Учебное пособие 800377
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pdT Tdp 0 p |
dp |
|
|
p |
. |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Почленным дифференцированием (3) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pdV Vdp RdT p |
|
dV |
|
V |
dp |
R p |
dV |
R V |
dp |
. |
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
dT |
|
|
|
||||||||||||
С учётом (4) равенство (5) даёт: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
dV |
R V |
p |
R |
RT |
2R. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя (6) в (1) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
С Сv 2R |
i |
R 2R i 2( |
C |
2) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для С=29 Дж/(моль К) i=3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.77 |
|
Усреднённая |
молярная |
|
|
|
|
масса |
|
|
|
газовой |
|
|
сме- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
си:M |
mi |
|
iMi |
, |
|
где m , v |
i |
- масса и количество i-й |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
mi |
/Mi |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
компонентов смеси. Для двухкомпонентной смеси газов |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
v1M1 v2M2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Количество молей смеси двух газов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
v |
m |
|
m1m2 |
(v M |
|
v |
M |
|
|
) |
|
|
|
|
v1 v2 |
|
v v |
|
. |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M M |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
v M v |
M |
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Внутренняя |
|
энергия |
|
|
|
|
смеси |
|
|
|
двух |
|
|
|
|
газов |
равна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
U N1 1 N2 2 |
(N1i1 |
N2i2 )kT |
|
|
- |
с одной стороны, с дру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гой же стороны U |
i |
(N |
|
N |
|
|
)kT . Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1i1 N2i2 i(N1 N2 )
61
i N1i1 N2i2 i(v1NA) i2(v2NA) i1v1 i2v2 . N1N2 v1NA v2NA v1 v2
Для i1 3 и i2 5
i |
3v1 |
5v2 |
. |
(3) |
v1 |
|
|||
|
v2 |
|
Показатель адиабаты данного газа
i 2 5v1 7v2 .
i3v1 5v2
6.78. |
Из формул (i 2)/i , (1/2)kT , |
p nkT |
|||||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2/( 1), kT |
2 |
( 1) , n |
p |
|
p |
|
. |
||
|
kT |
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
[( 1) ] |
||||
Для |
заданных значений |
1,40, |
p 100 (кПа) и |
2.5 1025 (Дж) концентрация молекул газа
n1,0 1025( 1 ) .
м3
6.79.При внезапной остановке сосуда с газом кинетическая энергия системы частиц в целом через их столкновения перейдёт во внутреннюю энергию, в результате чего увеличится внутренняя энергия газа и повыситься его температура на некоторую величину T T2 T1 .
Приращение внутренней энергии газа можно представить по-разному. В одном случае
U U |
|
U |
|
|
m |
|
i |
(T T ) |
m |
|
i |
R T , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
1 |
|
M R 2 1 |
M 2 |
во втором
62
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
m 2 |
, |
|
|
|
|
|||||
|
U U |
1 |
|
|
|
|
U |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где m - масса газа. Получаем равенство |
m |
|
i |
R T |
m 2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда находим: T |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
iR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По данным i=5, M=32 (г/моль) , =20 (м/с) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
T |
m 2 |
|
32 10 3 20 |
2 |
0,31 (К) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 8,31 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.80. |
Для |
молекул |
кислорода |
при |
температуре |
Т=273+17=290 К вычислим а) Средние значения квадратичной скорости и кинети-
ческой энергии поступательного движения: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
v |
кв |
|
|
3RT |
|
|
|
|
|
|
3 8,31 290 |
|
(м/с) =0,47 (км/с); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
32 10 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
пост |
|
|
|
|
3 |
kT |
3 |
1,38 10 23 |
290 6,0 10 21 (Дж) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
Среднюю квадратичную скорость капельки воды |
||||||||||||||||||||||||
взвешенную в воздухе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1,38 10 23 |
|
290 |
|
|
|
|
|||||
v 3 |
|
2kT |
|
3 |
|
|
|
|
(м/c) 0,15 |
(м/с). |
||||||||||||||||
|
d3 |
1,0 103(0,10 10 6)3 |
|
|||||||||||||||||||||||
кв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.81. На основании уравнения адиабаты TV 1 |
const |
|||||||||||||||||||||||||
при некотором расширении газа можем написать: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV 1 |
T V |
1 . |
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Пусть |
V2 |
|
n, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
|
1 |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
т.е. |
T1 |
n 1. |
(2) |
|
V |
|
|
T |
|
T |
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
Выражение квадратичной скорости молекулы при температу-
рах Т1 и Т2 |
имеем вид кв.1 |
|
|
3kT1 |
|
и |
кв.2 |
3kT2 |
|
. По усло- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
вию |
кв.1 |
1,50. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
кв.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
или |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Вместе |
(2) |
и |
(3) дают: |
|
|
n 1 2 n |
1 |
|
для |
i=5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
( |
i 2 |
|
1,4) |
и =1,50 кратность расширения газа |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ( |
3 |
)5 7,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
кв.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.82. |
По условию |
|
|
|
|
|
T2 |
, т.е. T |
2T (1). Газ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кв.1 |
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
заключён в сосуд , поэтому Q U |
|
|
|
U |
|
|
m |
|
i |
R(T T ) |
(2). С |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
M 2 |
2 |
|
1 |
|
|||||||
учетом (1) |
Q |
m |
|
i |
R( 2 1)T |
(3), где T - начальная темпе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратура азота, для молекулы которого i=5. Для заданных m=15г
и =2 сообщённая газу теплота
Q15 5 8,31(22 1)300 10 кДж. 28 2
64
|
|
|
|
|
|
6.83. Для жесткой двухатомной молекулы число враща- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
тельных |
|
|
|
|
|
степеней |
|
свободы |
nвр 2, |
|
следовательно |
||||||||||||||||||||||||||
|
вр |
n |
вр |
|
kT |
kT . |
С другой стороны |
вр |
|
I |
. |
Получаем |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
I 2 |
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
300 |
|
|
|
|
12 |
(1/c). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1.38 10 |
|
|
|
|
|
6,3 10 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
2.1 10 46 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6.84. При адиабатическом сжатии газа в раз ( >1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
имеет место соотношение TV |
1 |
TV |
1 из которого следует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T2 |
( |
V1 |
) 1 |
|
2 |
. |
Для |
двухатомной |
|
молекулы |
nвр 2 |
и |
||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
T1 |
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вр |
n |
вр |
|
kT |
kT . |
В |
конечном |
|
состоянии |
T T |
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
вр |
kT |
i |
. В данном случае T 273K , =500, i=5 и, сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
довательно,
вр 1,38 10 23 273 50.4 0,7 10 20 Дж.
6.85. Число ударов молекул газа на единичную поверхность стенки за единицу времени равно:
|
1 |
n |
8kT |
|
N |
|
8kT |
, |
(1) |
|
|
|
|
||||||
4 |
|
m 4V |
|
m |
|
||||
где m-масса молекулы , n-концентрация молекул газа , |
N- об- |
щее число молекул. Для начального и конечного состояний газа:
65
v |
N |
|
|
8kT1 |
, v |
|
|
|
N |
|
|
8kT2 |
. |
(2) |
||||
4V |
|
|
|
|
|
|
|
4V |
|
|
||||||||
1 |
|
|
m |
2 |
|
|
|
2 |
|
m |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T1 |
. |
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
v2 |
V1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
По условию V2 ( >1). При адиабатическом расширении
V1
газа T1V1 1 T2V2 1
|
2 |
|
|
||||
T1 |
( |
V2 |
) 1 |
|
. |
(4) |
|
i |
|||||||
T2 |
|
||||||
V1 |
|
Подставляя (4) в (3) , получим
|
1 |
1 |
1 i |
|
|||
|
i |
|
i |
. |
(5) |
||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
Для i=5 отношение 1 1,2 .
2
6.86.Уравнение политропы имеет вид
|
|
pVn const или TV n 1 const, |
(1) |
||||||
где n |
C Cp |
- показатель политропы. При С=R |
|
||||||
C CV |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (i 2)R |
i |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
R ( |
2)R |
i 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В ходе политропического процесса параметры начального состояния газа T1,V1 и параметры конечного состояния T2 ,V2
связанны соотношением:
TVn 1 |
T Vn 1. |
(2) |
||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
66
Отсюда получаем:
T |
|
V |
V |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
( |
2 |
)n 1 ( |
2 |
)i 2 . |
(3) |
||
T2 |
|
V1 |
||||||
|
V1 |
|
|
|
|
По условию V2 2,0и, следовательно,
V1
T1 |
2 |
|
|
||
|
i 2 |
. |
(4) |
||
T2 |
|||||
|
|
|
|
Согласно формуле (1) задачи 6.85, отношение числа ударов v1 ,
за одну секунду молекул газа о стенку в начальном состоянии к числу ударов v2 в конечном состоянии равно:
|
|
v1 |
|
V2 |
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 |
|
i 2 |
. |
|
|
|
(5) |
||||||||||
|
|
v2 |
V1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
4 |
|
||
В случае жёстких двухатомных молекул газа i=5 и |
|
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
||
Для =2,0 |
отношение |
v1 |
|
3 |
|
2,5. Отсюда видно, |
что |
|||||||||||||||||||||
|
16 |
|||||||||||||||||||||||||||
v2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v2 v1 в 2,5 раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.87. |
Молярная теплоёмкость идеального газа в полит- |
|||||||||||||||||||||||||||
ропическом процессе определяется выражением: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nCV Cp |
|
|
|
(n 1)i 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R, |
(1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) |
|
|
|
где n - показатель политропы. Числа ударов молекул газа о стенку за 1 сек определяются формулами (2) задачи 6.85. Из условия v2 v1 имеем
67
|
|
|
|
V2 |
|
T2 |
. |
|
|
(2) |
||||||
|
|
V1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
||||||
В политропическом процессе TV n 1 |
T V n 1 |
(3). |
Вместе (2) и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|||
(3) дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
n 1 |
V |
n 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
. |
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Поскольку V V , |
n 1 |
0 , т.е. n= -1, |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Врассматриваемом случае i=5, по формуле (1)
С( 2) 5 2 R 3R .
2( 2)
6.88. Максвеловское распределение молекул газа по x -
компонентам скоростей имеем вид:
|
m |
1 |
|
m 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
(vx ) ( |
|
)2 |
exp( |
x |
) . |
(1) |
|
2 kT |
|
||||||
|
|
|
|
2kT |
|
Число молекул с x - компонентами скоростей в интервале от
1x |
до 2x равно: |
|
|
|
|
2x |
|
|
N x |
N ( x)d x |
(2) |
|
|
1x |
|
Для узкого интервала от x до x |
x |
|
|
||
|
|
N x N ( x ) x , |
|
|
|
где N - общее число молекул. |
|
|
|
||
Для |
заданных интервалов от 1x 300м/с |
до |
1x 1x , |
||
1x |
2 0,31м/с и от |
2x 500м/с до |
2x |
2x |
|
2x |
2 0,51 м/с получаем: |
|
|
|
|
|
N1 N ( 1x) 1x , |
N2 N ( 2x) 2x . |
|||
|
|
68 |
|
|
|
(3)
где
где
(4)
Отношение
|
|
|
N1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
1x |
|
|
|
|||||
|
|
|
exp |
m( 2x |
1x ) |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
2x |
|
|||||||||
Для T=300 К и m |
|
28 10 3 |
кг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.02 1023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N |
|
|
|
|
m(5002 3002) |
|
|
0,31 |
|
||||||||
|
1 |
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5. |
||||||
N2 |
2 1,38 10 |
23 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
300 |
0,51 |
|
.
6.89. Распределение молекул газа по отдельным компонентам скоростей имеем вид
|
|
m |
1 |
|
m 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
( i |
) ( |
|
)2 |
exp( |
i |
), |
(1) |
|
2 kT |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2kT |
|
где i=x,y,z.
Вероятность того, что компоненты скорости молекулы x , y ,
z имеют свои значения в пределах узких интервалов x , y ,
z определяется выражением:
|
m |
|
1 |
|
3 |
|
|
m |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dP ( |
|
)2 exp |
|
|
|
|
( x y |
z |
) x |
y z . |
||||||||||||
2 kT |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP ( |
m |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
) x y z . |
(2) |
||||||||
|
)2 |
|
exp( |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 kT |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|||||
В условиях задачи: |
m |
|
28 10 3 |
|
кг масса молекулы азо- |
|||||||||||||||||
6,02 1023 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
та: x 300, y |
400, |
z |
500м/c; |
x |
2 0,30, |
y |
2 0,40, |
z 2 0,50 м/c.
Подставляя значения указанных величин в формулу (2), найдём: dP 0.7 10 10 .
69
6.90. Относительное число молекул, для которых x -
компонента скорости находится в интервале ( x, x x ), а
перпендикулярная оси х компонента в интервале
( , ) , определим через полную вероятность совмест-
ных независимых событий.
Вероятность того, что молекула имеет x - компоненту скорости в интервале ( x, x x ), равна
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
m |
|
1/2 |
|
|
|
m x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
exp( |
|
|
|
) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вероятность иметь составляющую скорости , перпен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дикулярную оси х, принадлежащую интервалу ( x, x x ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dP |
( |
|
m |
) |
1 |
|
2 exp( |
m |
2 |
)dS |
m |
|
e exp( |
m 2 |
)2 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Относительная доля интересующих нас молекул равна |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
P |
P |
|
|
|
m |
|
|
3 |
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
( |
|
|
|
)2 exp( |
|
|
) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
vx |
v |
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
6.91. В отличие от задания 6.90 здесь требуется найти вероятность нахождения молекулы в объеме цилиндрической трубки пространства скоростей полубесконечной длины и ограниченной радиусами и :
|
|
|
m x2 |
v |
|
|
|
m |
|
|
3/2 |
|
m 2 |
|
|
P |
|
0 e |
2kT |
x |
( |
|
) |
e |
2kT |
2 . |
|||||
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим интеграл I 0 |
e 2kT |
x . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|