 378 ;	10)	m 528 ;	17)	m 594 ;
4)	m 882 ;	11)	m 891;	18)	m 918 ;
5)	m 684 ;	12)	m 816 ;	19)	m 612 ;
6)	m 936 ;	13)	m 540 ;	20)	m 608 .
7)	m 702 ;	14)	m 756 ;
ЗАДАЧА 57. В кольце классов вычетов				91 найдите сум-

му, произведение и обратные (если они существуют) для данных классов:



1)	271	и	490 ;	2)	557 и 322 ;

3)	216	и	442 ;	4)	336	и	496 ;

5)	247	и	439 ;	6)	409	и	259 ;

7)	245	и	478 ;	8)	343	и	508 ;


9) 337 и 448 ;						10)	553		и			306		;

11)		251 и 532 ;				12)	481				и		344 ;

13)	352		и	507 ;		14)	658				и		359 ;

15)	551		и	266 ;		16)	264			и		507		;

17)	504		и		346 ;	18)	207				и		715 ;

19)	582		и	441 ;		20)		416			и		328 .

162

ЗАДАЧА 58. Для данной матрицы A над полем	p	найдите
	p
обратную матрицу A 1 . Сделайте проверку.

1)		3	9
1)	A	5	2	,
		5	2
	2		11
3)	A				,
		5	6
5)	5		7		,
5)	A				,
	14		2
7)	3		5		,
7)	A				,
		2	11
	15		1
9)	A				,
		11	3
11)	A	3		5	,
11)	A				,
		9		2
13)	A	5		2		,
13)	A					,
		6	11
15)	A	14		5		,
15)	A					,
		2		7
17)	A	2		3		,
17)	A					,
		11		5
19)	A	11		15			,
19)	A						,
		3		1

p 11;	2)		9		3	,
		A
			2		6
p 17 ;		1		12
	4)	A					,
			3	17
p 19 ;	6)		7		2	,
		A
			4		5
p 13 ;	8)	4			9		,
		A
		13			7
p 23 ;	10)	A	5		14			,

			8		9
p 11;	12)	A	2		9		,
				6	3

p 17 ;	14)	A	3			1			,

			17		12
p 19 ;	16)	A	4		7
				5	2	,

p 13 ;	18)	A	13		4			,
				7	9

p 23 ;	20)	A	8		5			,
				9	14

p 13 ;

p 23 ;

p 11;

p 17 ;

p 19 ;

p 13 ;

p 23 ;

p 11;

p 17 ;

p 19 .

163

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ЗАДАЧА 59. Пользуясь схемой Горнера, в каждом из колец

[x] ,		2[x] ,		3[x] разделите многочлен					f (x)	с остатком на
(x x0 )		и найдите значение f (x0 ) :
1)	f (x) 5x5			4x4		7x3 11x2 29,			x	1;
									0
2)	f (x) 11x6 6x5 4x4 5x3 x 5,								x 1;
									0
3)	f (x) x5		23x3			2x2 x 37,			x	5;
									0
4)	f (x) 13x5 5x4 4x2 9x 5,								x 1;
									0
5)	f (x) x6		2x4		7x3		3x2	5x 11,	x	1;
									0
6)	f (x) x5		2x4		9x3		7x2	5x 17,	x	5;
									0
7)	f (x) 3x6 5x5 2x4 11x3 7x2 5,								x 1;
									0
8)	f (x) 2x6			3x4		11x3 12x 25,			x	1;
									0
9)	f (x) 3x6			x3	28x2 13x 19,				x	1;
									0
10)	f (x) 7x6			x4	3x3		10x2 2x 19,		x	1;
									0
11)	f (x) x5		39x4			8x3 17x2 5x 7,			x	1;
									0
12)	f (x) x5		5x4		8x3		15x 23,		x	5;
									0
13)	f (x) 2x5			7x4		8x2 21x 31,			x	1;
									0
14)	f (x) 3x5			2x4		7x3 10x 19,			x	1;
									0
15)	f (x) x5		6x4		5x3		27x2 55,		x	5;
									0

164

16)	f (x) x6	2x3		35x2		6x 25,	x	1;
							0
17)	f (x) x5	3x3		19x2		10x 49,	x	1;
							0
18)	f (x) x6	8x3		23x2		51x 91,	x	1;
							0
19)	f (x) 2x6		5x5		7x2	8x 73,	x	1;
							0
20)	f (x) 7x5		2x3		3x2	11x 19,	x	1.
							0

ЗАДАЧА 60. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель данных многочленов в каждом из колец [ x] , 2[x] , 3[x] . В кольцах 2[x] и 3[x] найдите линейное представление для унитарного НОД.

1) x5 x4 x3 x2 2x 2,					x5 1;
2) x5 2x4 2x2 7x 6,				x4 x3 4x2 3x 2;
3) 3x5 7x4 x3 2x 5,				x4 1;
4) x6 6x4 4x3 9x2 12x 4,					x5 4x3 2x2 3x 2;
5) 3x5 x4 6x3 3x2 3x 2,					3x4 4x3 3x2 2x 1;
6) x6 3x5 4x4 x3 2x2 5x 3,						x5 2x4 3x3 2x2 7x 4;
7) x5 x4 x3 2x 1,			3x4 2x3 x2 2x 2;
8) x5 x4 x3 3x2 3x 1,					x4 2x3 x2 2x 1;
9) x4 4x3 1,		x3 3x2 1;
10) x6 4x5	14x3 18x2		11x 6,			x5 2x4 5x3 7x2 4x 3;
11) x4 2x3	x2	4x 2,		x4 x3		x2 2x 2;

165

12)	x5 5x4 2x3 12x2 2x 12,					x3 5x2 3x 17;
13)	2x4 3x3 3x2 5x 2,				2x3 x2 x 1;
14)	x4 x3 3x2 4x 1,			x3	x2	x 1;
15)	x5	3x4 4x 8,	x2	4;
16)	3x4 11x3 7x2 x 6,				x3 2x2 2x 3;
17)	x6	2x4 4x3 3x2	8x 5,			x5 x2 x 1;
18)	x5	x4 x3 2x 1,		3x4	2x3 x2 2x 2;
19)	x6	7x4 8x3 7x 7,		3x5 7x3 3x2 7,
20)	x4 x3 4x2 4x 1,			x2	x 1.

ЗАДАЧА 61. Разложите данный многочлен	на неприводи-
мые множители над каждым из полей , 2 ,	3 :

1) x5 x4 x3 8x2 41x 6; 2) x5 7x3 11x2 5x 30;

3) x5 4x4 7x3 10x2 10x 4; 4) x5 2x4 4x3 4x2 5x 6;

5) x5 5x4 6x3 11x2 43x 30; 6) x5 4x4 9x3 19x2 44x 21;

7) x6 5x5 5x4 38x3 49x2 23x 3; 8) x5 5x4 4x3 17x2 31x 14;

166

9)x6 2x5 9x4 24x3 34x2 4x 6;

10)x6 x5 4x4 6x3 9x2 3x 6;

11)x6 x5 10x4 12x3 27x2 3x 6;

12)x5 5x4 29x2 19x 42;

13)x6 6x5 10x4 9x3 3x2 5x 4;

14)x6 3x5 4x4 9x3 3x2 16x 4;

15)x6 4x4 5x3 21x2 35x 14;

16)x5 4x4 18x3 16x2 17x 12;

17)x6 6x5 11x4 4x3 33x2 2x 21;

18)x6 3x4 2x3 18x2 24x 8;

19)x5 9x4 18x3 6x2 26x 4;

20)x6 4x4 5x3 21x2 35x 14.

ЗАДАЧА 62. Найдите все рациональные корни данного многочлена и разложите многочлен на неприводимые над полем

рациональных чисел множители.

1)3x5 2x4 16x3 4x2 21x 6 ;

2)2x5 7x4 6x3 x2 26x 12 ;

3)6x5 13x4 26x3 19x2 38x 12 ;

4)4x5 12x4 x3 6x2 10x 3 ;

5)2x5 3x4 7x3 6x2 x 3 ;

167

6)3x5 8x4 4x3 3x2 8x 4 ;

7)9x5 21x4 8x3 21x2 13x 2 ;

8)6x5 x4 7x3 7x2 1;

9)12x5 19x4 x3 13x2 13x 6 ;

10)3x5 8x4 2x3 2x2 5x 6 ;

11)4x5 7x4 7x3 5x2 18x 9 ;

12)4x5 7x4 6x3 5x2 23x 6 ;

13)6x5 15x4 20x3 29x2 16x 12 ;

14)4x5 x4 5x3 6x2 8x 6 ;

15)6x5 8x4 7x3 5x 2 ;

16)15x4 22x3 15x2 18x 4 ;

17)6x4 2x3 45x2 27x 14 ;

18)8x5 22x4 6x3 15x2 5x 2 ;

19)4x5 11x4 5x3 30x2 16x 6 ;

20)3x5 5x4 7x3 12x2 6x 3 .

ЗАДАЧА 63. В конечном поле	3[x]	f (x)	найдите сумму,

произведение и обратные элементы для классов [a(x)] f ( x) и

[b(x)] f ( x) , если:

1)	a(x) x2 x ,	b(x) 2x 2 ,	f (x) x3 2x2 1;
2)	a(x) x 2 ,	b(x) x2 x 2 ,	f (x) x3 2x 1 ;

168


3)	a(x) 2x2 x 1,		b(x) x 1 ,	f (x) x3 x2 2 ;
4)	a(x) 2x2 1,		b(x) 2x2 x 1 ,	f (x) x3 2x 2 ;
5)	a(x) x2 2x 2 ,		b(x) 2x 1,	f (x) x3 2x2 1;
6)	a(x) x2 1,		b(x) x2 2x 1 ,	f (x) x3 2x 1 ;
7)	a(x) 2x2 ,		b(x) 2x2 x 2 ,	f (x) x3 x2 2 ;
8)	a(x) x 1,		b(x) x2 x 2 ,	f (x) x3 2x 2 ;
9)	a(x) 2x2 x 1,		b(x) x 1,	f (x) x3 2x2 1;
10)		a(x) 2x2 1,	b(x) 2x2 2x ,	f (x) x3 2x 1 ;
11)		a(x) 2x 2 ,	b(x) x2 x 2 ,	f (x) x3 x2 2 ;
12)		a(x) x2 2x 2 ,	b(x) x2 x ,	f (x) x3 2x 2 ;
13)		a(x) x2 2x ,	b(x) 2x2 2x 1 ,	f (x) x3 2x2 1;
14)		a(x) 2x2 2 ,	b(x) x2 2x ,	f (x) x3 2x 1 ;
15)		a(x) x2 1,	b(x) x2 2x 1 ,	f (x) x3 x2 2 ;
16)		a(x) x2 2x 2 ,	b(x) 2x 1,	f (x) x3 2x 2 ;
17)		a(x) 2x2 x ,	b(x) 2x2 x 2 ,	f (x) x3 2x2 1;
18)		a(x) 2x 1 ,	b(x) x2 x 1,	f (x) x3 2x 1 ;
19)		a(x) x2 2x 1,	b(x) x 1 ,	f (x) x3 x2 2 ;
20)		a(x) 2x 2 ,	b(x) x2 x 2 ,	f (x) x3 2x 2 .

169

ЗАДАЧА 64. С помощью критерия Батлера покажите, что данный многочлен приводим над полем GF (3) и разложите его на неприводимые множители:

1)	x4 x3 2x2 1 ;	11)	x4 2x 1;
2)	x4 2x3 2x2 1;	12)	x4 x3 1;
3)	x4 x3 2x2 x 2 ;	13)	x4 x2 x 2 ;
4)	x4 2x2 2x 1;	14)	x4 x3 x2 2x 1;
5)	x4 2x3 x2 2x 2 ;	15)	x4 x3 x2 2 ;
6)	x4 2x3 2x2 2 ;	16)	x4 2x3 x2 x 1;
7)	x4 x2 2x 2 ;	17)	x4 2x2 2x 2 ;
8)	x4 2x3 1;	18)	x4 2x2 x 2 ;
9)	x4 2x2 x 1 ;	19)	x4 x3 2x2 x 1;
10)	x4 x3 2x2 2 ;	20)	x4 2x3 x2 2 .

ЗАДАЧА 65. Пользуясь критерием Батлера, определите, приводимы или нет над полем GF (3) данные многочлены

a(x) и b(x) . В случае приводимости разложите многочлен на неприводимые множители.

1)	a(x) x5 x3 x2 x 2 ,	b(x) x5 x3 x 1;
2)	a(x) x5 2x4 2x3 2x 2 ,	b(x) x5 x3 2x2 2x 1;
3)	a(x) x5 x3 2x2 x 1,	b(x) x5 x2 x 2 ;
4)	a(x) x5 2x4 2x2 x 1 ;	b(x) x5 x3 x2 2 ;

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

1)		3	9
1)	A	5	2	,
		5	2
	2		11
3)	A				,
		5	6
5)	5		7		,
5)	A				,
	14		2
7)	3		5		,
7)	A				,
		2	11
	15		1
9)	A				,
		11	3
11)	A	3		5	,
11)	A				,
		9		2
13)	A	5		2		,
13)	A					,
		6	11
15)	A	14		5		,
15)	A					,
		2		7
17)	A	2		3		,
17)	A					,
		11		5
19)	A	11		15			,
19)	A						,
		3		1

1)		3	9
1)	A	5	2	,
		5	2
	2		11
3)	A				,
		5	6
5)	5		7		,
5)	A				,
	14		2
7)	3		5		,
7)	A				,
		2	11
	15		1
9)	A				,
		11	3
11)	A	3		5	,
11)	A				,
		9		2
13)	A	5		2		,
13)	A					,
		6	11
15)	A	14		5		,
15)	A					,
		2		7
17)	A	2		3		,
17)	A					,
		11		5
19)	A	11		15			,
19)	A						,
		3		1

1)		3	9
1)	A	5	2	,
		5	2
	2		11
3)	A				,
		5	6
5)	5		7		,
5)	A				,
	14		2
7)	3		5		,
7)	A				,
		2	11
	15		1
9)	A				,
		11	3
11)	A	3		5	,
11)	A				,
		9		2
13)	A	5		2		,
13)	A					,
		6	11
15)	A	14		5		,
15)	A					,
		2		7
17)	A	2		3		,
17)	A					,
		11		5
19)	A	11		15			,
19)	A						,
		3		1