Учебное пособие 80091
.pdf
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра технологии машиностроения
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению самостоятельной работы по дисциплине
“Математическое моделирование в машиностроении” для студентов направления
15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительныхпроизводств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечноштамповочного производства»)
всех форм обучения
Воронеж 2016
1
Составитель канд. техн. наук А.В. Перова
УДК 519.242
Методические указания к выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Математическое моделирование в машиностроении» для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечно-штамповочного производства») всех форм обучения / ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А.В. Перова. Воронеж, 2016. 25 с.
Методические указания включают краткие теоретические сведения по основам планирования эксперимента, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами методов экспериментальных исследований в машиностроении.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержатся в файле «Самостоятельная работа_МММ.pdf».
Табл. 14. Ил. 4. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. А.И. Болдырев
Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. техн. наук И.Т. Коптев
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
©ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический
университет", 2016
2
1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
ГИСТОГРАММА. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
Целью работы является обучение наиболее эффективному овладению практикой вычислений и навыкам использования основных формул и алгоритмов математической статистики.
1.При конкретных практических исследованиях в распоряжении имеется ограниченное число реализации случайной величины X, образующих выборочную совокупность (выборку). По выборке можно вычислить оценки соответствующих статистических характеристик генеральной совокупности.
2.Выборка представляется простым статистическим рядом. Обычно такой ряд оформляют в виде таблицы с одним входом, в первой строке которой стоит номер опыта, а во второй - реализации случайной величины.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|||||||
|
|
|
|
i |
1 |
2 |
3 |
|
... |
|
n |
|
||
|
|
|
|
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
... |
|
xn |
|
|||
3. Состоятельные несмещенные оценки математическо- |
||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
~2 |
) имеют следующий вид: |
|||||||
го ожидания (mx ) и дисперсии ( x |
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
~2 |
|
|
|
mx ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(1.2) |
|||
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти формул могут быть использованы для непосредственного расчета по данным простого статистического ряда; расчет становится громоздким при большом объеме выборки (n - большое). В этом случае выборку удобнее оформлять в виде статистического (вариационного) ряда.
1
4. Выборка преобразуется в форму статистического (вариационного) ряда по следующему правилу:
4.1. Весь диапазон, изменения [xmin; xmax ] случайной величины делится на k интервалов, где k, приближенно можно выбрать по полуэмпирической формуле:
k = 1 + 3,2 lg n (1.3)
с округлением до ближайшего целого. Длины всех интервалов выбираются равными
= |
xmin xmax |
. |
(1.4) |
|
|||
|
k |
|
|
4.2. Подсчитывается mi (1 i k) – число реализаций случайной величины, попавших в I-й интервал. Если значение xi попадает на границу внутри диапазона изменения Х между i - м и i + 1 - м интервалами, то рекомендуется к mi и mi+1 прибавить по 1/2. Определяется относительная частота, соответствующая каждому интервалу
P* = |
mi |
. |
(1.5) |
|
|||
i |
n |
|
|
4.3. Статистический (вариационный) ряд оформляется в виде таблицы
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|
X |
x1; x2 |
x2; x3 |
… |
xi; xi+1 |
… |
xk; xk+1 |
mi |
M1 |
m2 |
… |
mi |
… |
mk |
P* |
P* |
P* |
… |
P* |
… |
P* |
i |
1 |
2 |
|
i |
|
k |
4.4. Статистический (вариационный) ряд может оформляться графически в виде гистограмм. Гистограмма изображается в виде прямоугольников, площадью, равной относительной частоте P* соответствующих интервалов, основанием ко-
торых служат длины интервалов , отложенные по оси абсцисс (рис. 1).
2
P*
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xk+1 |
X |
Рис.1.1
З а м е ч а н и е. Количество интервалов, их длины, а также масштаб могут изменяться в зависимости от решаемых задач.
5. По построенному статистическому (вариационному) ряду несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются так
~ |
|
|
k |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
||||
|
= xi |
, |
|
|
|
(1.6) |
||||||||||
mx |
|
pi |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~2 |
|
|
n |
|
k |
|
~ |
|
2 |
* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
= |
|
|
|
|
|
(xi mx |
) |
|
pi , |
(1.7) |
|||||
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
x |
i |
= |
xi 1 |
xi |
|
- координата середины i -го интерва- |
|||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
ла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Интервал I = (а~- 1; |
|
а~+ 2) называется доверитель- |
||||||||||||||
ным интервалом с доверительной вероятностью , если выполняется соотношение
P(а~- 1 < a <а~+ 2 ) = , |
(1.8) |
где (a - точное значение некоторого |
параметра; а~ - |
оценка параметра , 1 и 2 - искомые числа. |
|
3 |
|
Величина q называется уровнем значимости критерия проверки
q = 100(1- )% |
(1.9) |
7. Доверительный интервал для |
mx при неизвестной |
дисперсии ~x2 :
7.1. Построение доверительного интервала основано на
том, что величина
~
T = 
n (mx ~ mx ) (1.10)
x
распределена по закону Стьюдента с = n - 1 степенями свободы.
7.2. По статистической таблице распределения Стьюдента для = n - 1 и уровня значимости q, можно найти такое tкр, что интервал
~ |
|
~x |
~ |
|
~x |
|
|
|
|||
I = (mx |
- tкр |
|
|
|
; mx |
+ tкр |
|
|
|
) |
(1.11) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
будет доверительным интервалом, соответствующим доверительной вероятности .
8. Доверительный интервал 2x ;
8.1. Построение доверительного интервала основано на
~2 |
|
|
||
том, что величина |
(n 1) x |
распределена по закону |
2 (хи - |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
квадрат) с = n – 1 степенями свободы.
8.2. По статистической таблице для = n – 1 и вычисленным по данному значению q вероятностям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P1 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2100 |
|
|
|
(1.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
можно |
найти |
|
|
такие |
числа |
12 , |
22 , что интервал |
I = |
||||||||||||
(n 1) |
~2 |
|
|
|
~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
, |
(n 1) |
x |
будет |
доверительным интервалом для |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~2 |
, соответствующим доверительной вероятности . |
|
||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9. Порядок выполнения работы:
9.1. Преобразовать простой статистический ряд в форму статистического (вариационного) ряда:
-вычислить k и ;
-определить mi и вычислить Pi* ;
-оформить ряд в виде таблицы;
-построить гистограмму.
~ |
и |
~2 |
9.2. Вычислить mx |
x . |
9.3. Построить доверительный интервал для mx: - найти и по заданному вычислить q;
- по статистической таблице найти tкр; - построить I .
9.4. Построить доверительный интервал для |
~2 |
; |
|
x |
|||
- по значению q вычислить Р1 и Р2; |
|
|
|
- по статистической таблице найти 12 , |
22 ; |
|
|
- построить I . |
|
|
|
9.5. Сделать выводы, оформить работу.
10. Пример. Произведено 10 независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной, характеризующей отклонение в мм длины детали от требуемой по техническим условиям. Результаты опытов представлены в виде простого статистического ряда.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
2,5 |
-0,2 |
-2,3 |
-1.25 |
-1.1 |
0.4 |
1.2 |
-2,5 |
0,5 |
-0.7 |
Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалу дяя = 0.95.
10.1. Преобразуем выборку в форму статистического (вариационного ряда).
Здесь:
k = 1 +3.2* lg10 = 1 +3.2 = 4;
= |
xmax xmin |
= |
2.5 2.5 |
= 1.25 |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
||
Найдем mi. Для этого сформируем интервалы разбиения (mi - число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 1.3.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
X |
-2.5; |
-1.25 |
-1.25; |
0 |
0; |
1.25 |
1.25; |
2.5 |
|
mi |
2.5 |
|
3.5 |
|
3 |
|
1 |
|
|
Вычислим Pi* и оформим таблицу 1.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
X |
-2.5; |
-1.25 |
-1.25; |
0 |
0; |
1.25 |
1.25; |
2.5 |
|
|||||||||
mi |
2.5 |
|
|
3.5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Pi* |
0.25 |
|
|
0.35 |
|
|
|
|
0.3 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|||
Построим гистограмму |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P* |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.32 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.08 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.5 -1.25 |
0 |
|
|
|
1.25 |
2.5 |
|
|||||||||
|
|
~ |
|
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.2. Вычислим mx и |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
~ |
= - 1. 875 * 0.25 + (- 0,625)*0.35 + 0.625*0.3 + |
||||||
mx |
|||||||
1.875*0.1 = - 0.469 – 0.219 + 0.188 + 0.188 |
|
||||||
|
- 0,312. |
|
|
|
|
||
~2 |
10 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
x |
= |
|
[(-1/563) |
|
*0.25 + (-0.313) |
|
*0.35 + (0.313) *0.3 |
10 1 |
|
|
|||||
+(1.563)2*0.1 ]
10 [0.611 + 0.034 + 0.029 + 0.244] = 1.02
9
Тогда
~ |
|
1.02 1.009 |
x |
10.З. Построим доверительный интервал для ~ mx
= n – 1 = 10 – 1 = 9; = 0.95;
6
q = 100*(1 – 0.95) % = 5 %
Используем статистическую таблицу, найдем:
|
~ |
|
|
1. |
009 |
|
|
|
||
tкр 2.26, тогда |
tкр |
|
x |
|
= 2.26 |
|
|
0.72 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
10 |
~ |
|
||||
тогда доверительный интервал для |
|
|||||||||
mx будет |
||||||||||
I = (–0.312 – 0.72; –0.312 + 0.72 ) = (-1.032; 0.408)
10.4.Построим доверительный интервал для ~2
x
Вычислим Р1 |
и Р2 |
|||||
Р1 |
= 1 - |
1 |
|
5 |
|
= 0.975, |
|
|
|||||
|
2100 |
|
|
|||
Р2 |
= 0.025 |
|
|
|||
По статистической таблице, зная Р1, Р2 и = 9, найдем
12 2.7; |
22 |
19.02 |
|
|
|
~2 |
9 1.02 9.18 |
Вычислим (n - 1) x |
|||
Тогда |
|
|
|
I 2 (0.48; |
3.4) |
|
|
x |
|
~2 |
|
~ |
|
||
Ответ: mx |
-0.312; x 1.02; |
||
I = (-1.032; |
0.408); |
I 2 (0.48; 3.4). |
|
|
|
|
x |
11. Практические задания
Произведено n независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной Х, характеризующей процент выхода бракованных изделий с технологической операции.
Результаты опыта сведены в таблицы (по вариантам получить у преподавателя).
Требуется: построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с известным .
2.ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ
1.На практике часто приходится решать вопрос, как
7
при ограниченном объеме выборки подобрать для данного статистического (вариационного) ряда теоретическую кривую функции плотности распределения, в некотором смысле наилучшим образом описывающую статистику и выражающую лишь существенные черты статистического материала, а не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.
2.Вид теоретической кривой определяется заранее из соображений, связанных с существом задачи, а также может быть оценен по построенной гистограмме.
3.При выборе аналитической функции кривой распределения следует иметь в виду, что она должна обладать свойствами плотности распределения.
4.Для решения этой задачи используется метод моментов, согласно которому параметры теоретической функции плотности распределения f(x) выбираются таким образом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если f(x) зависит
от двух параметров, то эти параметры выбираются так, чтобы
~ |
; |
~ |
(2.1) |
mx = mx |
Dx = Dx |
Замечание 1. При выравнивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами выше четвертого порядка, так как точность вычислений резко падает.
5. Для проверки согласованности теоретического и статистического распределений статистический ряд оформляется в виде таблицы.
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
X |
x1; x2 |
x2; x3 |
… |
xi; xi+1 |
… |
xk; xk+1 |
mi |
M1 |
m2 |
… |
mi |
… |
mk |
P* |
P* |
P* |
… |
P* |
… |
P* |
i |
1 |
2 |
|
i |
|
k |
Pi |
P1 |
P2 |
… |
Pi |
… |
Pk |
Pi - теоретические вероятности попадания случайной величи-
8