Учебное пособие 80091

корреляционного отношения при m = 2; n = 7

Тогда

т.к. = 0.95 то q = 5%

По таблице 5 приложения для 1 = 2; 2 = 4; q = 5% находим FКР = 6.9 и т.к. 18.51>6.9 то полученный критерий значим.

11.6. Для наглядности построим графики регрессионного уравнения и отложим точки исходной статистики (смотри предыдущую таблицу) .

y

6

4

2

11.7. Уравнение регрессии

Y = 1.07 + 0.88X - 0.017X2

адекватно описывает исходную статистику и может быть используемо для дальнейших исследований.

12. Практические задания.

12.1. Количество Y вещества в % оставшегося в системе через T минут от начала химической реакции, дается таблицами. Составить параболическое уравнение регрессии между Y и T и проверить его аддитивность с доверительной вероятностью = 0,095. Варианты заданий получить у преподавателя.

12.2. Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции Y (млн. руб.) по годам X характеризуется данными

19

таблиц.

Найти зависимость Y и X в виде параболы и проверить ее адекватность с доверительной вероятностью = 0,95. Варианты заданий получить у преподавателя.

12.3. В опыте исследовалась зависимость глубины проникновения Y (мм) тела в преграду от удельной энергии Кгм/см (энергии, приходящейся на квадратный сантиметр площади). Экспериментальные данные приведены в таблицах. Требуется подобрать прямую, выражающую зависимость Y оти проверить ее адекватность с доверительной вероятностью = 0,8. Варианты заданий получить у преподавателя.

4. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

I. Довольно часто исследователь сталкивается с явлением разброса средних значений X1 , X2 , X3 , …, Xm наблюдаемых случайных величин X1 , X2 , X3 , …, Xm под действием различных факторов - источников изменчивости.

Выявление и количественная оценка влияния отдельных факторов (источников изменчивости) на исследуемый признак и является задачей дисперсионного анализа.

Пусть мы наблюдаем m независимых нормально рас-

3. Результаты наблюдений обычно сводятся в таблицу.

20

Таблица 1

4. Выполнение дисперсионного анализа заключается в сравнении оценки 2А - дисперсии, вызванной изучаемым фак-

тором изменчивости А и ocтаточной оценки дисперсии 2R , обусловленной случайными погрешностями измерений.

5. Для этих целей используется критерий F - Фишера с выбранным уровнем значимости q.

с числом степеней свободы R = mn — n .

Если F – критерий обнаружит значимое расхождение между 2А и 2R гипотеза Н0 недопустима

QA – представляет собой взвешенную сумму квадратов отклонений средних по переменным от общего среднего или “рассеиванием по переменным” фактора А (фактора изменчивости).

ветствующих средних 8. Порядок выполнения работы.

8.1.Результаты опытов занести в таблицу вида 1.

8.2.Вычислить Xi и X .

8.3.Вычислить QA и QR.

8.4.Найти A и R.

8.5.Вычислить 2А и 2R .

8.6.Вычислить значение F – критерия.

8.7.По значению доверительной вероятности найти qq

=100 (1 - ) %.

8.8.По статистической таблице найти Fкр ( R, A, q)

8.9.Если Fp < Fкр, то Н0 принимается, в противном случае отвергается

8.10.Сделать выводы. Оформить работу.

9. Пример. Произведено по 4 замера на каждом из трех приборов температуры С0 протекания некоторой реакции. Результаты сведены в таблицу. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом дисперсионного анализа с доверительной вероятностью = 0.95 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.

9.1. Результаты представлены таблицей.

22

QA = 4[(73.75 – 72.42)2 +(75 – 72.42)2 +(68.5 – 72.42)2 +(73.75 – 72.42)2 ] 95.2

QR = (71 – 73.75)2 + (72 – 73.75)2 + (75 – 73.75)2 + (77 –

73.75)2 +

(72 – 75)2 + (74 – 75)2 + (76 – 75)2 + (78 – 75)2 + (68 – 68.5)2 + (64 – 68.5)2 + (70 – 68.5)2 + (72 –

68.5)2 = 77.74 (82.76) 9.4.

FP = 47.6 = 5.51

8.64

9.7.

q = 100(1 – 0.95)% = 5%

9.8.По таблице приложения при A = 2; R = 9 и q = 5% находим Fкр = 4,3

9.9.Fp > Fкр – H0 отвергается.

9.10.Среднее значение замеров по приборам различаются значимо, т.е. эти приборы можно считать настроенными неодинаково (приборы разнородны).

10. Практические задания. Произведено по пять замеров на четырех автоматах, обрабатывающих ролики. Ролики были измерены по диаметру. В таблицах приводятся отклоне-

23

ния в мм от номинального размера диаметра ролика для каждого из автоматов. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий замеров для каждого автомата. Варианты заданий получить у преподавателя.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Алексеев С.А. Экспериментальные методы исследования

/С.А. Алексеев, А.Л. Дмитриев, Ю.Т. Нагибин, Е.М. Никущенко. - СПбНИУ ИТМО, Лань, 2010.

2.Хрущева И.В. / И.В. Хрущева, В.И. Щербаков, Д.С. Леванова Основы математической статистики и теории случайных процессов.- Лань, 2009.

3.Воскобойников Ю.Е. Регрессионный анализ данных в пакете MATHCAD / Ю.Е. Воскобойников. - Лань, 2011.

4.Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных / Н.И. Сидняев. – Юрайт, 2014.

5.Перова А.В. Математическое моделирование в машиностроении: курс лекций: учеб. пособие [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые и граф. данные (3,08 Мб) / А.В. Перова, 2-е изд., перераб. и доп. - Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015.

24

СОДЕРЖАНИЕ

1. Статистическая оценка параметров распределения, гистограмма. Доверительный интервал……..…….……..………..1

3.Выравнивание статистических рядов…………..….......7

4.Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов……………………………...…….13

5.Однофакторный дисперсионный анализ…….....……20

Библиографический список……………………....….......24

25

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению самостоятельной работы по дисциплине

“Математическое моделирование в машиностроении” для студентов направления

15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительныхпроизводств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечноштамповочного производства»)

всех форм обучения

Составитель Перова Алла Владимировна

В авторской редакции

Компьютерный набор А.В. Перовой

Подписано к изданию 10.10.2016.

Уч.-изд. л. 1,5. “C”

ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"

394026 Воронеж, Московский просп., 14

26