Теория вероятностей и математическая статистика. Седаев А.А., Каверина В.К

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

А.А. Седаев, В.К. Каверина

Теория вероятностей и математическая статистика

Учебное пособие

Воронеж 2015

1

УДК 517

ББК 22161.я7 С284

Седаев, А.А.

С284 Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. посо-

бие/ А.А. Седаев, В.К. Каверина; Воронежский ГАСУ. – Воронеж,

2015. – 132 с.

Излагаются основы теории вероятностей и математической статистики, а также элементы теории планирования эксперимента. В каждом разделе приводится подробное решение типовых задач.

Адресовано студентам и магистрантам всех направлений, изучающим курсы теории вероятностей и математической статистики. Пособие будет полезно аспирантам в качестве начального руководства при применении математической статистики и планировании экспериментов.

Ил. 8. Табл. 6. Библиогр.: 12 назв.

УДК 517

ББК 22161.я7

Рецензенты:

кафедра теории функций и геометрии Воронежского государственного университета; Б.Д. Гельман, д-р физ.-мат. наук, проф.

2

Введение

В настоящее время статистические методы находят широкое применение как при проведении исследовательской работы, так и в практической деятельности. Пособие ориентировано в первую очередь на прикладников, оно будет полезно магистрантам и аспирантам всех специальностей.

Как известно, изучение математической статистики невозможно без знания теории вероятностей, поэтому первая часть пособия посвящена изложению основных определений и теорем теории вероятностей. Особое внимание уделяется таким фундаментальным понятиям, как нормальный закон распределения, центральная предельная теорема, стохастическая зависимость.

Во второй части пособия излагаются основы математической статистики. Наиболее полно представлена проверка статистических гипотез, достаточно подробно разобраны понятия регрессионного и корреляционного анализа. Особое внимание уделено дисперсионному анализу – базовому понятию в теории планирования эксперимента.

Содержание и порядок изложения материала в пособии целиком подчинены решению проблемы понимания курса. В нем учитывается специфика подготовки студентов инженерно-строительных специальностей. Каждый раздел иллюстрирован разобранными примерами, часть примеров решена с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel, в конце пособия приведены основные статистические таблицы.

Авторы выражают глубокую благодарность профессору А.В. Лободе и доценту А.М. Дементьевой, многие ценные замечания которых были учтены в ходе работы над пособием.

Несколько слов о системе нумерации и ссылок. Пособие делится на разделы, которые нумеруются в возрастающем порядке. Разделы делятся на подразделы, которые нумеруются двумя числами, первое из которых есть номер раздела, а второе есть порядковый номер самого подраздела. Подразделы делятся на подподразделы, которые нумеруются тремя числами. Первое ― номер раздела, второе ― номер подраздела, третье ― номер самого подподраздела.

Все объекты (определения, теоремы, формулы, замечания и пр.) внутри раздела нумеруются двумя числами: номером раздела и номером объекта в порядке возрастания. Ссылка на объект осуществляется с помощью указания его двойного номера. Например (5.2) означает формулу 2 из раздела 5; теорема 8.4 отсылает к теореме 4 из раздела 8.

3

Часть I. Основы теории вероятностей

Предмет и особенности теории вероятностей

Явления окружающего нас мира можно разделить на детерминированные, предсказуемые (то есть неизбежно наступающие при выполнении определенных условий) и недетерминированные, непредсказуемые, как говорят, случайные явления, которые, при выполнении соответствующих условий могут как наступить, так и не наступить. Например, если в комнате зажечь спичку и поднести к ней газету, то газета загорится. Это пример детерминированного явления. С другой стороны, если попробовать зажечь газету на улице, то вполне вероятно, что это не удастся сделать с помощью одной спички. То есть в этом случае мы имеем дело с недетерминированным (непредсказуемым) событием. Еще более ярко непредсказуемость (случайность) событий проявляется в сфере опытов, проводимых в азартных играх. Например, выпадение герба (орла) при бросании монеты; шестерки, при бросании игральной кости.

Неопределенность, непредсказуемость событий окружающего нас мира в зависимости от ситуации имеет разную природу. Чаще всего непредсказуемость наступает в результате сложного сочетания основных условий, задаваемых при проведении опыта, со множеством второстепенных факторов, неизбежно меняющихся от одного эксперимента к другому.

Например, при стрельбе из пушки, основными условиями, определяющими направление и дальность полета снаряда, являются углы поворота ствола орудия по горизонтали и по вертикали. Но при стрельбе на большое расстояние снаряды будут неизбежно ложиться на заметном удалении друг от друга, образуя так называемый эллипс рассеивания. Причиной тому являются меняющиеся атмосферные условия полета снаряда, а также непостоянные характеристики порохового заряда и самого снаряда. Очевидно, что учесть все факторы, влияющие на полет снаряда, не представляется возможным. Тем не менее, это не мешает артиллерии справляться со своими задачами: выручает массированность артобстрела и мощность снарядов, что в совокупности исправляет неточность отдельных выстрелов (лишь бы цель была внутри эллипса рассеивания).

Вазартных играх (карты, рулетка, орлянка и т.д.) случайность создается преднамеренно (тщательное перемешивание колоды, долгое блуждание шарика по шкале рулетки до момента его остановки, подбрасывание монеты высоко вверх). Это делается для создания практически равных шансов у всех игроков.

Взавершение напомним, что, как установили физики, явления микромира подчиняются именно вероятностным законам, а не законам классической

4

механики, согласно которым при заданных начальных условиях дальнейшее движение системы полностью определено.

Случайность, наряду с детерминированностью, внутренне присуща природе и окружающему нас обществу. Тем не менее, люди не только привыкают правильно вести себя в условиях неопределенности и случайности, но в ряде случаев используют ее для своей пользы.

Причина, очевидно, кроется в том, что мир случайных явлений также имеет свои скрытые закономерности, которые поддаются осознанию и оценке как на уровне жизненного опыта и здравого смысла отдельного человека, так и на уровне теоретического осмысления опыта человечества. Главной из этих закономерностей является свойство устойчивости частоты, присущее многим явлениям окружающего нас мира. Например, при большом количестве бросаний монеты отношение числа выпадений герба к числу всех бросаний приближается к 1/2. Каждый из своего опыта может назвать такую закономерность. Например, кому-то для того, чтобы не опоздать на работу, необходимо выйти из дома за 40 минут до ее начала. В противном случае возникающие неприятности с транспортом могут привести к опозданию. Попробуйте и вы на основе своего жизненного опыта привести примеры закономерностей, наблюдаемых в недетерминированных явлениях.

Количественное описание и теоретическое исследование закономерностей случайных явлений и есть предмет теории вероятностей и математической статистики. Для описания явлений случайного мира эти дисциплины используют определенную терминологию - язык, знание которого необходимо каждому образованному человеку. В свою очередь достижения и методы теории вероятностей и математической статистики применяются при разработке и реализации любых серьезных проектов, как научных, так и промышленных, а также при принятии решений как на макроуровне (государственная политика, деятельность фирм и предприятий), так и на микроуровне (поведение отдельного человека в сложных условиях).

Первоначально теория вероятностей возникла как способ решения задач из области азартных игр. В дальнейшем, по мере развития и совершенствования ее методов, влияние теории вероятностей и математической статистики распространилось буквально на все сферы человеческой деятельности, начиная от теоретической физики и кончая биологией, медициной, финансами и лингвистикой.

Однако следует помнить, что инструменты теории вероятностей и математической статистики надо применять умело и с осторожностью. Прежде

5

всего, следует иметь в виду, что теория вероятностей изучает не все недетерминированные явления окружающего нас мира, а только те, которые возникают в результате опытов, которые при неизменных условиях можно повторять сколько угодно раз (хотя бы теоретически). То есть теория вероятностей изучает закономерности, как говорят, массовых, повторяющихся явлений: результаты стрельбы, поступление телефонных звонков на АТС, количество питательных веществ в семенах растений, их всхожесть, продолжительность жизни существ в больших популяциях, наследственные и профессиональные болезни и т.д.

Кроме того, она изучает только те явления, которые обладают свойством устойчивости частоты. Например, если нас будет интересовать вопрос о том, сколько спичек из десяти сумеет зажечь конкретный пятилетний ребенок, то, очевидно, это количество в первых опытах будет разительно отличаться от количества зажженных спичек в опытах с большими номерами (эффект обучаемости). Неприменимы законы теории вероятностей и к поведению неуравновешенных, больных людей.

Следует отметить также то, что хотя теория вероятностей и математическая статистика оперируют числами, тем не менее, обе они не относятся к точным наукам (в отличии, например, от классической механики, изучающей детерминированные явления). Поэтому, пользуясь результатами теории вероятностей и математической статистики, надо помнить, что они неизбежно содержат случайную погрешность и верны лишь с некоторой долей вероятности. То есть они указывают на наличие определенной тенденции, которая будет прослеживаться лишь при многократном повторении опыта. Только в некоторых предельных ситуациях (о которых будет сказано специально) выводам теории вероятностей и математической статистики можно доверять почти так же, как и выводам точных наук.

1. Основные определения

Важнейшими исходными понятиями в теории вероятностей являются по-

нятия опыта и случайного события.

Определение 1.1. Опытом (экспериментом, наблюдением, испытанием) будем называть выполнение некоторого условия (или совокупности условий), при которых может наступить интересующее нас событие.

Определение 1.2. Случайным событием называется любое событие, которое может произойти в результате опыта.

6

Уточним, что в дальнейшем речь будет идти только о случайных событиях, поэтому для простоты, говоря событие, мы будем подразумевать случайное событие.

События обычно обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита - A B C D .

Пример 1.1. Опыт состоит в том, что студент, прослушав курс теории вероятностей и выполнив необходимые задания, сдает по нему экзамен.

Возможные события: A – студент сдал экзамен на 5, B – сдал на 4, C – сдал на 3, D – не сдал экзамен, E – студент сдал экзамен.

Пример 1.2. Опыт состоит в том, что игральная кость бросается один раз. Возможные события: A – выпала цифра, большая 3, B – выпало четное

число, C – выпало простое число и т. д.

Еще раз подчеркнем, что в теории вероятностей рассматриваются не всякие опыты и не всякие события. Требуется, чтобы опыт можно было производить как угодно много раз (хотя бы теоретически) и изучаются закономерности только массовых, повторяющихся явлений.

Пример 1.2 полностью удовлетворяет этому требованию. Пример 1.1 если и удовлетворяет этому требованию, то с некоторыми дополнительными предположениями. А именно:

а) речь может идти не о конкретном студенте, а обо всех студентах второго курса на факультете или даже всех студентах второго курса вуза. Так как это большое множество, то, абстрагируясь от его конечности, можно считать, что изучается бесконечная совокупность студентов и, следовательно, опыт можно повторять практически неограниченное количество раз.

Наоборот: б) речь может идти о конкретном студенте, которого, ради эксперимента, могут неоднократно подвергать одному и тому же испытанию (теоретически это тоже возможно).

Впервом варианте нас может интересовать, например, вероятности того, что произвольно взятый студент второго курса сдаст экзамен (событие E ). Во втором варианте речь может идти о вероятности того, что данному конкретному студенту удастся сдать экзамен (тоже E ).

Ясно, что это два совершенно разных опыта и событие E означает два совершенно разных события.

Втеории вероятностей степень возможности наступления в опыте данного события A принято выражать числом от 0 до 1, называть его вероятностью события и обозначать P( A) .

Предполагается, что для большинства недетерминированных явлений та-

7

кая степень возможности их наступления объективно существует.

По определению 0 P( A) 1. Таким образом, P( A) есть числовая функция, определенная на множестве всех событий, которые могут произойти в опыте.

Степень возможности наступления события можно оценить экспериментально. Для этого проводят N опытов и подсчитывают, в скольких из них со-

если A происходит очень часто, то pN (A) будет близка к 1, а если очень редко, то pN (A) будет близка к 0. Иными словами, при большом N величина pN (A) объективно выражает степень возможности появления события A . Однако при малых N частота обычно подвержена большим случайным колебаниям.

Эксперименты показывают, что при N во многих случаях наблюдается приближение pN (A) к некоторому пределу. Этот предел и есть вероят-

ность события A , а формула

задает так называемое статистическое определение вероятности.

Ясно, что данный метод определения вероятности неудобен, ибо для получения с высокой точностью придется проводить очень много опытов, что не является оправданным ни по материальным, ни по временным затратам.

Существуют иные (косвенные) методы нахождения вероятности события, к изучению которых мы скоро перейдем. Но, как бы ни определялась вероятность события A , для нее все равно должна выполняться формула (1.1), и, сле-

довательно, при большом N , частота pN (A) и вероятность должны быть близки. Если это условие не выполняется (формула (1.1) не верна), то такие опыты и такие события в теории вероятностей не рассматриваются. Таким образом, теория вероятностей изучает только те опыты и те случайные события, которые удовлетворяют требованию устойчивости частоты – то есть формуле (1.1). На практике проверке этого требования следует уделять, по возможности, серьезное внимание.

Как следствие получаем важный практический вывод: если вероятность события A удалось найти и она равна p , а количество N опытов велико (обычно это означает, что N 100 и более), то событие A наступит примерно в p N опытах. Причем это утверждение тем точнее, чем больше N .

8

2. Алгебра событий. Свойства вероятности на алгебре событий

2.1. Сумма и произведение событий

Как было отмечено выше, одним из центральных понятий теории вероятностей является понятие события. Но, как видно из примеров 1.1 и 1.2, в опыте могут рассматриваться не одно, а несколько разных событий A B C …. При этом из нескольких исходных можно строить новые события, а также рассматривать имеющиеся между ними связи. Перейдем к точным формулировкам.

Событие называется невозможным, если оно никогда не наступает. Та-

кое событие обозначается . Очевидно P( ) 0 . Например, то, что при подбрасывании монеты над столом она станет ребром, есть невозможное событие.

Событие называется достоверным, если оно происходит в любом опы-

те. Достоверное событие обозначается I P(I ) 1. Например, то, что при подбрасывании монета всегда ляжет на стол одной из сторон, есть достоверное событие.

Событие называется противоположным событию A и обозначается A , если оно происходит тогда и только тогда, когда НЕ происходит A . Легко видеть, что P( A) 1 P( A) . Событие, противоположное к A , очевидно, совпадает с A . Поэтому A и A взаимно противоположны. Например, выпадение «орла» и выпадение «решки» - взаимно противоположные события.

Несколько событий называются несовместными, если они не могут про-

изойти одновременно. Выпадение тройки, четного числа и числа, меньшего 2 при бросании игральной кости, очевидно, являются несовместными событиями. Противоположные события всегда несовместны.

События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Двойка по контрольной студента А не влияет на оценку студента Б. Наоборот, противоположные события всегда зависимы.

В обыденной речи мы часто говорим о нескольких событиях (не обязательно случайных), соединяя их союзами И и ИЛИ. Например, "Завтра ко мне придут друзья, и я надену свое новое платье. Мы будем веселиться и танцевать. Потом мы поедем в кафе или на дискотеку."

Подобные комбинации событий называются суммой и произведением событий.

Событие, которое происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из некоторого набора событий, называется суммой этих событий. Для событий

9

или C . При этом союз ИЛИ можно заменить на ЛИБО.

Событие, которое происходит тогда, когда происходит каждое из некоторого набора событий, называется произведением этих событий. Для со-

Справедливы следующие важные правила.

1. Правило дистрибутивности:

(A B C)(D E) (A B C)D (A B D)E

AD BD CD AE BE CE

2. Событие, противоположное сумме, равно произведению противоположных событий:

A B C A B C

3. Событие, противоположное произведению, равно сумме противоположных событий:

ABC A B C

Задание 2.1. Докажите указанные соотношения самостоятельно.

Если события независимы, то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

P(ABC) P(A)P(B)P(C)

10