5. Частные производные функции нескольких

ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю (если он существует)

Аналогично,

Заметим, что вычисляется при неизменном , а

при неизменном , поэтому частной производной по от функции является производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная.

Частной производной по от функции является производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная.

Физический смысл частных производных следующий:

- скорость изменения функции в точке в направлении оси , а – скорость изменения функции в точке

в направлении оси .

Примеры.

Найти частные производные функций:

1. .

Решение. Вычислим в предположении, что имеет

фиксированное значение: . При вычислении считаем, что имеет фиксированное значение, тогда

2. , .

Решение. При вычислении частной производной функции

по аргументу рассматриваем функцию как функцию только одной переменной , то есть считаем, что имеет фиксированное значение. При фиксированном функция является степенной функцией аргумента . По формуле дифференцирования степенной функции получаем Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение , и рассматриваем функцию как показательную функцию аргумента . Получаем

3. Найти для функции . Найти .

Решение.

;

.

Из последнего равенства находим

.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Найти частные производные следующих функций:

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7. 1.8. 1.9. 1.10.

1.11.

6. Геометрический смысл частных

ПРОИЗВОДНЫХ

Обозначим через плоскую кривую, полученную при пересечении поверхности плоскостью Пусть касательная к кривой в точке образует угол с положительным направлением оси .Тогда Аналогично, обозначим через сечение поверхности плоскостью , - угол, образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси . Тогда Таким образом, частная производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке к кривой, полученной при пересечении поверхности плоскостью Частная производная в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке к кривой, полученной при

пересечении поверхности плоскостью

7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА В СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ.

Частные производные находят широкое применение в физике при исследовании различных скалярных и векторных полей (температурного, гравитационного, электромагнитного, электростатического и т.д.).

1.Скалярное поле.

Пусть - область в трехмерном пространстве (или на плоскости). Говорят, что в области D задано скалярное поле, если каждой точке поставлено в соответствие некоторое число .

Физические примеры скалярных полей: поле температур какого-либо тела; поле зарядов на какой-либо поверхности или в сплошной среде; поле плотности масс какого-либо тела.

Физические скалярные поля не зависят от выбора системы координат: величина является функцией лишь точки и, быть может, времени (нестационарные поля).

Если в пространстве введена прямоугольная система координат , то скалярное поле описывается функцией трех переменных:

2. Векторное поле.

Говорят, что в области задано векторное поле, если каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор .

Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности ; магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции ; поле тяготения, создаваемое системой масс и характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения , действующей в этой точке на единичную массу; поле скоростей потока

жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости .

Физические векторные поля не зависят от выбора системы координат: в каждой точке вектор полностью определяется своим модулем и направлением. Если в пространстве введена прямоугольная система координат , то векторное поле описывается вектор-функцией трех переменных или тремя скалярными функциями - ее координатами:

3. Производная по направлении.

Пусть - скалярное поле, заданное в области D; - единичный фиксированный вектор; -фиксированная точка; - любая точка из , отличная от и такая, что вектор коллинеарен . Пусть, далее, - величина направленного отрезка ( она равна его длине , если векторы и сонаправлены, и равна - , если эти векторы противоположно направлены)

Определение. Число называется производной скалярного поля (функции в точке по направлению и обозначается символом .

Производная по направлению является скоростью изменения функции по направлению в точке .

Если в прямоугольной системе координат

, то

В частности, если вектор сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной. Например,

если , то

Одной из характеристик скалярного поля является градиент.

4. Градиент скалярного поля

Определение. Градиентом скалярного поля называется вектор-функция

Из равенства следует, что , откуда, , так как =1. Здесь - угол между векторами и в точке . Очевидно, что принимает наибольшее значение при , то есть в направлении в данной точке.

Таким образом, вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке, а есть скорость роста функции в этом направлении.

Вектор не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются самой функцией .

Пример. Найти производную функции в точке А(2,1,1) по направлению к точке В(2,4,-3).

Решение. 1. Функция дифференцируема в точке А(2,1,1), поэтому в этой точке существует ее производная по любому направлению , которая определяется формулой .

2. Находим координаты вектора . В данном случае

3.Находим единичный вектор (орт) :

4. Вычисляем частные производные функции в точке А(2,1,1):

Тогда

5. Подставляя полученные значения в формулу , получим

5. Потенциальное поле.

Определение. Векторное поле называется

потенциальным в области , если его можно представить в

этой области как градиент некоторого скалярного поля :

Пример. Рассмотрим поле тяготения точечной массы , помещенной в начале координат. Оно описывается вектор-

функцией ( -гравитационная постоянная,

, ). С такой силой действует это поле на единичную массу, помещенную в точку . Поле тяготения является потенциальным, поскольку его можно представить как градиент скалярной функции . Действительно,

Аналогично откуда

Функцию называют ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы .

Поверхности уровня потенциала называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренном примере эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

Рассмотрим две характеристики векторного поля: дивергенцию и ротор.

6. Дивергенция.

Определение. Дивергенцией векторного поля в точке называется скалярная функция, определяемая равенством:

в декартовой системе координат.

Слово «дивергенция» означает «расходимость» («расхождение»). Дивергенция характеризует плотность

источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если в этой области

Пример. Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

;

Так как

аналогично, то при Физически этот результат означает отсутствие источников поля в любой точке, кроме начала координат. В начале координат (бесконечная плотность заряда).

7. Ротор.

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор-функция, определяемая равенством

Ротор характеризует завихренность поля в данной

точке.

Равенство ротора нулю является необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Примеры.

1. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Векторное поле скоростей точек этого тела можно представить в виде

Найдем ротор поля скоростей

Таким образом, является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения , а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

2. Рассмотрим потенциальное поле Его потенциал Вычислим ротор этого поля:

Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.

Задачи для самостоятельной работы

1. Рассмотрим электрическое поле точечного заряда ,

помещенного в начале координат. Оно описывается в точке вектором напряженности

, где , .

Доказать, что его можно представить виде , то есть, что поле потенциально.

Функция называется потенциалом электрического поля точечного заряда .

2. Найти градиент функции в точке М.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

3. Найти угол между градиентами скалярного поля в точках и

4. Найти производную функции в точке А по направлению к точке В.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

5. Найти дивергенцию векторного поля

в точке

6. Проверить соленоидальность поля

7. Показать, что если - постоянный вектор, то векторное поле - соленоидально.

8. Найти ротор векторного поля в точке

9. Показать, что поле

является потенциальным.

10. Найти ротор магнитного поля

Ответы: 2.{12,-8,-6}. 3. 5. 84. 8.{1,1,1}. 10.

8. Оператор Гамильтона.

Введем векторный оператор «набла» или оператор Гамильтона:

С помощью этого символического (операторного) «вектора» удобно записывать и выполнять операции векторного анализа.

В результате умножения вектора на скалярную функцию получается :

Скалярное произведение вектора на вектор-функцию дает :

Векторное произведение вектора на вектор-функцию

дает

8. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

По определению полного приращения функции имеем

.

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого представим приращение функции в виде

Применяя к первой и второй разностям теорему Лагранжа, получим

где заключено между и ;

где заключено между и .

Подставляя представление разностей через производные в полное приращение функции, получим

.

Так как по предположению частные производные непрерывны, а и заключены между и и и соответственно, то

.

Последние равенства можно записать в виде

где

величины стремятся к нулю при , то есть

когда .Тогда полное приращение

.

Покажем, что сумма является бесконечно малой более высокого порядка, чем . Действительно, так как , а . Сумма линейна относительно и при представляет собой главную часть приращения функции.

Определение. Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы выражения, линейного относительно и величины бесконечно малой более высокого порядка, чем , называется дифференцируемой в данной точке. Главная часть полного приращения функции линейная относительно называется полным дифференциалом функции и обозначается или .

Если функция имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

.

Таким образом, полное приращение функции представимо в виде .

Приращения будем называть дифференциалами независимых переменных и обозначать , тогда

.

Аналогично, для функции трех переменных полный дифференциал равен

Пример. Найти полный дифференциал функции в точках

Решение. Вычислим частные производные . Запишем вид дифференциала

Тогда

Задачи для самостоятельной работы

Найти полные дифференциалы функций:

1. . 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.Найти полный дифференциал функций:

в точках .

Ответ: 1.

10. .

9. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА К

ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Из формулы следует, что , тогда

, следовательно,

.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Пусть , , Найдем

.

Вычислим

Задача для самостоятельной работы

Вычислить приближенно

1. . 2. 3.

Ответ: 1. 8,29. 2. 0,97. 3. 4,998.