Учебное пособие 800223
.pdfПрактическая работа № 8 Корректирующие коды
Целью практической работы является изучение практических приложений основных результатов теории помехоустойчивого кодирования дискретных сообщений в каналах связи с ошибками.
Вопросы для практической работы
1.Классификация корректирующих кодов.
2.Принципы обнаружения и исправления ошибок.
3.Избыточность корректирующего кода, коэффициент обнаружения ошибок.
4.Связь обнаруживающей и исправляющей способности кода с кодовым расстоянием.
5.Определение числа проверочных элементов кода в зависимости от кодового расстояния.
6.Вероятность ошибки в кодовых комбинациях из n элементов, вероятность обнаружения ошибки или необнаружения ошибки кратности t.
7.Код с проверкой на четность, его свойства, вероятность необнаружения ошибки .
8.Код с постоянным весом, его свойства, вероятность необнаружения ошибки.
9.Инверсный код, его свойства, вероятность необнаружения ошибки.
10.Цепной код, его свойства, коэффициент избыточно-
сти.
11.Групповые систематические коды, производящая и проверочная матрицы.
12.Код Хэмминга и его построение по производящей
матрице.
13.Улучшенный код Хэмминга, его свойства.
14.Циклические коды. Принципы построения циклических кодов и обнаружения ошибок.
29
Задания на практическ ую работ у
8.1. В 6-значной двоичной кодовой комбинации используется простейший код с проверкой на четность.
Задана амплитуда сигнала, способ модуляции, спектральная плотность помехи, скорость передачи сигналов.
Требуется определить:
Вероятность искажения элементарной посылки p.
Вероятность необнаруженной данным кодом ошиб-
ки
Коэффициент обнаружения ошибки.
Исходные данные взять из таблицы вариантов к задаче
5.4.
8.2. В системе передачи данных используется циклический код.
Задано:
число элементов кода n,
число информационных элементов k,
вероятность искажения элементарной посылки в канале с независимыми ошибками p.
Требуется определить:
коэффициент обнаружения ошибок,
коэффициент необнаружения ошибок,
вероятность ошибки в комбинации из n элементов,
вероятность необнаруженной данным кодом ошиб-
ки.
Исходные данные к задаче приведены в табл. 14.
30
|
|
|
|
Таблица 14 |
|
Таблица вариантов к задаче 8.2 |
|
||
№ вар. |
n |
k |
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
8 |
5 |
|
0,01 |
2 |
9 |
6 |
|
0,02 |
3 |
10 |
7 |
|
0,03 |
4 |
12 |
8 |
|
0,04 |
5 |
14 |
10 |
|
0,05 |
6 |
20 |
16 |
|
0,06 |
7 |
26 |
20 |
|
0,05 |
8 |
30 |
24 |
|
0,04 |
9 |
36 |
30 |
|
0,03 |
10 |
44 |
36 |
|
0,02 |
11 |
48 |
40 |
|
0,01 |
12 |
56 |
48 |
|
0,02 |
13 |
76 |
64 |
|
0,03 |
14 |
140 |
128 |
|
0,04 |
15 |
270 |
256 |
|
0,05 |
16 |
22 |
16 |
|
0,05 |
17 |
26 |
20 |
|
0,06 |
18 |
32 |
24 |
|
0,05 |
19 |
38 |
30 |
|
0,04 |
20 |
48 |
36 |
|
0,03 |
21 |
52 |
40 |
|
0,02 |
22 |
60 |
48 |
|
0,02 |
23 |
70 |
56 |
|
0,01 |
24 |
80 |
64 |
|
0,08 |
25 |
130 |
112 |
|
0,07 |
26 |
140 |
128 |
|
0,06 |
27 |
190 |
160 |
|
0,05 |
28 |
220 |
180 |
|
0,04 |
29 |
224 |
200 |
|
0,03 |
30 |
250 |
220 |
|
0,02 |
31
8.3. В системе передачи дискретной информации применён n-разрядный систематический двоичный код.
Определить:
Сколько проверочных элементов должен иметь этот код для исправления однократных ошибок.
Какой кратности ошибки может обнаруживать этот
код.
Чему равна избыточность этого кода.
Чему равны коэффициент обнаружения и коэффициент исправления ошибок.
Число n для вариантов 1 – 10 определяется как номер варианта плюс число 5.
Число n для вариантов 11 – 20 равняется номеру вари-
анта.
Число n для вариантов 21 – 30 определяется как номер варианта минус число 10.
8.4. Для передачи телеграфной информации применяется 7-значный код с постоянным весом 3:4.
Определить коэффициент обнаружения ошибок, избыточность кода и вероятность необнаруженной ошибки, если вероятность искажения элементарной посылки в канале с независимыми ошибками
p = 0,001N,
где N – номер варианта.
8.5.В «улучшенном» коде Хемминга вводится дополнительный проверочный элемент для «сквозной» проверки кодовой комбинации на четность.
Показать, можно ли подобным образом «улучшить» 7- значный код с постоянным весом путем введения восьмого проверочного элемента.
Не произойдет ли при этом «ухудшение» кода?
8.6.Сравнить между собой 10-элементный инверсный код (k = 5, r = 5) и более простой 10-элементный код, в котором проверочные элементы повторяют информационные элементы (без инверсии).
32
Перечислить все виды ошибок, которые не обнаруживает каждый из этих кодов.
Привести расчетные формулы, определяющие вероятность необнаруженной ошибки каждым кодом в канале с независимыми ошибками и вычислить эти вероятности, если вероятность искажения элементарной посылки равна
p = 0,01 + 0,002N,
где N – номер варианта.
8.7. В канале связи используется цепной код, в котором любой проверочный элемент определяется по рекуррентной формуле
bi = ai + ai+1 .
На вход декодера поступает последовательность посылок, заданная таблицей вариантов.
Исправить обнаруженные ошибки в предположении, что в канале связи возникают достаточно редкие ошибки, а первым элементом заданной последовательности является информационная посылка. Пояснить, как Вы понимаете термин «достаточно редкие ошибки».
Что будет, если в канале связи появятся «пакеты» оши-
бок?
Исходные данные приведены в табл. 15.
|
|
Таблица 15 |
|
Таблица вариантов к задаче 8.7 |
|
№ варианта |
|
Принятая последовательность |
|
|
|
1 |
|
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 |
|
|
|
2 |
|
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 |
|
|
|
3 |
|
1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 |
|
|
|
4 |
|
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 |
|
|
|
5 |
|
1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 |
|
|
|
6 |
|
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 |
|
|
|
7 |
|
1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 |
|
|
|
8 |
|
1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 |
|
|
|
33
|
Придолжение табл. 15 |
№ варианта |
Принятая последовательность |
|
|
9 |
0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 |
|
|
10 |
0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 |
|
|
11 |
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 |
|
|
12 |
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 |
|
|
13 |
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 |
|
|
14 |
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 |
|
|
15 |
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 |
|
|
16 |
0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 |
|
|
17 |
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 |
|
|
18 |
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 |
|
|
19 |
0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 |
|
|
20 |
1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 |
|
|
21 |
0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 |
|
|
22 |
1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 |
|
|
23 |
0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 |
|
|
24 |
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 |
|
|
25 |
0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 |
|
|
26 |
0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 |
|
|
27 |
0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 |
|
|
28 |
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 |
|
|
29 |
1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 |
|
|
30 |
0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 |
|
|
34
8.8.Найти проверочные элементы кода Хэмминга, состоящего из 5 информационных и 4 проверочных элементов и записать выражение для полученной 9-разрядной кодовой комбинации, если заданы информационные элементы кода, которые для разных вариантов определяются как номер варианта, записанный в виде 5-разрядного двоичного числа.
8.9.Используя результаты решения предыдущей задачи, построить 10-элементный «улучшенный» код Хэмминга, определить избыточность полученного кода и коэффициент исправления ошибок.
8.10.Код Хэмминга, содержащий 4 информационных и 3 проверочных элемента, используется для исправления одиночных ошибок.
Определить, является ли заданная 7-значная комбинация разрешенной и если не является, исправить обнаруженную ошибку.
Для разных вариантов заданная комбинация определяется как 5-разрядное двоичное число, равное номеру варианта, после которого приписаны элементы 11.
8.11.По заданной разрешенной 7-значной комбинации циклического кода (7, 4) построить производящую матрицу и с помощью производящей матрицы найти проверочные элементы для другой кодовой комбинации, если заданы информационные элементым кода.
Записать полученную разрешенную комбинацию. Заданная разрешенная комбинация определяется как
100 + номер варианта (в десятичной системе счисления), переведенные в двоичную систему. Заданные информационные элементы кода новой комбинации определяются номером варианта, записанным в виде 5-разрядного числа.
8.12.Производящий многочлен циклического кода (8,5)
имеет вид
g(x) = x3 + x + 1.
Найти проверочные элементы кода по заданным информационным элементам кода и записать полученную 7- значную комбинацию.
35
Информационные элементы кода определяются номером варианта, заданного в виде 5-значного двоичного числа.
8.13. Производящий многочлен циклического кода име-
ет вид
g(x) = x3 + x + 1.
Определить, является ли комбинация, поступившая на вход декодера, разрешённой.
Для разных вариантов поступившая 7-значная комбинация определяется как номер заданного варианта, записанный в виде 5-разрядного двоичного числа, перед которым и после которого поставлено по одной единице.
36
w(x )
1 2
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
e |
2 |
|||
|
||||
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Значения функций
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
и V (x ) |
[1 (x )] |
|
e |
2 |
dt |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
w(x) |
V(x) |
x |
w(x) |
V(x) |
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,39894 |
0,50000 |
2,50 |
0,017528 |
0,006210 |
|
|
|
|
|
|
0,10 |
0,39695 |
0,46017 |
2,55 |
0,015449 |
0,005386 |
|
|
|
|
|
|
0,20 |
0,39104 |
0,42074 |
2,60 |
0,013583 |
0,004661 |
|
|
|
|
|
|
0,30 |
0,38139 |
0,38209 |
2,65 |
0,011912 |
0,004025 |
|
|
|
|
|
|
0,40 |
0,36827 |
0,34458 |
2,70 |
0,010421 |
0,003467 |
|
|
|
|
|
|
0,50 |
0,35207 |
0,30854 |
2,75 |
0,009094 |
0,002980 |
|
|
|
|
|
|
0,60 |
0,33322 |
0,27425 |
2,80 |
0,007915 |
0,002555 |
|
|
|
|
|
|
0,70 |
0,31225 |
0,24196 |
2,85 |
0,006873 |
0,002186 |
|
|
|
|
|
|
0,80 |
0,28969 |
0,21186 |
2,90 |
0,005953 |
0,001866 |
|
|
|
|
|
|
0,90 |
0,26609 |
0,18406 |
2,95 |
0,005143 |
0,001589 |
|
|
|
|
|
|
1,00 |
0,24197 |
0,15866 |
3,00 |
0,004432 |
0,001350 |
|
|
|
|
|
|
1,10 |
0,21785 |
0,13567 |
3,05 |
0,003810 |
0,001144 |
|
|
|
|
|
|
1,20 |
0,19419 |
0,11507 |
3,10 |
0,003267 |
0,000968 |
|
|
|
|
|
|
1,30 |
0,17137 |
0,09680 |
3,15 |
0,002794 |
0,000816 |
|
|
|
|
|
|
1,40 |
0,14973 |
0,08076 |
3,20 |
0,002384 |
0,000687 |
|
|
|
|
|
|
1,50 |
0,12952 |
0,06681 |
3,25 |
0,002029 |
0,000577 |
|
|
|
|
|
|
1,60 |
0,11092 |
0,05480 |
3,30 |
0,001723 |
0,000483 |
|
|
|
|
|
|
1,70 |
0,09405 |
0,04457 |
3,35 |
0,001459 |
0,000404 |
|
|
|
|
|
|
1,80 |
0,07895 |
0,03593 |
3,40 |
0,001232 |
0,000337 |
|
|
|
|
|
|
1,90 |
0,06562 |
0,02872 |
3,45 |
0,001038 |
0,000280 |
|
|
|
|
|
|
2,00 |
0,05399 |
0,02275 |
3,50 |
0,000873 |
0,000233 |
|
|
|
|
|
|
2,05 |
0,04879 |
0,02018 |
3,55 |
0,000732 |
0,000193 |
|
|
|
|
|
|
37
Окончание приложения 1
x |
w(x) |
V(x) |
x |
w(x) |
V(x) |
|
|
|
|
|
|
2,10 |
0,04398 |
0,01786 |
3,60 |
0,000612 |
0,000159 |
|
|
|
|
|
|
2,15 |
0,03955 |
0,01578 |
3,65 |
0,000510 |
0,000131 |
|
|
|
|
|
|
2,20 |
0,03547 |
0,01390 |
3,70 |
0,000425 |
0,000108 |
|
|
|
|
|
|
2,25 |
0,03174 |
0,01222 |
3,75 |
0,000353 |
0,000088 |
|
|
|
|
|
|
2,30 |
0,02833 |
0,01072 |
3,80 |
0,000292 |
0,000072 |
|
|
|
|
|
|
2,35 |
0,02522 |
0,00939 |
3,85 |
0,000241 |
0,000059 |
|
|
|
|
|
|
2,40 |
0,02239 |
0,00820 |
3,90 |
0,000199 |
0,000048 |
|
|
|
|
|
|
2,45 |
0,01984 |
0,00714 |
3,95 |
0,000163 |
0,000039 |
|
|
|
|
|
|
2,50 |
0,01753 |
0,00621 |
4,00 |
0,000134 |
0,000032 |
|
|
|
|
|
|
38