Учебное пособие 800461

тырехзначном числе 7775), то такие наборы называются размещениями с повторениями. Число размещений с повторениями из n элементов по k может быть найдено аналогично. Оно равно n n n n или nk .

k раз

Сочетаниями из элементов множества E называются наборы или группы его элементов, отличающиеся только составом элементов в наборе. Порядок следования элементов в группе не важен. То есть одно сочетание отличается от другого только по составу элементов. Количество всех сочетаний из n элементов по k элементов в наборе обозначается Cnk . Читается: "число сочетаний из n элементов по k ."

Ясно, что элементы каждого сочетания, состоящего из k элементов, можно расположить в k ячейках ящика k способам (одно размещение отличается от другого перестановкой все тех же k элементов). Проделывая такую

ные. Из E наугад выбирается n элементов. Какова вероятность события A , состоящего в том, что среди выбранных n элементов ровно m будут мечеными?

Решение. Результатом опыта (исходом) является некоторый набор из n элементов множества E . Так как никакой набор из n элементов не является более вероятным, чем другой набор, то множество всех возможных наборов из N элементов по n есть полная группа несовместных и равновероятных исходов опыта, а сам опыт есть схема случаев (см. определение 3.2). Поэтому для вычисления вероятности события A можно применить формулу классической вероятности. Так как один набор должен отличаться от другого по составу эле-

ной и той же вероятностью p может возникнуть некоторое событие A , называ-

ется схемой Бернулли, а сами опыты из серии – испытаниями Бернулли.

Пример 5.1. Из колоды карт вынимается одна. Затем карта кладется обратно, колода перемешивается, и опыт повторяется снова. Событие A состоит в том, что вынутая карта будет бубновой масти. Ясно, что p 1 4 и не зависит от результата предыдущих опытов. Серия таких опытов – испытания Бернулли.

кретными номерами. Одно такое событие отличается от другого набором тех k

23

слагаемых одинаковые и равны pk qn k , а число слагаемых равно Cnk . Следовательно,

Пример 5.2. Какова вероятность того, что в семье из 5 детей двое мальчиков? Какова вероятность того, что девочек в такой семье не меньше трех?

Решение. Так как вероятность рождение мальчика приблизительно такая же, как и девочки, то есть 0,5 (на самом деле несколько больше – 0,513), и не зависит от результатов предыдущих родов, то рождение детей есть испытание

Так как то, что девочек не меньше трех, означает, что мальчиков не больше двух, то есть или 2, или 1, или 0, то сумма найденных вероятностей 10 32 5 32 1 32 16 32 1 2 есть ответ на второй вопрос задачи.

Только что решенная задача (вторая ее часть) типична для схемы Бернулли и требует ответа на вопрос: какова вероятность того, что в серии из n испытаний событие A произойдет не менее k1 , не более k2 раз? Для ее решения необходимо найти несколько вероятностей вида Bp n (i) и затем сложить их:

При большом n непосредственное применение формулы Бернулли приводит к сложным вычислениям. Здесь могут помочь логарифмы и формула Стирлинга m 2 m(m e)m . Другой подход к решению этой проблемы мы узнаем позже, когда познакомимся с предельными теоремами теории вероятностей.

6. Случайные величины

6.1. Функция распределения случайной величины.

Функция плотности распределения непрерывной случайной величины

Многие числовые характеристики окружающего нас мира (к счастью, не все) подвержены неожиданным (случайным) изменениям и, к сожалению, не поддаются точному предсказанию. Например, средняя температура января,

24

давление воды в квартирном водопроводе, время между очередными телефонными звонками, количество мальчиков в случайно взятой семье из пяти детей и т.д.

Определение 6.1. Числовая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее не известно какое, называется случайной величиной (коротко СВ).

При этом важной особенностью СВ является то, что в результате опыта одни значения встречаются чаще, другие реже, а третьи вообще не встречаются. Так, например, при измерении напряжения в городской электросети значения близкие к 220 вольтам, очевидно, встречаются чаще, а далекие практически невозможны. Точно так же среди семей, имеющих 5 детей, чаще будут попадаться такие, в которых мальчиков 2 или 3 и совсем редкими будут семьи, в которых только одни мальчики или только одни девочки. Эту объективно существующую неравномерность появления различных значений СВ в опыте выражают словами, что каждой случайной величине X присущ свой закон распределения вероятности появления ее значений или просто закон распределения.

Одной из важнейших задач теории вероятностей и математической статистики как раз и является изучение законов распределения СВ.

Случайные величины обозначаются обычно большими буквами конца латинского алфавита – X Y Z .

Теория вероятностей изучает только те случайные величины, которые об-

ность события ( X s) , состоящего в том, что в результате опыта случайная величина X примет значение, меньшее чем число s . При этом

Следующие свойства функции распределения легко вытекают из ее определения и свойств вероятности P :

25

Зная функцию распределения, можно ответить на любой вопрос вероятностного характера, касающийся случайной величины X . Поэтому говорят, что функция распределения случайной величины X задает закон ее распределения.

ны. Применяя формулу вероятности суммы несовместных событий, получаем

принимает только отдельные изолированные значения. (Более подробно мы ее рассмотрим ниже.)

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.

Если существует производная функции распределения непрерывной СВ

распределения FX (s) может быть восстановлена через функцию плотности по

формуле

s

FX (s) fX (t) dt

то как сама функция распределения, так и функция плотности распределения полностью определяют закон распределения СВ X .

Основные свойства любых случайных величин одинаковые. Но есть не-

26

которые важные свойства непрерывных случайных величин, отличающие их от

Доказательство. Так как FX (s) непрерывна, то правый предел во всех точках равен значению функции в самой точке, откуда следует первое утверждение.

Для доказательства второго воспользуемся последней формулой из (6.1):

P( X a) P(a X a) FX (a 0) FX (a) FX (a) FX (a) 0

Наконец, по формуле Ньютона-Лейбница с учетом формулы (6.1):

Пример 6.1. Отметим радиус на колесе, занимающий горизонтальное положение, и раскрутим колесо. После остановки (под действием трения) отме-

именно невозможно. То есть угол есть случайная величина. Легко видеть, что в силу предположенной симметрии ни одно из значений угла между 0 и 2 не имеет предпочтения (все углы равноправны). Поэтому такую СВ называют

равномерно распределенной на отрезке [0 2 ]. Отсюда ясно, что – непрерыв-

ная СВ и вероятность встретить в результате опыта конкретное значение угла

27

(например 4 ) равна нулю. Легко видеть, что вероятность попасть в заданный угол пропорциональна величине угла и не зависит от расположения угла относительно горизонтали.

Таким образом, для непрерывной случайной величины (такой, как напряжение в электросети, отклонение снаряда от цели, время ожидания в кабинете чиновника и т.д.) имеет смысл говорить только о вероятности попадания этой случайной величины в некоторый интервал (a b) a b .

6.2. Дискретные случайные величины

Наряду с непрерывными случайными величинами, немаловажную роль играют и дискретные случайные величины, такие как количество выстрелов до первого попадания в цель, количество телефонных звонков, поступивших за 1 минуту в телефонный стол справок, количество бракованных деталей, выпущенных станком-автоматом за смену и т.д.

Полная информация вероятностного характера о дискретной СВ X содержится в табл. 6.1.

Таблица 6.1

числены вероятности, с которыми эти значения могут произойти в опыте:

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для этого в декартовой системе координат строят точки (xi pi ) , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную ломаную называют много-

угольником распределения.

Отметим, что полностью описать вероятностный характер дискретной

28

случайной величины можно также задав ее функцию распределения. Определение и свойства такой функции были даны в п. 6.1. Для дискретной случайной величины очевидно, что функцию распределения можно находить по формуле

Функция распределения будет иметь точки разрыва первого рода со скачками в точках xi , а, следовательно, график функции распределения имеет ступенчатый вид.

Пример 6.2. Составить закон распределения случайной величины, равной количеству мальчиков в семье из 5 детей. Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение. Нетрудно видеть, что согласно примеру 5.2 речь идет о случайной величине вида X p n , возникающей в серии из n испытаний Бернулли и равной числу наступлений события A в этих испытаниях. В нашем случае n 5, а

Многоугольник распределения и график функции распределения приведены ниже.

29

Рис. 1. Многоугольник распределения

Рис. 2. График функции распределения

7.Числовые характеристики случайных величин

7.1.Основные определения

Скаждой случайной величиной X можно связать ряд числовых характеристик. В основном это так называемые моменты, среди которых особо важную роль играют математическое ожидание (начальный момент первого порядка), обозначаемое M (X ) или E( X ) , дисперсия D( X ) (центральный момент второго

порядка) и среднеквадратическое отклонение ( X ) . Если известен закон распределения СВ X , то определены и все ее числовые характеристики. Начнем с математического ожидания.

Если X – дискретная случайная величина и ее закон распределения задан табл. 6.1, то математическое ожидание находится по формуле

30