Передача тепла через плоскую стенку без внутренних источников тепла
Для
данного случая Д.У.Т. будет иметь вид
Или в развернутом виде:
Решение задачи при Г.У. 1-го рода. При λ=const.
Выберем систему координат, как это показано на рисунке 16.
При
x = 0
При
x =
Так как пластина бесконечна в направлении y и z, то при поддержании в изотермических состояниях левой и правой наружных поверхностей стенки, изотермические поверхности будут параллельны друг другу и ортогональны оси ОХ (следствие того, что изотермы не пересекаются).
Рис. 16. Теплопроводность в плоской стенке при Г.У. первого рода
Следовательно,
;
Д.У.Т. примет вид
Найдем закон распределения температур.
Для этого решим дифференциальное уравнение (1)
Проинтегрируем дважды
Используя
Г.У., найдем 
и
(из 1-го условия)
Закон распределения температур будет
. (2)
Следовательно, зависимость линейная.
Эту формулу удобно привести к безразмерному виду.
Обозначим
– наибольшая температура
– наименьшая температура
- избыточная температура в точке 0≤x≤
- избыточная температура в точке x=0
(кстати, ось ОХ направили в сторону уменьшения температур)
Тогда решение задачи примет вид:
(здесь
прибавили слева и справа «
»)
Или
Введя
обозначение 
- безразмерная координата,
– безразмерная температура, получаем
Данное решение (рис. 17) – универсально и пригодно для любых конкретных задач.
Вычисление плотности теплового потока через пластину можно произвести, используя закон Фурье
Рис. 17. Распределение температуры в плоской стенке в безразмерных координатах
В
данном случае 
,
но 
,
следовательно, 
, т.е. тепловой поток прямо пропорционален
, обратно пропорционален 
и прямо пропорционален температурному
напору. Отношение 
называется тепловой
проводимостью
плоской стенки, а величина 
[
]
называется термическим
сопротивлением
стенки.
Общее количество тепла через всю поверхность F в единицу времени будет
.
Случай,
когда 
Закон Фурье в этом случае будет:
(условия
того, что t=t(x),
– остались прежние)
Т.к. изотермы вертикальны, тепловой поток направлен вдоль оси Х; а процесс стационарный, то, следовательно, нагрев отсутствует и q = const. Используя этот факт,
продифференцируем Д.У.Т. методом разделения переменных.
Если
интегрировать в пределах 0÷
и 
,
то получим
.
Или
.
И
далее
,
где
Примечание.
т.е.
.
Используя понятие среднего коэффициента
теплопроводности, можно решать задачу
так же ( по тем же формулам), как и ранее,
когда λ = const.
Многослойная плоская стенка при г.У. Первого рода
Рис. 18. Многослойная плоская стенка в условиях Г.У. первого рода
Стенка
состоит из n-слоев
толщины δ1;
δ2
…… δn
, коэффициенты теплопроводности
постоянны λ1;
λ2
……
λn
=
const.
Заданы 
и 
.
Требуется
найти 
, и тепловые потоки.
В соответствии с законом сохранения энергии
q1
= q2
= … = qn
= q,
т.е. 
.
Следовательно, для каждого слоя
Просуммировав эту систему уравнений, получаем решение
или
Величина
называется суммарным термическим
сопротивлением.
Аналогично можно получить решение для любой поверхности:
или
Подставив сюда значение q, получим окончательно
