Учебное пособие 800529

ляется путем отображения значения неизвестной эмпирической величины на числовую шкалу.

Формально процедуру измерения можно представить так:

М = <X,R>

f

N = <C,S>

где М – эмпирическая система объектов; Х – множество эмпирических объектов;

R– множество отношений между объектами;

N– числовая система; С – множество действительных чисел;

S– множество отношений между числами.

То есть формально измерение заключается в отображении f объектов эмпирической системы на множество чисел таким образом, чтобы отношения между числами, отображающими объекты, сохраняли отношения между объектами (их именами, номерами):

Х

с1< с2< с3…=S

Проще говоря, измерение состоит в присваивании числовых значений, при котором «сохраняются» определенные наблюдае-

252

мые отношения. К числам, кроме того, применимы законы сложения и вычитания, а к именам (номерам) объектов – нет.

Формально говорят, что для того, чтобы числовая система N сохраняла свойства и отношения объектов системы М, эти системы должны быть изоморфными или хотя бы гомоморфными. При этом шкалой называется совокупность эмпирической системы М, числовой системы N и отображения f. При выставлении нескольких неизвестных величин на одну и ту же шкалу эти величины упорядочиваются, т.е. становятся относительно друг друга в ряд следования. В зависимости от силы и предметной дистанции упорядочивания шкалы разделяются на: шкалу наименований, порядковую шкалу, шкалу интервалов, шкалу разностей, шкалу отношений и абсолютную шкалу. Рассмотрим их чуть подробнее, ибо это в настоящее время очень важно.

Шкала наименований. Шкалу наименований определяет множество символов, различающихся некоторым образом. Измерительная сущность шкалы наименований заключается в том, что каждый символ соответствует своему классу эквивалентности (то есть совокупности сходных) символов. Тем самым, "выставляя" символ в шкале наименований, мы производим идентификацию класса (совокупности) сходных с ним объектов, обозначаемых шкалируемым символом и отделяем при этом один класс от другого. Поэтому кроме шкалы наименований эта шкала еще называется номинальной или классификационной.

Естественно, использование шкалы наименований возможно в тех случаях, когда классифицируются дискретные по своей природе явления (вещи, сущности). Для обозначения их классов могут быть использованы слова естественного языка, произвольные символы, номера и их различные комбинации. Все это эквивалентно простой нумерации. В шкале отсутствуют понятия масштаба и начала отсчета.

Поскольку присваиваемое классу объектов обозначение в принципе произвольно (хотя после присвоения и однозначно), эту свободу выбора можно использовать для удобства, например, для введения иерархии в обозначениях. Например, почтовые адреса,

253

автомобильные номера и т.д., начинающиеся с более общих обозначений и постепенно переходящих в более частные.

Применительно к непрерывным множествам эквивалентность подмножеств вводят искусственно, например, в виде окрестности чисел с определенным .

Допустимой операцией в шкале наименований является только равенство или неравенство, т.е. введение символа Кронекера :

(х1,х2) = 1 при х1 = х2; (х1,х2) = 0 при х1 х2.

При этом под допустимой операцией (допустимым преобразованием) понимается преобразование, посредством которого возможна модификация процесса измерения без изменения результатов измерения. Шкала тем совершеннее, чем уже множество допустимых преобразований. Поэтому шкала наименований, допускающая любое взаимооднозначное преобразование (например замена имен предметов номерами, индексами), является наименее совершенной.

Хотя номера классов и обозначаются цифрами, с ними нельзя обращаться как с числами.

Номер является материальным или квазиматериальным символом. Номера обладают свойством упорядоченности только благодаря произвольному предписанию или простой договоренности. К номерам неприменимы правила сложения и вычитания. Числа же являются математическими понятиями и к ним эти правила применимы. Числа обладают свойством упорядоченности благодаря реальным свойствам упорядоченных объектов. Примечание. Таким же различием обладают «обозначаемые» методики и «алгоритмические» (Ю.Б.). К первым относятся такие, в которых моделируемые сущности формально обозначены, но в отношениях между введенными формальными обозначениями (в формальных зависимостях) не отражается сущность предметной связи, имеющейся между обозначенными сущностями в реальности. В алгоритмических методиках предметная сущность связей отображается.

254

Поэтому при обработке данных, зафиксированных в шкале наименований, можно выполнить только проверку их совпадения или несовпадения. Однако, с результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количество совпадений, вычислять относительные частоты совпадающих классов, сравнивать эти частоты, выполнять статистические процедуры.

Порядковая шкала. В тех случаях, когда измеряемая величина имеет природу, позволяющую не только отождествлять ее с какимлибо классом, но и сравнивать эти классы в каком-либо отношении, для их измерения можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая шкала, называемая также ранговой. Пример измерения в такой шкале - воинские звания, призовые места в конкурсе, отметки (оценки) за успеваемость. То есть измерения в такой шкале обеспечивают получение простого порядка. Шкала единственна с точностью до монотонного преобразования (но по содержанию оно может быть любым).

Характерной особенностью порядковой шкалы является то, что отношение порядка констатирует факт упорядочивания, но ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми (упорядоченными) классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как полноценные числа. Числа в этой шкале определяют только порядок следования объектов.

Желание уменьшить относительность порядковой шкалы, придавая ей хотя бы какую-то независимость от измеряемых величин, побуждают исследователей к ее модификации, придавая порядковой шкале некоторое усиление. Таких модифицированных шкал много: шкала твердости материалов, шкала силы ветра, шкала силы землетрясений, бальные оценки знаний учащихся. Мы рассмотрим чуть подробнее одну, нужную нам шкалу, - шкалу относительной важности объектов Т. Саати. Она нам потребуется при изучении метода анализа иерархий (МАИ), разработанного Томасом Саати. Шкала имеет вид:

255

Шкала относительной важности Т. Саати

Шкала интервалов. Если упорядочение объектов можно выполнить настолько точно, что станут известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение окажется заметно сильнее, чем в шкале порядка. При этом естественно выражать все расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Это означает, что объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы, где бы они не располагались, то есть шкала обеспечивает равенство интервалов

(x-v) = (w-z) или (x-v) (w-z).

Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения 2х интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (то есть независимо от того, какова еди-

256

ница длины интервала и какое значение принято за начало отсчета). То есть, если два интервала в шкале "х" выражены числами 1х и 2х, а при другом выборе нуля и единицы - числами 1у и 2у, то их отношения 1х / 2х = 1у / 2у. Отсюда следует, что шкалы могут иметь произвольное начало отсчета и произвольную единицу длины, а связь между показаниями в шкале "у" и шкале "х" является линейной, то есть у=aх+b, то есть шкала единственна с точностью до линейного преобразования, имеющего только 2 степени свободы.

Это имеет кардинальное значение для оценивания эффективности, ибо все ее оценивание проводится в относительной шкале, обеспечивающей одинаковость отношений. Физически это означает следующее. Взяв за исходное любую моделируемую ситуацию (то есть определив любой "нуль" (начало) шкалы), мы можем проводить безошибочное сравнение отношений измеренных значений во взятой локальной области с точностью до ситуации, лишь бы измерения имели одинаковую величину ошибки. Примерами величин, которые по физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета и поэтому измеряются в интервальных шкалах, являются (кроме эффективности) температура, время, высота местности.

Название "шкалы интервалов" подчеркивает, что в этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел. Но если за начало всех интервалов взять одну и ту же величину, например "нуль", то числа конца интервалов можно воспринимать как обыкновенные числа. Таким свойством обладает шкала разностей, являющаяся частным случаем интервальной шкалы. Ее основным отличием от интервальной шкалы является постоянство параметра сдвига "b", иногда называемого периодом (см. циферблат часов - 24 часа, или 12 часов 2 раза).

Шкала отношений. Является самой совершенной шкалой. Измерения в такой шкале являются "полноправными" числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Эта шкала обладает следующей особенностью: отношение 2х наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой

257

из шкал произведено измерение, т.е. х1 / х2 = у1 / у2. Этому требованию удовлетворяет соотношение вида у = ах. То есть шкала единственна с точностью до преобразования подобия и соответствует интервальной шкале при b = 0. У шкалы все преобразования пересекаются в нуле. Поэтому величины, измеряемые в этой шкале, имеют естественный абсолютный нуль, но допускают свободу в выборе единицы измерения. Однако абсолютный нуль шкалы отношений является естественным только в том случае, когда можно дать положительный ответ о реальности нулевого измерения, например, вес может быть равен нулю но ничего не говорит нуль в шкале Цельсия.

Заданный абсолютный нуль и абсолютную единицу имеет абсолютная шкала, не имеющая применения в нашем абсолютно приближенном (неточном) деле. Однако абсолютный нуль в этой шкале имеет естественный смысл, ибо не существует температуры ниже абсолютного нуля. С математической точки зрения числовая ось также является абсолютной шкалой. И когда результаты измерения выражаются в числах, люди автоматически считают нуль чисел за нуль шкалы.

При проектировании системы представление о ней, последовательно уточняясь, укладывается в шкалы всех рассмотренных видов, начиная от качественных номинальных и доходя до количественной шкалы отношений (смотри таблицу шкал). Поэтому сквозной метод синтеза системы, сохраняющий непрерывность отношений разноуровневых предметных сущностей и измерительных шкал, можно назвать методом последовательного упорядочивания в уточняемых шкалах. При этом две первые шкалы называются качественными, а последние – количественными. Качественные измерения дают концептуальную ясность, а количественные – точность и доказательность. По такому принципу строятся так называемые гибкие математические модели, начинающиеся с «рыхлых» нечисловых блоков, а заканчивающиеся количественными блоками точной математики.

Исключительную роль в синтезе систем играют субъективные измерения. Они используются при формулировании ситуаций, целей, ограничений и вариантов решений. Для осуществления

258

субъективных измерений используются следующие наиболее употребительные методы: ранжирование, парные сравнения, непосредственная оценка, последовательное сравнение.

При реализации каждого из методов предполагается, что имеется конечное число измеряемых объектов Х=(х1,х2,…,хm) и сформулирован один или несколько признаков их сравнения. С точки зрения непрерывности метода синтеза – это натяжка, ибо число объектов системы надо как-то определить. Для этого можно воспользоваться методом фрейм-сценария, известного вам.

По существу, перечисленные выше методы измерения будут различаться лишь процедурой сравнения объектов. Эта процедура включает построение отношения между объектами, выбор отображающей функции и определение типа шкалы измерения.

Ранжирование – это упорядочение всех объектов сразу. В зависимости от вида отношения между объектами возможны варианты:

строгого упорядочения; нестрогого упорядочения.

Отношение строгого порядка имеет место в случае отсутствия среди упорядочиваемых объектов эквивалентных. Тогда в результате сравнения всех объектов устанавливается упорядоченная последовательность х1>x2>x3>…>xm, где объект с первым номером является наиболее предпочтительным по сравнению с другими. Для такого отношения доказано существование числовой системы, в которой между числами существует отношение неравенства. То есть упорядочению объектов х1>x2>… соответствует упорядочение чисел с1>с2>с3>… При этом можно выбирать любые числа лишь бы обеспечивалась монотонность преобразования. Поэтому ранжирование объектов есть измерение в порядковой шкале.

Если в множестве объектов есть эквивалентные, то имеет место случай нестрогого порядка х1>x2 x3>…>xm-1 xm. Для такого отношения доказано существование чисел с неравенством и равенством, которые также должны удовлетворять условию монотонности.

259

Таблица шкал

260