Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Файл:

Сопротивление материалов. сборник задач для самостоятельной работы (сложное деформирование). Воропаев А.А., Томилов Ф.Х.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

7.47 Mб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

А.А. Воропаев Ф.Х. Томилов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ:

СБОРНИК ЗАДАЧ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

(СЛОЖНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ)

Учебное пособие

Воронеж 2007

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

А. А. Воропаев Ф. Х. Томилов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ:

СБОРНИК ЗАДАЧ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

(СЛОЖНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ)

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2007

УДК 539.3/7

Воропаев А.А. Сопротивление материалов: сборник задач для самостоятельной работы (сложное деформирование): учеб. пособие / А.А. Воропаев, Ф.Х. Томилов; под ред. А.А. Воропаева. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007. 210с.

В учебном пособии рассматриваются методика и техника решения задач по курсу «Сопротивление материалов». Сборник охватывает специальные разделы курса, предусмотренные типовой программой для технических вузов, и содержит около двухсот задач, предназначенных для аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов при выполнении домашних заданий в виде расчетно-проектировочных работ, а также при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле Сопромат7.doc.

Табл. 9. Ил. 194 . Библиогр.: 7 назв.

Рецензенты: кафедра начертательной геометрии и графики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю.А. Цеханов);

канд. техн. наук, доц. В.А. Рябцев

государственный технический универ-

ситет», 2007

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем пособии рассматриваются методика и техника решения задач по курсу «Сопротивление материалов». Сборник охватывает основные разделы курса, предусмотренные типовой программой для технических вузов и содержит около трехсот задач, предназначенных для аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов при выполнении домашних заданий в виде расчетно-проектировочных работ, а также при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Отличительной особенностью настоящего пособия является использование универсального метода сил для решения статически неопределимых задач.

Условия некоторых задач сопровождаются несколькими расчетными схемами и, таким образом, общее число задач приближается к четыремстам. Кроме того, в сборнике дан ряд задач, предназначенных для контрольных работ.

По всем темам курса в задачнике приведены задачи различной категории сложности, начиная от простейших, рассчитанных на знание основ курса и доступных практически всем студентам, и кончая задачами повышенной сложности, требующих от студентов хорошей подготовки и более глубоких знаний изучаемого курса. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой ^*. По каждой теме приведены подробные решения типовых задач с пояснениями и указаниями.

Количество задач в сборнике значительно превышает то, которое может быть использовано в процессе изучения дисциплины. Сделано это с той целью, чтобы в зависимости от особенностей рабочей программы и постановки методики преподавания каждый преподаватель мог найти достаточное количество задач по основным разделам курса. Кроме того, большое количество простых задач, включенных в сборник, позволяет рассчитывать, что он вполне может быть использован при изучении курса студентами других технических специальностей вузов.

Тематика и схемы некоторых типовых задач заимствованы из учебной литературы, список которой приведен в конце пособия. Подавляющее же большинство задач являются оригинальными и составлены специально для настоящего сборника. При этом был использован и обобщен опыт многолетнего преподавания курса сопротивления материалов в Воронежском государственном техническом университете. По каждому из разделов приводятся задачи, посвященные различным видам расчетов на прочность и жесткость.

Задачи повышенной сложности, к которым даны методические рекомендации по их решению, предназначены для студентов, проявляющих повышенный интерес к предмету, и могут быть использованы при их подготовке к олимпиадам по сопротивлению материалов.

Настоящее пособие имеет целью облегчить студентам усвоение одной из наиболее сложных инженерообразующих дисциплин, приучить их к работе над книгой и развить в них навыки самостоятельного изучения материала. Книга призвана оказать помощь студентам в овладении методами решения типовых задач, связанных с расчетами элементов конструкций на прочность и жесткость в условиях статического нагружения.

5. Теория напряженно – деформированного состояния

5.1. Определение напряжений и расчет на прочность при сложном напряженном состоянии

5.1. Участок вала диаметром d = 8 мм, проходящий через камеру высокого давления, нагружен растягивающими силами P = 6 кН и скручивается моментами m = 10 Н·м (рис. 5.1). Оценить прочность вала, если давление в камере q = 100 МПа, а материал вала –легированная сталь с [σ]_p = 250 МПа и

[σ]_с = 350 МПа.

Р ешение

Для обеспечения прочности вала необходимо, чтобы во всех его точках выполнялось условие прочности

Поскольку [σ]_p и [σ]_с существенно различны, то это означает, что материал вала по-разному сопротивляется растяжению и сжатию. Поэтому для определения эквивалентного напряжения σ_экв используем теорию прочности Мора, согласно которой условие прочности будет иметь вид [2]

где ;

и - первое и третье главные напряжения в наиболее нагруженной точке опасного сечения вала.

Наличие растягивающих сил P приводит к появлению в сечения вала нормальной силы N = P постоянной по его длине. Скручивающие моменты m приводят к появлению в сечениях вала крутящего момента M_k = m, который также постоянен по длине вала.

Это позволяет сделать вывод о том, что все сечения рассматриваемого участка вала равноопасны.

Нормальная сила N вызывает появление в поперечных сечениях вала нормальных напряжений , равномерно распределенных по площади сечения. Давление q приводит к появлению нормальных напряжений в сечениях вала параллельных оси вала Z. Эти напряжения также постоянны и равны -q. Крутящий момент M_k приводит к появлению в поперечных сечениях вала касательных напряжений, линейно изменяющихся по радиусу и достигающих максимальной величины в точках, прилежащих к наружному контуру поперечного сечения вала. В силу закона парности аналогичные касательные напряжения возникают в продольных сечениях вала.

Проведенный анализ позволяет сделать вывод, что наиболее напряженным, а следовательно, и опасными, будут точки, прилежащие к наружному контуру сечения вала.

Плоскостями, перпендикулярными и параллельными оси вала Z, вырежем в окрестности опасной точки сечения вала элемент в виде параллелепипеда, одна из граней которого совпадает с поверхностью вала, и покажем напряжения, действующие на его видимых гранях (рис. 5.2). На гранях перпендикулярных оси Z, действуют:

;

На гранях, перпендикулярных оси Х, имеем: и .На гранях, перпендикулярных оси Y, действуют только .

Определим величины главных напряжений в рассматриваемой точке. В этой точке имеет место объемное напряженное состояние. При этом одно из главных напряжений уже известно и равно , т.к. на площадках, перпендикулярных оси Y, не действует касательные напряжения, и, следовательно, эти площади являются главными. Площадки действия остальных двух главных напряжений перпендикулярны к найденным главным площадкам и принадлежат семейству площадок, параллельных оси Y. Следовательно, неизвестные главные напряжения не зависят от и могут быть найдены по формулам для плоского напряженного состояния [2]:

Учитывая, что по правилу обозначения главных напряжений [2], получим:

; ; .

П роверим правильность определения величин и графическим методом. Для этого в системе координат (рис. 5.2, а) отложим отрезки ОА и ОВ, соответствующие в выбранном масштабе напряжениям и . Из точек А и В восстановим перпендикуляры АС и BD, равные по величине касательным напряжениям и . Соединим точки С и D прямой линией и обозначим Е точку пересечения прямой CD с осью . С центром в точке Е строим круг Мора радиусом, равным СЕ (или ED). Отрезки ОK и OL, отсекаемые кругом Мора на оси , дают в масштабе величины и . Измеряя длины этих отрезков и умножая из на масштаб по оси , получим , , что практически совпадает с результатом, полученным аналитически.

Подставляя в условие прочности , , получим:

т.е. эквивалентное напряжение превышает допускаемое.

Оценим перегрузку

что вполне допустимо.

Таким образом, прочность вала обеспечена.

5.2. Проверить прочность вала диаметром d = 100 мм, жестко защемленного в нижнем сечении и нагруженного, как показано на рис. 5.3, если P = 200 кН, M = 6 кН·м. Материал вала – чугун с , .

5.3. Стальной болт (рис. 5.4) с площадью поперечного сечения F = 10,0 см², поставленный без зазора, затянут усилием P = 60 кН и стягивает две пластины, нагруженные силами T = 30 кН.

Проверить прочность болта, считая .

Рис. 5.3 Рис. 5.4

5.4. В окрестности опасной точки конструкции выделен элемент в форме прямоугольного параллелепипеда, по граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 5.5). Проверить прочность конструкции, если ее материал – сталь с пределом текучести , а требуемый коэффициент запаса прочности .

Рис. 5.5 Рис. 5.6

5.5. В окрестности опасной точки конструкции выделен элемент, по всем граням которого действуют только касательные напряжения (рис. 5.6). Определить коэффициент запаса по текучести, если материал конструкции – дуралюмин с .

5.6. На гранях элемента, вырезанного в окрестности опасной течки детали, действуют нормальные , и касательные и напряжения (рис. 5.7). Оценить прочность детали и рассчитать запас прочности, если материал детали – сталь, . Значение напряжений приведены в табл. 5.1. Задачу решить аналитически и графически с помощью круга Мора.

Таблица 5.1

Вариант

, МПа

-20

-40

-10

-20

-40

-20

-40

-80

5.7. Определить коэффициент запаса по текучести для образца АВ, помещенного в камеру высокого давления и нагруженного моментом М (рис. 5.8). Момент сил трения на торце захвата А и в уплотнении С равен 0,3М. Материал образца – легированная сталь с , , d = 20 мм, М = 500 Н·м. Давление в камере

q = 100 МПа.

Рис. 5.7 Рис. 5.8

5.8. Определить коэффициент запаса по текучести для напряженных состояний, изображенных на рис. 5.9,а и 5.9,б (напряжения даны в МПа). При расчете использовать следующие данные из табл. 5.2.

Таблица 5.2

Предел текучести

Значения , МПа, для вариантов

400

500

300

400

500

600

2500

3000

Рис. 5.9,а

Рис. 5.9,б

5.9. Напряженное состояние опасной точки детали показано на рис. 5.10 (напряжения даны в МПа). Определить коэффициент запаса по разрушению , используя следующие данные из табл. 5.3.

Рис. 5.10

Таблица 5.3

Предел прочности

Значения , Мпа, для вариантов

390

650

400

550

500

800

500

700

2200

2750

5.10. Короткий бетонный стержень квадратного сечения сжимается силой 400 кН. Определить размер стороны сечения стержня из условия, чтобы касательные напряжения в любом его сечении не превышали 5 МПа.

5.11. При испытании на сжатие бетонного кубика размером 20×20×20 см перед его разрушением нормальное напряжение по сечению, наклоненному под углом 45° к направлению усилия, оказалось равным –4,5 МПа. При каждой нагрузке разрушился кубик?

5.2. Обобщенный закон Гука. Определение деформаций и напряжений.

5 .12.Абсолютно жёсткая обойма, состоящая из двух половинок, стянута шестью болтами по три с каждой стороны (рис. 5.11). В обойме сжимают пластмассовую призму. Коэффициент Пуассона пластмассы μ = 0,4. Сила, сжимающая призму вдоль оси обоймы, Р = 100 кН. Определить требуемый диаметр болтов, пренебрегая деформацией обоймы и самих болтов. Допускаемое напряжение на растяжение для болтов ,

а = 500 мм, L = 800 мм.

Решение

При сжатии призмы длина ее уменьшается , а размеры поперечного сечения должны увеличиваться, но этому увеличению препятствуют стенки жесткой обоймы. В результате возникают силы взаимодействия между поверхностями призмы и стенками обоймы. Эти силы стремятся раздвинуть половинки обоймы и вызывают растяжение болтов. Таким образом, болты работают на растяжение и требуется провести проектный расчет, который ведется по формуле [1]:

где F – требуемая площадь поперечного сечения болта; - нормальная сила, действующая в сечении одного болта.

Для определения необходимо установить силы взаимодействия между сжимаемой призмой и стенками обоймы.

Сжимаемая призма находится в однородном напряженном состоянии. Напряжения в поперечных сечениях, перпендикулярных оси Z, равны:

Заметим, что в силу симметрии . Для их определения воспользуемся обобщенным законом Гука [2]. Учитывая, что по условию задачи обойма абсолютно жесткая и деформации болтов не принимаются во внимание, заключаем, что деформации призмы в направлениях осей X и Y равны нулю и, применяя обобщенный закон Гука, с учетом того, что , получим

Отсюда следует, что

Давление на верхней и нижней гранях призмы равно найденному напряжению . С учетом этого, получим, что полное усилие, действующее на все болты, равно

Усилие, действующее на один болт,

Поскольку , то требуемая по условию прочности площадь поперечного сечения болта (по внутреннему диаметру резьбы)

Отсюда находим, что минимальный диаметр болта

5.13. Прямоугольный стальной брусок сечением 100×50 мм без зазора вставлен между двумя параллельными неподвижными стенками и нагружен в вертикальном направлении сжимающими силами Р, равномерно распределенными по торцам (рис. 5.12). Вычислить допускаемую величину силы P , если материал бруска – малоуглеродистая сталь с , , .

Рис.5.12

5.14. Два стержня плотно, но без трения вставлены между двумя неподвижными упорами и нагружены на части длины давлением q =10 МПа (рис.5.13). Определить реакции, действующие со стороны упоров на стержни, если стержень I стальной, а стержень 2 медный. Сечение первого стержня 10х10 см, а второго 20х20 см, Е_ст = 2·10⁵МПа, μ_ст = 0,3, Е_м = 1·10⁵ МПа, μ_м = 0,32.

5.15. Медный стержень длиной 100 см квадратного сечения со стороной 20 см испытывает растяжение от продольной силы Р и гидростатическое двустороннее сжатие давлением q. Определить величины P и q, если в результате деформации длина стержня увеличилась на 1 мм, а длины сторон уменьшились на 0,1 мм, Е_м = 1·10⁵ МПа, μ_м = 0,32.

5.16. Определить напряжения в алюминиевом листе, закрепленном по контуру (рис. 5.14), от равномерного понижения температуры на 50 ⁰С. Е = 7·10⁴ МПа, , μ = 0,3. Указание. Принять, что закрепление на контуре не препятствует равномерному изменению толщины листа h.

5 .17. Алюминиевый кубик со стороной а = 50 мм свободно, но без зазоров, вставлен в прорезь массивной (недеформируемой) детали (рис. 5.15) и сжат силой Р, равномерно распределенной по верхней грани кубика. Определить допускаемую величину силы Р, если Е_а = 7·10⁴ МПа, μ_а = 0,3, .

Рис.5.15

5.18. Кубик с ребром а = 20 мм вставлен в гнездо, сделанное в массивной плите, которую можно считать недеформируемой (рис. 5.16). К верхней грани кубика приложена сжимающая сила Р = 50 кН, равномерно распределенная по площади грани. До приложения силы Р ребра гнезда в плане больше ребер кубика на 2δ₁ = 4·10^-3 мм и 2δ₂ = 3·10^-3 мм. Оценить прочность кубика. Материал кубика – сталь с Е = 2·10⁵ МПа, μ = 0,3, .

Рис. 5.16

5.19. Стальной брус квадратного поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами (рис. 5.17), на участке длиной b = 60 мм подвергается действию равномерно распределенного давления q = 150 МПа. Определить перемещение сечения I – I. Принять Е = 2·10⁵ МПа, μ = 0,3.

Рис. 5.17

5.20. При каком соотношении между главными напряжениями возникает одноосное деформированное состояние?

5.21. Элемент в форме куба равномерно сжимается напряжениями . В каком случае изменение объема куба будет больше: а) элемент расположен на гладкой плите (рис. 5.18, а); б) паз (рис. 5.18, б); элемент плотно, но без натяга вставлен в квадратное гнездо (рис. 5.18, в)? Материал плиты во всех случаях считать абсолютно жёстким. Принять для материала кубика.

5.22. Для заданного поля перемещений: u=3xy², v=2xz, w=z³-xy определить тензор деформаций и объемную деформацию .

5.23. В специальное приспособление помещается пластина ABCD и силой Р создается в ней деформация сдвига. Под нагрузкой тензорезисторами замеряется относительная деформация в направлении диагонали BD (l-l).Определить перемещение точки приложения силы (рис.5.19).

Рекомендации

Ответ на поставленный вопрос получают на основе кинематического анализа. При этом, рассматривая кинематический треугольник BCD (см.рис. 5.19), получают соотношение dS=δ·cos45⁰, где dS – укорочение диагонали BD, равной, например, ; δ – перемещение точки приложения силы Р. На основе понятия относительной деформации ( ) определяют искомое перемещение.