Учебное пособие 800377
.pdfпереходе от одного элемента к другому элементу линии z(x)
изменяются и положе-ние центра С и радиус кривизны r . На бесконечно малом участке 1-2 можно считать дугой окружности. Поэтому углы между прямыми A1, A2 и C1, C2 можно принять одинаковыми и, положим равными d (см. рис.1).
С обеих сторон полоски поверхности жидкости действу-
ют силы натяжения F1 и F2 . Проекция результирующей этих сил на вертикаль (ось z) равна
dF cos cos( d ) 2 sin( |
d |
)sin( |
d |
) |
||||||
|
|
|||||||||
z |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
sin d . |
|
|
(1) |
|||||||
Здесь – коэффициент поверхностного натяжения. |
|
|||||||||
Сила dFz уравновешивается силой тяжести |
столбика |
|||||||||
жидкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dFg gdm gz1(x2 |
|
x1) gzdx sin d . |
(2) |
|||||||
Равенства (1) и (2) дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin d gzsin d , |
|
|
|
|||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gzd /d gzr . |
|
|
|
|||||||
Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
. |
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
gr |
|
|
|
|||||
При r z ; при r R z h, где R- радиус кри- |
||||||||||
визны поверхности y границы A , и |
|
|
|
|||||||
h |
|
|
. |
|
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
gR |
|
|
|
291
Положим радиус наибольшего сечения равным R, а высоту диска – равной h. По условию задачи R h, поэтому в этом случае верхнюю поверхность лужицы можно считать практически плоской и, следовательно, дополнительное давление внутри жидкости определить кривизной краев. При этом средняя кривизна поверхности края будет равна
K 1 cos 1 cos ,
R |
h |
R |
h |
R h, то |
где /2 – краевой угол смачивания. Так как |
K cos sin2 cos2 . h 2 2
Из условия динамического равновесия gh K , где
– коэффициент поверхностного натяжения. Получаем:
gh (sin2 cos2 ) h 2 2
h2 (sin2 cos2 )g 2 2
При абсолютном несмачивании h / g . При
, где – малая величина, cos 0 и
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
sin |
|
. |
h |
|
|
||||
g |
|
|||||
|
|
2 |
|
6.319. Будем исходить из закона Пуазейля
Q |
(p p ) r4 |
. |
(1) |
|
0 |
||||
8 |
||||
|
|
|
||
|
293 |
|
|
Здесь Q – объем жидкости (газа), протекающего за секунду через поперечное сечение тонкой цилиндрической трубки (ка-
пилляра) радиуса r и длины . Разность давлений p p0
поддерживается поверхностным натяжением мыльной пленки и равна:
p p |
|
4 |
, |
(2) |
|
||||
0 |
|
a |
|
где а – радиус мыльного пузыря. За малый промежуток време-
ни dt величина p p0 практически не изменяется. На основа-
нии (1) и (2) можно написать: dV Qdt , т.е.
4 |
|
3 |
|
|
4 r4 |
|
|
|
2 |
|
|
r4 |
|||
d |
|
a |
|
|
|
|
dt 4 a |
|
da |
|
dt |
||||
|
|
a 8 |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
||||
|
|
dt |
8 a3da |
|
t |
2 a4 |
const . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
dr4 |
|
|
r4 |
|
|
||||
При t 0 |
a R |
const |
2 R4 |
, тогда |
|
|
|||||||||
r4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 R4 (1 a4 / R4).
r4
Для a<<R
t 2 R4 .
r4
6.320. Силы поверхностного натяжения на границе жидкость-стенка капилляра в процессе установления равнове-
сия совершают работу, равную A 2 r h, где r – радиус капилляра, h - высота мениска. В ходе этого процесса работа сил натяжения трансформируется в потенциальную энергию столбика жидкости и выделяющуюся теплоту. На основании этого можно написать:
294
2 r h g( r2h) |
h |
Q , |
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где h – высота столбика воды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В состоянии равновесии 2 /r gh или |
|
||||||||||||
|
rh 2 / g . |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||
Из (1) и (2) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q 2 (rh) |
g |
(rh)2 |
|
||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
g |
2 |
2 |
|
2 2 |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
g |
|
|
g |
|
|
|
g |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
6.321. Коэффициент поверхностного натяжения α выражает собой дополнительную свободную энергию, которой обладает единица площади поверхности жидкости. При изотермическом увеличении площади поверхности на dS свобод-
ная энергия жидкости возрастает на dF dS. Для сферической свободной поверхности, ограничивающей жидкость сво-
бодная энергия F S const d2 const . В случае мыльного пузыря имеем две сферические поверхности (внешняя и внутренняя) и поэтому F 2 d2 const , где d – диаметр сферы.
а) Для капли ртути диаметром d 1,4мм
F 470 10 3 (1,4 10 3)2 const 3мкДж, const 0.
б) Для мыльного пузыря с 45мН/м и d 6,0мм
F 2 45 10 3 (6,0 10 3)2 const 10мкДж, const 0.
6.322. а) Свободная энергия поверхностного слоя од-
ной капли ртути F d2 , двух раздельных одинаковых ка-
пель F 2F 2 d2 . При слиянии двух капель образуется
295
одна капля диаметром d1 32d . При этом свободная энергия образовавшейся капли F2 d2 22/3 . Приращение свободной энергии будет равно
F F2 F1 d2(22/3 2) 2 d2(1 312)
F 2 470 10 3 (1,5 10 3)2(1 1/32) 1,5мкДж.
б) Работа, совершаемая при выдувании пузыря радиуса R, затрачивается на приращение свободной энергии жидкой пленки пузыря и на преодоление атмосферного давления, что можно записать в виде
A F p V 2 4 R2 |
p |
|
|
4 |
R3 |
|
|
||||
0 |
|
0 |
3 |
|
или
A 4 R2 (2 1 p0R) . 3
6.323. Из первого начала термодинамики для моля газа имеем:
Q dUM pdVM |
|
Q |
|
dUM |
p |
dVM |
|
|||||||
dT |
|
|
dT |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
||||
C C p |
dVM |
. |
|
|
|
|
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
V |
dT |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее воспользуемся уравнением состояния идеального |
||||||||||||||
газа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pVM RT pdVM VM dp RdT |
|
|
||||||||||||
p |
dVM |
R V |
|
|
dp |
. |
|
|
|
(2) |
||||
dT |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M dT |
|
|
|
|
Подставляя (2) в (1) получим
296
C C |
|
V |
dp |
|
4 |
r3 |
d |
(p |
|
|
4 |
) |
16 r |
|
dr |
. (3) |
|
|
|
dT |
|
r |
|
|
|||||||||
|
p |
M dT |
3 |
|
|
0 |
|
|
3 dT |
Производную dr выразим из того же уравнения состоя- dT
ния:
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
RT |
|
|
|
(p |
r |
|
4 r |
|
) |
RT |
||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(3p r2 |
8 r) |
dr |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
3R |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT 4 (3p0r 8 )r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Уравнения (3) и (4) совместно дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C Cp |
|
16 r |
|
|
|
|
3R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4 (3p0r 8 )r |
|
3p0r 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R / 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8 (1 |
3 p |
0 |
r |
|
|
) |
|
|
|
1 |
3 p |
0 |
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.324. |
|
|
На рисунке для некото- |
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рого тела, в частности для пленки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
жидкости, показан цикл Карно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Совершенная |
|
телом работа |
|
|
за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
полный цикл равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
S1 |
|
|
|
|
|
S2 S |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A |
T1dS |
|
T2dS (T1 |
T2 )(S2 |
S1), |
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 2) |
|
|
|
|
|
|
|
(3 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S- энтропия.
297
За элементарный цикл совершается работа
A T (T1 dT) (S dS) S dTdS . |
(2) |
Учитывая, что dS Q , на основании (2) будем иметь:
T
A dT Q Q T A T dF
T |
|
dT |
dT |
||||||
Q T |
d( ) |
T |
d |
. |
(3) |
||||
|
dT |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dT |
|
|||
Из (3) следует: |
|
|
|
|
|
|
|||
q |
Q |
T |
d |
. |
(4) |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
dT |
|
6.325. а) Свободная энергия тела (в том числе и мыльной пленки)
|
|
F U TS , |
|
|
|
(1) |
||||
где U – внутренняя энергия, S – энтропия системы. В элемен- |
||||||||||
тарных значениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF dU d(TS) (TdS pdV) TdS SdT , |
|
|||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF SdT pdV . |
(2) |
|||||||||
Так как свободная энергия F есть функция состояния, то |
||||||||||
её полный дифференциал равен |
|
|
|
|
|
|
||||
F |
F |
|
||||||||
dF |
|
|
dT |
|
|
dV . |
(3) |
|||
|
|
|
|
|||||||
T V |
T T |
|
||||||||
Из сравнения (1) и (2) видно, что |
|
|
|
|
||||||
|
F |
|
|
F |
|
|||||
S |
|
|
, |
p |
|
|
. |
(4) |
||
|
|
|
|
|||||||
|
T V |
|
|
T T |
|
В рассматриваемом случае свободная энергия связана с поверхностью жидкой пленки, поэтому F F(T, ) и, следо-
вательно,
298
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку F 2 , где α – коэффициент поверхностно- |
|||||||||||||||||||||||||||||
го натяжения, то |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
T |
|
|
T |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для первого и второго состояний поверхности имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
2 |
|
|
, |
S |
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
(7) |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 T |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 T |
|
|
|
||||||||||||
полагая, что / T const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из выражений (7) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S S |
|
S 2 |
|
( |
|
|
|
) 2 |
|
. |
(8) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
T |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||
б) Соотношение (1) |
перепишем в виде U F TS . Из |
||||||||||||||||||||||||||||
которого при T const следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U F T S ( 2 ) T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
T |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2( T |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
299
9. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
6.326. Пусть масса насыщенного водяного пара в сосуде равна mH . При частичной конденсации пара его масса станет равной mH m. При T const давление пара pH const . Работа, совершённая над газом
A p |
|
V p |
|
m |
. |
(1) |
|
|
|
|
|||||
|
H |
|
H |
H |
|
||
|
|
|
|
|
|
Из уравнения состояния имеем
p |
H |
|
H |
RT . |
(2) |
|
|||||
|
|
M |
|
Подставляя (2) в (1), получаем
A m RT 0.708,31 373 120Дж.
M 18
6.327. Из свойства аддитивности объёма и массы системы имеем:
V VЖ VП , m mЖ mП
Здесь VЖ ,mЖ – объём и масса жидкости в сосуде, VЖ и mП – объём и масса насыщенного пара; V и m – общие величины. Замечаем, что mЖ VЖ VЖ' , mП VП VП' , где VЖ' и VП' – удельные объёмы жидкости и пара (воды и водяного пара). Величины VЖ' и VП' известны, тогда
VmЖVЖ' mПVП' (m mП )VЖ' mПVП'
mVЖ' (VП' VЖ' )mП .
Отсюда
m |
|
|
V mV ' |
|
6 5 1 |
кг 2 10 |
|
2 кг 20г. |
|
П |
Ж |
|
|
|
|||||
VП' Vж' |
50 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Объём пара
300