Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория вероятностей и математическая статистика. Седаев А.А., Каверина В.К

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

H1 a 4 01 .

Выборочное среднее равно x 4 033 , исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение: s 0 13 . Тогда наблюдаемое значение критерия:


(4 033	4 01)	11
Tнабл			0 59
Tнабл	1 13		0 59
	1 13
Зададим уровень значимости	0 05 . Из табл. П. 5 значений распределе-

ния Стьюдента видно, что tкр t0 025 10 2 228, и критическая область опреде-

ляется неравенством	T 2 228 .
Так как 0 59	2 228 , у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу и,

следовательно, сомневаться в заявлениях производителя.

14.2. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных величин, имеющих нормальное распределение

На практике при обработке результатов эксперимента зачастую возникает необходимость решить задачу сравнения. Например, требуется сравнить новый и старый технологические методы изготовления бетона или результаты двух серий эксперимента. В большинстве случаев распределение СВ Х и Y предполагается нормальным, а их отличие сказывается на изменении их математических ожиданий. Таким образом, требуется проверить гипотезу относительно математических ожиданий случайных величин, имеющих нормальное распределение.

Замечание 14.2. Принимая предположение о нормальности, мы исходим из соображений, приведенных в подразделе 8.4.2, посвященном центральной предельной теореме, и того, что на практике большинство количественных измерений приближенно нормальны.

14.2.1.Средние квадратические отклонения случайных величин известны

Пусть	генеральные совокупности имеют нормальное распределение:
X N (a1 1 )	и Y N (a2 2 ) . Предположим, что средние квадратические отклоне-
ния 1 и 2	известны, а значения a1 и	a2 неизвестны. Требуется на основании
двух независимых случайных выборок		(x1 x2 xn ) и ( y1 y2 ym ) из исследуе-

мых генеральных совокупностей проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий, т.е. H0 a1 a2 против альтернативной гипотезы H1 a1 a2 . Для этого необходимо установить, значимо или незначимо отличаются выборочные средние, найденные для конкретных выборок случайных величин X и Y .

Выборочные средние

и Y распределены по нормальному закону с па-

раметрами (a1

n ) и (a2

m) соответственно. Так как выборки независи-

мы, то независимы и их выборочные средние, следовательно,

m .

D( X Y ) D( X ) D(Y )

Если

проверяемая

гипотеза

справедлива,

то

M (

) 0 . Следовательно,

если рассмотреть в качестве тесто-

M ( X Y ) M ( X )

вой статистики случайную величину

X Y

то можно утверждать, что она распределена по нормальному закону с парамет-

рами (0,1).

Задавая уровень значимости данного критерия равным и, учитывая вид конкурирующей гипотезы, найдем критическую точку kкр из условия:

P(U kкр H0 )

(Напомним, что это условие справедливо, так как рассматривается нормальный закон распределения и наибольшая мощность критерия достигается,

когда	левая k1 и	правая	k2 критические		точки		выбраны	так, что
P(K	k1 ) P(K k2 )	2 .) Так как U – стандартная нормальная случайная ве-
личина, то
		P(U kкр H0 ) 1		(kкр )	2
	Отсюда легко найти kкр		из условия	(kкр )	1	2 ,	используя табл. П.1
значений функции Лапласа.
	Множество значений U ,		определяемых неравенством U kкр ,					является

двусторонней критической областью. Следовательно, если вычисленное по ре-

зультатам выборок объема	n и	m наблюдаемое значение критерия Uнабл kкр ,
то основная гипотеза H0 a	a0	отклоняется. Если Uнабл kкр , то основная гипо-
теза принимается.

14.2.2.Средние квадратические отклонения случайных величин неизвестны (выборки малого объема).

Пусть исследуются случайные величины, имеющие нормальное распре-

деление:	X	N (a1 1 ) и Y N (a2 2 ) , причем средние квадратические отклоне-
ния 1 и	2	неизвестны. Требуется на основании двух независимых случайных
		82

выборок (x1 x2 xn ) и ( y1 y2 ym ) ( n m	30 ) проверить гипотезу о равенстве
математических ожиданий, т.е. H0 a1	a2	против альтернативной гипотезы
H1 a1 a2 . Для этого необходимо установить		значимо или незначимо отличают-

ся выборочные средние, найденные для конкретных выборок случайных величин X и Y .

В качестве тестовой статистики выбирают случайную величину:


T		X	Y			mn(m	n 2)

						m	n
	2			(m	2	m	n
	(n 1)sX			(m	1)sY

где sX2 sY2 – исправленные выборочные среднее квадратические отклонения для случайных величин X и Y соответственно.

Можно доказать, что случайная величина T при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k m n 2 степенями свободы

(см. [8], с.145-146).

Пример 14.3. Рассмотрим следующий эксперимент по определению водопроницаемости листов строительного материала, изготавливаемого двумя различными машинами. Из накопленного ранее опыта известно, что логарифм водопроницаемости распределен приближенно нормально. Логарифмы водопроницаемости, полученные в результате опыта, имели следующие значения:

машина 1: 1,845, 1,790, 2,042;

машина II: 1,583, 1,627, 2,282.

Мы проверяем гипотезу H0 , согласно которой среднее значение логарифма водопроницаемости для обеих машин совпадает, в качестве альтернативной гипотезы выберем: средние значения логарифма водопроницаемости машин не совпадают. Найдем наблюдаемое значение тестовой статистики. В рассматриваемом случае выборочные средние равны, соответственно x 1 892 ,

			а исправленные выборочные средние квадратические отклонения:
Y		1, 497 ,
	sX	0 1315,	sY 0 1876 .		Тогда наблюдаемое значение критерия:

			Tнабл		1 892		1 497		3	3(3	3	2)	2 977

										3	3
				(3	1)0 1315	2	(3	1)0 1876	2

Зададим уровень значимости 0 05 , так как критическая область является двусторонней, то из табл. П 5 значений распределения Стьюдента видно

tкр t0 025 4 2 776 , и критическая область определяется неравенством T 2 776 . Так как 2 977 2 776 , мы заключаем, что между средними значениями

логарифмов водопроницаемости машин имеется значимое различие. На основе этого эксперимента мы предпочли бы машину II, производящую боле водостойкий строительный материал.

14.3. Проверка гипотезы о дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение

Проверка гипотез о дисперсиях играет большую роль, так как именно дисперсия характеризует такие важные технологические показатели, как точ-

ность работы станка, погрешность измерительных приборов и т.п.
	Пусть	генеральная совокупность имеет нормальное распределение:
X N(a ) ,		причем параметры	a и	неизвестны. Из генеральной совокупно-
сти извлечена выборка объема			n . Требуется на основе выборки проверить ги-
потезу о равенстве дисперсии			2 некоторому гипотетическому значению				2 ,
							0
т.е. H	2	2 против альтернативной гипотезы H			2	2 . Для этого необхо-
	0	0			1	0

димо установить, значимо или незначимо отличается значение исправленной

выборочной дисперсии s2 , найденное для конкретной выборки, от

2 .

Для проверки основной гипотезы можно использовать статистику:

1)s2

Доказано (см. например [8]),

что эта СВ распределена по закону

2 c

k n

1 степенями свободы. Зададим уровень значимости данного критерия

равным . C учетом вида конкурирующей гипотезы, правостороннюю крити-

ческую область будем искать, исходя из требования:

)

кр

Саму критическую точку

кр

находят по табл. П4 распределения

, а

именно кр

k , где

n 1 число степеней свободы.

Тогда правосторонняя

критическая область задается неравенством: 2

кр2 . Вычисляя по результатам

выборки объема n наблюдаемое значение критерия и сравнивая его с кр2

, ут-

верждаем,

что если

набл

кр , то основная гипотеза H0

0 отклоняется, а

если

набл

кр , то основная гипотеза принимается.

	Замечание 14.4. Если в качестве конкурирующей гипотезы рассматрива-
ется H1		2	02 , то критическая область будет двусторонней. Критические точ-
ки	2 и	2 будем находить так, чтобы
	1	2
				P( 2	2 ) P( 2	2 )	2
					2	1
	Обратим внимание на то, что в табл. П4 распределения								2	указаны толь-
ко "правые" критические точки (то есть те x ,							для которых P(		2	x)	), поэто-
му для отыскания "левой" критической точки							2 воспользуемся формулой:
							1
				P( 2	2 ) 1 P( 2		2 ) 1	2
					1		1
	Затем левую критическую точку					2 находят по табл. П 4 распределения
	, а именно			1 2 k , где k		1
	, а именно		1	1 2 k , где k	n 1 число степеней свободы. Если наблюдае-
2			2	2
мое значение статистики удовлетворяет неравенству 1								набл		2 ,	то основная
							2	2		2
гипотеза принимается, в противном случае – отклоняется.
	Пример 14.4. Точность работы прибора проверяется по дисперсии кон-
тролируемого показателя, которая не должна превышать								2	0 04 . Взяты ре-
тролируемого показателя, которая не должна превышать								0	0 04 . Взяты ре-

зультаты 11 случайно отобранных измерений и получены следующие данные: 100,6; 99,6; 100,0; 100,1; 100,3; 100,0; 99,9; 100,2; 100,4; 100,6; 100,5. На основа-

нии полученных результатов требуется проверить, обеспечивает ли прибор за-

данную точность. Уровень значимости принять равным

0 05 .

Из условия следует, что нам необходимо проверить нулевую гипотезу

0 04 (прибор обеспечивает заданную точность) против альтернативной

гипотезы H1

0 04 (прибор не обеспечивает заданную точность).

Вычислим наблюдаемое значение статистики, предварительно отыскав:

100 2

n i 1

x)2 0 1001

n 1 i

Тогда

набл

(11	1)0 1001	25 025

	0 04
	0 04

Так как критическая область является правосторонней, то по табл. П4

распределения 2 по заданному уровню значимости	0 05 и числу степеней
85

свободы k 10	находим критическую точку кр	0 05 10 18 307 . Сравнив
	2	2

2	25 025 18 307 , делаем вывод, что нулевую гипотезу следует отклонить в
2
набл

пользу альтернативной гипотезы. Это значит, что прибор не обеспечивает заданной точности.

14.4. Проверка гипотезы о дисперсиях двух случайных величин, имеющих нормальное распределение

Задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность двух приборов или методов измерений. Очевидно, что прибор или метод, которые обеспечивают наименьшее рассеяние результатов измерений, то есть имеют наименьшую дисперсию, являются более предпочтительными. Кроме того, такая задача возникает при сравнении результатов, полученных при проведении двух серий опытов, из которых одна серия проведена с учетом некоторого фактора, другая – без учета. Возникает вопрос: оказывает ли данный фактор влия-

ние на рассеивание исследуемого признака?
Пусть	генеральные		совокупности имеют нормальное					распределение:
X N (a1 1 )	и Y N (a2	2 ) . Требуется на основании двух независимых случай-
ных выборок (x1 x2		xn )	и ( y1 y2			ym ) из исследуемых генеральных сово-
купностей проверить гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. H							0	2	2 против
								1	2
альтернативной гипотезы			H	1	2	2 . Для этого необходимо установить, зна-
					1	2

чимо или незначимо отличаются исправленные выборочные дисперсии, найденные для конкретных выборок случайных величин X и Y .

В качестве тестовой статистики проверки нулевой гипотезы принимают отношение большей исправленной выборочной дисперсии к меньшей, то есть случайную величину:

		s2
	F	б
	F	s2
		s2
		м

Случайная величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k1 nб 1 и

k2 nM 1, где nб – объем выборки, по которой вычислена большая исправ-

ленная дисперсия, nм – объем выборки, по которой вычислена меньшая исправленная дисперсия.

Зададим уровень значимости данного критерия равным . Критическая область будет правосторонней, учитывая вид конкурирующей гипотезы, най-

дем критическую точку kкр из условия

				P(F		Fкр H0 )
	По табл. П.6 распределения Фишера-Снедекора критическая точка равна
Fкр	F k k	2	. Если Fнабл	удовлетворяет неравенству Fнабл Fкр , то нулевую ги-
	1	2
потезу отвергают, иначе нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
	Замечание 14.5. Если конкурирующая гипотеза имеет вид: H							1	2	2 , то
								1	1	2
критическая область является двусторонней. Если обозначить через									F1	левую
границу критической области, а F2						– правую, то наибольшая мощность крите-
рия достигается, если
				P(F F1 ) P(F F2 )			2
	Правую критическую точку можно найти по табл. П.6 распределения
Фишера-Снедекора F2				F 2 k k	. Однако левых критических точек в этой таб-
				1	2

лице нет. Это затруднение можно преодолеть так же, как в случае проверки гипотезы о дисперсии случайной величины, имеющей нормальное распределение,

когда критическая область двусторонняя.
	Но, оказывается, достаточно найти только правую критическую точку
F2	F 2 k k	(см. [8, с.149]). Тогда, если выполнено неравенство	Fнабл	F2 ,	то
	1	2
нулевая гипотеза отклоняется, если же Fнабл F2 , то неравенство			F1	Fнабл	F2
выполнено автоматически и нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
	Пример 14.5. Спроектированы и произведены две одинаковые опытные

установки по производству цемента. Приведены первые десять партий полученного продукта для каждой из установок.

Установка I	97,8	98,9	101,2	98,8	102,0	99,0	99,1	100,8	100,9	100,5

Установка II	97,2	100,5	98,2	98,3	97,5	99,9	97,9	96,8	97,4	97,2

	Являются ли дисперсии продуктов, полученных от двух установок, зна-
чимо отличными друг от друга при			0 05 ?		II ,
	Гипотеза H0 состоит в том,		что I		II ,	а альтернативная	гипотеза
				2	2
H1 1	2 . Вычислим наблюдаемое значение статистики:
2	2
		s2	1 69
	Fнабл	б		1 17
	Fнабл	s2	1 44	1 17
		м
	Найдем значение правой критической точки					F2 F0,025, 9, 9 3,18 .	Так как
			87

1,17 3,18 , то гипотеза H0 принимается и разница дисперсий для двух установок незначима.

14.5. Проверка гипотезы о равенстве нескольких математических ожиданий случайных величин, имеющих нормальные распределения, методом однофакторного дисперсионного анализа

Пусть генеральные совокупности X1 X 2 X k распределены по нормальному закону и имеют одинаковые неизвестные средние квадратические отклонения, математические ожидания также неизвестны, но могут быть различны. Требуется на основе выборок проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий, т.е. H0 M ( X1 ) M ( X 2 ) M ( X k ) . Необходимо установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние наблюдаемых случайных величин, для этого используется метод дисперсионного анализа, который основан на сравнении выборочных дисперсий рассматриваемых совокупностей.

Замечание 14.6. Дисперсионный анализ – это общий метод математической статистики, о котором мы расскажем подробнее в разделе 17.

Пусть имеются k выборок (групп) одинакового объема n каждая:

x11 x12 x1n x21 x22 x2n xk1 xk 2 xkn

Найдем по выборочным данным:

1) общую выборочную среднюю

			1
	x		1

			kn
			kn

k n

xij

i 1 j 1

2) групповую выборочную среднюю

				1	n
	xiгр			1			xij	i	1 k

				n	j	1
				n	j	1
3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей
выборочной средней
					k		n
		S	общ					(x		x)2
			общ					ij
					i	1	j	1

4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние между выборками (группами)

k
Sфакт n	(		iгр x)2
Sфакт n	(	x	iгр x)2
i	1

5) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки (группы) от своей групповой выборочной средней, которая характеризует рассеяние внутри выборки (группы)

k	n
Sост	(xij		iгр)2
		x
i 1	j 1

С помощью несложных преобразований полученные формулы можно привести к виду более удобному для вычислений:

	k	n
S	общ		(x )2		kn(x)2
	общ			ij
	i 1	j 1
	k
Sфакт n		(		iгр)2	kn(x)2
Sфакт n		(	x	iгр)2	kn(x)2
	i	1

Sост Sобщ Sфакт

Затем найдем общую, факторную и остаточную выборочные дисперсии, разделив полученные суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:

S	2	Sобщ	S	2	Sфакт	S	2	Sост
	общ	nk 1		факт	k 1		ост	k(n 1)

Замечание 14.7. Если нулевая гипотеза верна, то полученные выборочные дисперсии являются несмещенными оценками дисперсии генеральной совокупности.

Для проверки основной гипотезы можно использовать критерий ФишераСнедекора проверки равенства двух дисперсий. Действительно, если нулевая гипотеза верна, то факторная и остаточная выборочные дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной дисперсии генеральной совокупности и, следовательно, различаются незначимо. Поэтому, сравнив их по критерию Фи- шера-Снедекора, мы получим, что гипотезу о равенстве факторной и остаточной выборочной дисперсий следует принять.

Если же нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий ложна, то разница между групповыми средними увеличивается. Вместе с ней растет и

		S 2
	Fнабл	факт
факторная дисперсия, а значит и отношение			. В результате полу-
факторная дисперсия, а значит и отношение		S 2	. В результате полу-

ост

чим Fнабл Fкр , и гипотезу о равенстве факторной и остаточной выборочных

дисперсий придется отвергнуть.

Таким образом, для проверки основной гипотезы можно использовать статистику:

	S 2
F	факт
	S 2

	ост
Случайная величина F при условии справедливости нулевой гипотезы
имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы			1 k 1 и
2 k(n 1) .
Зададим уровень значимости данного критерия равным		. Найдем кри-
тическую точку Fкр , используя табл. П.6 распределения Фишера-Снедекора. По
таблице критическая точка равна Fкр F k 1 k (n 1) . Если Fнабл		F k	1 k (n 1) , то ги-

потеза о равенстве математических ожиданий отвергается.

Замечание 14.8. Если в результате испытаний получены выборки различных объемов, то дисперсионный анализ также можно применять, используя

модифицированные формулы для отыскания Sобщ2

Sфакт2 Sост2

(см. [7, с. 208]).

Замечание 14.9.

Полученные результаты удобно записывать в таблицу

дисперсионного анализа.

Таблица 14.1

Источник изменчи-

Суммы квадратов от-

Число степеней сво-

Дисперсия

вости

клонений

боды

Между группами

Sфакт

xiгр

Sфакт

Внутри группы

k(n

S 2

Sост

ост

iгр

ост

k(n

i 1

Полная изменчи-

Sобщ

вость

общ

Sобщ

j 1

Пример 14.6. Исследователь проводит классификацию изучаемых объектов по трем группам. Из каждой группы проводится выборка одинакового объема и производится измерение некоторой характеристики объекта. Верно ли, что среднее значение характеристики одинаково для каждой группы? Результаты измерений даны в табл. 14.2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]