Учебное пособие 800262

определяют будущее поведение системы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим

этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Рис. 8. Структурная схема системы управления

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 9.

Рис. 9. Динамическая система

19

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений — «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значений. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

Понятие о переменных состояния, описывающих динамическую систему, можно проиллюстрировать на примере механической системы «масса-пружина» с затуханием, изображенной на рис. 10.

Рис. 10. Система «масса-пружина» с затуханием

Число переменных состояния, выбираемых для описания системы, должно быть по возможности минимальным, чтобы среди них не было излишних. Для данной системы вполне достаточно иметь две переменные состояния — положение и скорость движения массы. Таким образом, мы примем в

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

20

С учетом введенных выше переменных состояния это уравнение примет вид:

Следовательно, исходное дифференциальное уравнение второго порядка мы можем представить в виде эквивалентной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Эти уравнения, по сути, описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния.

Дифференциальные уравнения состояния

Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния. Эти уравнения в общем случае имеют следующий вид:

21

можно записать в матричной форме:

Матрица-столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния и имеет вид:

где полужирное начертание символа означает вектор. Вектор входных сигналов обозначается как и. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравнением

состояния

Уравнение (31) часто называют просто уравнением состояния.

Матрица А является квадратной размерности п х п, а

связывает скорость изменения состояния системы с самим состоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода

22

где у — совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора-столбца.

Решение дифференциального уравнения состояния (31) можно получить точно так же, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение

Обратное преобразование Лапласа уравнения (34) дает искомое решение:

Аналогично получается и решение дифференциального уравнения состояния. Прежде всего введем в рассмотрение

матричную экспоненциальную функцию, представив ее в виде ряда

который сходится для всех конечных t и любой А. Тогда решение уравнения состояния будет иметь вид:

23

Решение (37) можно также получить, применив преобразование Лапласа к уравнению (31) и сгруппировав члены. В результате получим:

(38) обратное преобразование Лапласа и учитывая, что второе слагаемое в правой части содержит произведение Ф s BU s , мы

и получим решение (27). Матричная экспоненциальная функция Ф(t) описывает свободное движение системы и называется

фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния. Таким образом, решение (27) можно записать в виде:

В результате для свободного движения системы (в случае, когда и=0) решение можно записать очень просто:

Отсюда легко можно видеть, что для того чтобы определить переходную матрицу состояния, необходимо начальные значения всех переменных состояния кроме одной положить равными нулю и вычислить реакцию каждой

24

переменной состояния на это ненулевое значение. Иначе говоря,

состояния на начальное значение j-й переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю.

В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций переменных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовательно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на использовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механических, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций элементов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относительно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую очередь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но также биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состояния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным состояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описывающие будущее поведение системы.

Дискретный способ вычисления временных характеристик

Временные характеристики системы, описываемой векторно-матричным дифференциальным уравнением состояния, можно получить, воспользовавшись дискретной аппроксимацией этого уравнения. Подобная аппроксимация основана на разбиении временной оси на достаточно малые отрезки. Тогда значения переменных состояния будут

25

метод широко используется при численном анализе и при вычислениях на цифровых компьютерах. Если шаг дискретности T является достаточно малым по сравнению с постоянными времени системы, то точность вычислений будет вполне приемлемой.

Уравнение состояния линейной системы имеет вид:

Этим определением мы воспользуемся для вычисления

где t разбито на малые отрезки длительностью Т. Поэтому время t kt, k 0,1,2,3,... Тогда (45) будет записано в виде:

26

Таким образом, значение вектора состояния в (А+1)-й момент времени выражается через значения х и u в k-й момент времени. Выражение (46) можно записать иначе:

опущен. Выражение (46) показывает, что определение x{t) сводится к вычислению его дискретной аппроксимации х(k+1) на основании предыдущего значения х(к). Эта рекуррентная операция, известная как метод Эйлера, представляет собой последовательную цепочку вычислений и очень просто реализуется на цифровых компьютерах. Для вычислений по формуле (41) могут быть использованы и другие методы численного интегрирования, например методы Рунге-Кутта.

Последовательность выполнения работы в Matlab

SISO Design Tools – проектирование систем регулирования с использованием графического интерфейса анализа одномерных линейных (линеаризованных) систем управления (Single Input/Single Output).

LTI – непрерывная система (Linear Time Invariation). MIMO – Multiplay Input/Multiplay Output.

В пакетах расширения Control System Toolbox системы МАТLАВ приняты следующие способы описания линейных динамических систем с постоянными параметрами: система уравнений первого порядка в фазовом пространстве, или в пространстве состояний системы (ss — state-spase), передаточная функция системы в виде отношения двух полиномов (tf), передаточная функция в так называемом виде нуль/полюс/

коэффициент усиления (zpk).

27

1. Наибольшее распространение получил первый способ, который дает наилучшую точность при вычислениях и в большей степени удобен при теоретических исследованиях и практической реализации алгоритмов управления с применением вычислительных машин и т. д.

При применении этого способа дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы, имеют вид:

где х-n-мерный вектор состояния системы (вектор фазовых координат), u-р-мерный вектор внешних воздействий, состоящий из заданных величин, возмущений, управлений, формируемых регулятором, А и В - переходная матрица системы и матрица управлений соответствующих размеров. Предполагается, что измерению доступна только часть состояний системы или их линейных комбинаций, такие переменные у называются выходами системы:

где у — m-мерный выходной вектор, C, D — матрицы соответствующих размеров. Для большинства реальных объектов управления D = 0.

В рассматриваемых пакетах расширения имеется возможность манипулировать с системой, описываемой уравнениями как с одним объектом МАТLАВ. Для этого нужно матрицы А, В, С, B трансформировать в систему, используя команды ss.

2. Передаточная функция (tf) имеет вид

28