ГОУВПО «Воронежский государственный технический

университет»

Кафедра теоретической и прикладной механики

Кафедра автоматизированного оборудования

машиностроительного производства

Применение методов классической механики для расчета управляющих сил и моментов приводов манипулятора

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для выполнения курсовой работы

по теоретической механике с элементами исследования

для студентов специальностей

151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы»,

220402 «Роботы и робототехнические системы»

очной формы обучения

Воронеж 2010

Составители: канд. физ.- мат. наук Г.Н. Пачевская,

канд. техн. наук В.М. Пачевский

УДК 531:007.52(07)

Применение методов классической механики для расчета управляющих сил и моментов приводов манипулятора. Методические указания для выполнения курсовой работы по теоретической механике с элементами исследования для студентов специальностей 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», 220402 «Роботы и робототехнические системы» очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Г.Н. Пачевская,

В.М. Пачевский. Воронеж, 2010. 29 с.

Методические указания путем выполнения поэтапно усложняющегося задания помогут студенту сформировать умения и навыки динамического анализа манипулятора, физико-математического анализа искомых функциональных зависимостей.

Выполнение подобных заданий соответствует требованиям фундаментализации образования и усиления физико-математической подготовки будущих инженеров специальностей 151002 и 220402.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержатся в файле Теормех КР.doc.

Табл. 2. Ил. 5. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент д-р техн. наук, проф. А.Н. Осинцев

Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. техн. наук, проф. В.М. Пачевский

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

© ГОУВПО «Воронежский

государственный технический

университет», 2010

Введение

В задании Д–20 /1/ и в его усложненных вариантах, приведенных в настоящих указаниях, сформулированы задачи, подобные тем, которые обычно решаются при проектировании промышленных роботов (манипуляторов) и при управлении ими.

Целью примеров 1 и 2 является получение зависимостей усилий в приводах от геометрических параметров и кинематических характеристик звеньев манипулятора с двумя степенями подвижности, работающего в горизонтальной плоскости.

В примере 1 следует сравнить два метода расчета, приводящих к одному и тому же результату, более глубоко понять основное управление динамики механической системы в форме принципа Даламбера и в форме уравнений Лагранжа второго рода.

В примере 2 усложнение сводится к учету действия сил тяжести звеньев манипулятора, работающего в вертикальной плоскости, при вычислении обобщенных потенциальных сил механической системы. При этом рассматривается влияние сил тяжести на усиление в приводах и реакции внешних и внутренних связей в равновесии, а также влияние сил тяжести на усилия в приводах в процессе программного движения манипулятора. В примере 3 с помощью уравнений Лагранжа второго рода производится динамический расчет манипулятора с учетом упругости приводного механизма. Вводятся элементы исследования влияния упругих элементов привода на работу манипулятора. Используется метод последовательных приближений при решении дифференциальных уравнений движения.

В задании для самостоятельного выполнения студент, используя предложенный алгоритм, получит навык его применения для конкретного расчета и физического анализа полученных зависимостей, ознакомится с дополнительной литературой, имеющей отношение к будущей специальности.

Пример 1

Два метода составления дифференциальных уравнений движения манипулятора

Манипулятор, изображенный на рис. 1 /1/, состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами А и В. Со стороны привода А к звену 1 прикладывается управляющее усилие . Привод В воздействует на звено 2 моментом . Перемещение звена 2 манипулятора ограничено препятствиями K и L, поэтому изменение угла поворота этого звена возможно лишь в интервале , где τ – время движения звена, за которое захват D перемещается вдоль прямой ON.

В задании принять следующие обозначения:

m₁ – масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта; m₂ – масса второго звена; I₁ – момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объекта относительно их общего центра масс C₁; I₂ – момент инерции звена 2 относительно его центра масс (для простоты пусть это будет точка C₂). Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.

Требуется составить дифференциальные уравнения движения манипулятора а) с помощью принципа Даламбера; б) с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

П р и н ц и п Д а л а м б е р а применим ко всей механической системе в целом (рис. 1а) и к звену 1 (рис. 1, б).

В любой момент времени векторная сумма главных векторов всех внешних сил (как активных, так и реакций связей) и всех сил инерций, приложенных к точкам механической системы, равна нулю:

. (1)

В любой момент времени векторная сумма главных моментов всех активных сил, всех реакций связей (опять-таки внешних) и всех сил инерции точек или тел механической системы относительно неподвижного центра В равна нулю:

(2)

Рис. 1. Составляющие векторов абсолютных ускорений точек С₁ и С₂ изображены для и . Умноженные на массы соответствующих звеньев, эти векторы удобно использовать в соотношениях (1, а) и (2, а) в качестве сил инерции

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е: центр моментов выбран в точке В потому, что уравнение (2) не будет содержать в этом случае наперед неизвестных реакций внешней связи – цилиндрического шарнира В, то есть .

Силы инерции звеньев 1 и 2 манипулятора сводятся к главному вектору , приложенному в центре масс соответствующего звена, и к главному моменту .

Для звена 2, совершающего вращательное движение:

(3)

(4)

Здесь , - нормальное и тангенциальное ускорения точки С₂; - угловое ускорение звена 2 (рис. 1, а).

Для звена 1, совершающего сложное движение:

(5)

(6)

- обозначение тех проекций составляющих вектора ^*), которые относительно центра В создают моменты с плечом ВС_I. Иначе: силы ; ; ; следует при составлении уравнения (2) проектировать на линию, перпендикулярную ВС_I. При этом будут использованы следующие выражения:

(7)

^{* )} Черта над буквой означает векторную величину, волна – алгебраическое значение проекции соответствующего вектора.

Составляющие вектора абсолютного ускорения точки С₁ соответственно равны по модулю: ; ; ; .

Здесь использованы индексы «е», «r», «к» для переносного, относительного и кориолисова ускорений точки соответственно.

Теперь на основе уравнения (2) для всей механической системы (рис. 1а), совершающей только поворот вокруг точки В в горизонтальной плоскости, составим алгебраическую сумму моментов

,

или

Учитывая (3) – (7), окончательно получим

(8)

Расчленим механическую систему в точке А, заменив действие отброшенного звена 2 на звено 1 реакцией связи. Рассмотрим на основе принципа Даламбера в форме сил (1) только звено 1 манипулятора, совершающее поступательное перемещение вдоль оси y₁ (рис. 1б).

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е: уравнение (1) составляем в проекции на ось y₁, так как в этом случае выражение для управляющей силы не будет содержать наперед неизвестной реакции связи , которая в случае расчленения должна рассматриваться как внешняя сила, наряду с .

Уравнение (1) в проекции на ось y₁ принимает вид

,

или (1а)

.

3

Учитывая (3) – (7), окончательно получим

(9)

Уравнения (8) и (9) являются дифференциальными уравнениями движения манипулятора с двумя степенями подвижности. При известных законах движения φ=φ(t), s=s(t) они позволяют вычислять зависимость от времени управляющих сил F_А(t) и моментов М_В(t), что предлагается сделать в следующих примерах.

У р а в н е н и я Л а г р а н ж а второго рода также позволяют получить уравнения (8) и (9). Для механической системы, изображенной на рис. 1, уравнения Лагранжа второго рода можно записать в виде

(10)

(11)

Здесь φ – обобщенная координата для абсолютного движения звена 2, s – обобщенная координата для относительного движения звена 1.

Рис. 2. Равновесие манипулятора под действием

плоской системы произвольно расположенных сил

Определим полную кинетическую энергию механической системы в абсолютном движении:

Т = Т₁ + Т₂;

Определяем абсолютную скорость центра масс С₁ звена 1 как векторную сумму:

Определяем проекции абсолютной скорости точки С₁ на удобно выбранные оси координат x₁, y₁ (рис. 2).

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е: оси x₁, y₁ следует выбрать так, чтобы для вычисления тригонометрических функций можно было легко использовать заданные геометрические размеры манипулятора. Например:

(12)

С учетом (12) получим

Полная кинетическая энергия механической системы как функция ее обобщенных координат φ и s и обобщенных скоростей и теперь примет вид

Вычисляем производные от кинетической энергии, входящие в левые части уравнений (10), (11):

;

Вычисляем входящие в правые части (10), (11) обобщенные силы Q_φ и Q_S, соответствующие обобщенным координатам φ и S:

при ;

при ;

Здесь - виртуальная работа активных сил и моментов на указанных виртуальных перемещениях и .

Учитывая все проделанные вычисления, получаем окончательно из (10) и (11) соотношения для M_B и F_A , совпадающие с (8) и (9).

Метод кинетостатики, основанный на принципе Даламбера, а также использование уравнений Лагранжа позволили разработать эффективные алгоритмы автоматизированного анализа манипуляторов со многими степенями подвижности на ЭВМ /2/.

При рассмотрении более сложных примеров кинетостатического анализа манипуляторов на стр. 153-168 /2/ следует обратить внимание на вычисление моментов сил инерции звеньев и их проекций на п о д в и ж н ы е оси, связанные с телом, по формулам (5.4) – (5.7) стр. 148. В рассмотренном примере 1 центр В и связанная с ним ось вращения звена 2 были н е п о д в и ж н ы.

Пример 2

Учет сил тяжести звеньев манипулятора

Пусть теперь механизм, изображенный на рис. 1, расположен в вертикальной плоскости. Части звена 2 массой m, изогнутые под прямым углом, имеют длины 2l и 1,5l; их массы соответственно равны и . M₁ и m₃ – массы звена 1 и груза в захвате соответственно. C₁, C₂, C₄, D – точки приложения соответствующих сил тяжести.

Требуется:

а) методами статики при трех значениях угла φ в равновесном положении манипулятора вычислить реакции внешней В и внутренней А связей, управляющие силу F_A и момент M_B;

б) с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить F_A и M_B в случае заданного программного движения звена 1, удовлетворяющего условиям «мягкого» касания препятствий K и L, ограничивающих движение манипулятора в интервале времени [0, τ]. τ = 0,5 с.

Статистический анализ манипулятора проведем, рассмотрев равновесие всего механизма в целом (рис. 2, а) и одного только звена 1 (рис. 2,б) под действием плоской системы произвольно расположенных сил.

На рис. 2,а к механизму приложены активные силы тяжести и вращающий момент со стороны привода В, а также неизвестные реакции связи и . Составляем три уравнения равновесия, удобно выбрав направления осей х, y и центр моментов В.

(13)

или

На рис. 2,б к звену 1 манипулятора приложены активные силы , а также реакция связи А, содержащая неизвестные силу и момент . Составляем три уравнения равновесия, сохранив направление осей х, у и выбрав за центр моментов точку А.

(14)

Из полученной системы шести уравнений (13), (14) определяем шесть неизвестных величин: Х,Y, M_В, N_А, M_А, F_А.

Учитывая уравнение наложенной на механизм связи (расстояние точки В до прямой ОN равно 2l), получим соотношение между двумя координатами – абсолютной φ и относительной S:

или

(15)

Положим: φ₁ = 0; φ₂ = 15˚; φ₃ = 30˚ и для m₁ = 4 кг, m₂ = 4,6 кг, m₃ = 40 кг, m₄ = 3,4 кг, l = 0,3 м, определим неизвестные величины.

Результаты расчета сведем в таблицу.

Таблица 1

φ, (град.)	Х, (н)	Y, (н)	МВ, (н∙м)	NА, (н)	FА, (н)	МА, (н∙м)
0	0	520	298	0	440	0
15	0	520	372	114	425	65
30	0	520	485	219	379	126

Д и н а м и ч е с к и й а н а л и з позволяет выяснить влияние на управляющие момент и силу условий программного движения манипулятора, которые заданы в виде

,

или

(16)

Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы звено 2 сошло со связи К при t = 0 и «мягко» коснулась препятствия L при t = τ, то есть так, чтобы были удовлетворены условия

= 0; = 0.

t=0; t= τ t=0; t= τ (17)

Составим систему двух уравнений Лагранжа второго рода для двух обобщенных координат φ и s в виде

(18)

В правых частях этих уравнений стоят обобщенные вынуждающие и обобщенные потенциальные силы.

Для вычисления кинетической энергии механической системы определим скорости точек А, С₁ и D (рис. 3) в сложном движении звена 1:

;

; ; .

Определим проекции скорости точки С₁ на оси х₁, у₁:

Определим квадрат модуля скорости точки С₁:

.

Определим скорость захвата D, направленную вдоль ON по условию примеров 1 и 2, методом проекции на оси х₁, у₁:

Рис. 3. Скорости точек А, С₁, D в сложном движении звена 1 манипулятора. Изменение положения центров тяжести С₁, С₂, С₄ над уровнем (П = 0)

Полная кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий звеньев 1, 2 и груза в захвате соответственно: Т = Т₁ + Т₂ + Т₃.

(19)

В дальнейшем прием I₂ = 1,8 кг∙м² – приведенный момент инерции звена 2 относительно центра В.

Полная потенциальная энергия механической системы П складывается из потенциальных энергий сил тяжести звена 1- P₁ = m₁g, звена 2 – (P₂ + P₄) = (m₂ + m₄)g и груза в захвате – P₃ = m₃g. Для удобства вычислений на рис. 3,а отдельно изображены силы тяжести каждой части изогнутого звена 2: О₁С₄ = 0,75l; , где m = m₂ + m₄ = 8 кг – масса всего звена 2.

Так как потенциальная энергия, по определению, вычисляется с точностью до постоянной величины, примем положение манипулятора при φ = 0 и S = 0 за н у л е в о й у р о в е н ь, на котором П = 0.

тогда

(20)

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е. Если при вычислении mgh изменение положения точки приложения силы над нулевым уровнем не очевидно, то следует сначала «увидеть» каждое из слагаемых, стоящих в скобках выражения (20). Например, надо вычислить изменение положения по вертикали точек О₁, С₄, А, С₁, D по характерным размерам 2l, s и углу φ (рис. 3,б), а затем подобрать константу из условия равенства нулю потенциальной энергии при φ = 0 и s = 0.

Определяем производные, входящие в левые части уравнений (18):

Вычисляем обобщенные потенциальные силы как частные производные от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, взятые с противоположным знаком.

.

Аналогично вычислениям в примере 1 получим обобщенные вынуждающие силы

.

Подставим все полученные функции в уравнения (18) и вычислим M_B и F_A:

(21)

(22)

Для получения зависимостей M_B(t) и F_A(t) учтем уравнение связи (15) и вычислим необходимые производные и :

;

, (23)

,

где

.

Определим время начала торможения t_Т звена 2 из условия равенства нулю углового ускорения при t = t_Т.

; t_Т = 0,25 с.

Результаты вычисления зависимостей от времени управляющего момента и управляющей силы согласно (21)–(23) приведены в табл. 2 и изображены в виде графиков на рис. 4.

Таблица 2

t, с	0	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45	0,5
φ	0	0,003	0,0254	0,079	0,16	0,26	0,363	0,44	0,498	0,52	0,524
	0	0,2	0,72	1,36	1,89	2,1	1,89	1,36	0,72	0,2	0
	0	7,72	12,5	12,5	7,74	0	-7,7	-12,5	-12,5	7,75	0
S	0	0,0018	0,012	0,045	0,1	0,18	0,25	0,34	0,4	0,43	0,44
	0	0,12	0,44	0,88	1,31	1,59	1,76	1,41	0,83	0,24	0
	0	4,69	8,2	10,4	9,63	6,52	0,55	-8,77	-13	-9	0
FA, Н	432	433	441	461	472	432	316	162	84,7	175	373
MB,Н∙м	298	433	537	588	582	507	357	180	102	226	474
Mψ,Н∙м	298	427	530	579	569	487	346	201	147	254	474
ψ	0	0,409	0,491	1,741	1,755	1,17	0,368	-0,098	0,118	0,923	1,833

Рис. 4. Зависимости от времени управляющего момента: М_В - кривая 1, согласно (21); М_ψ – кривая 2, согласно (36) и управляющей силы F_А, согласно (22)

Пример 3

Учет упругих элементов привода

Добавим к манипулятору, изображенному на рис. 2, приводной механизм, состоящий из электродвигателя ЭД, двух колес радиусом r = 0,025 м и R = 0,15 м и упруго деформирующегося при кручении вала (рис. 5). Заданы приведенные моменты инерции электродвигателя с колесом 4 относительно их общей оси вращения I = 0,06 кг∙м² и колеса 5 с валом 6 относительно их общей вращения- I₅ = 0,1 кг∙м². Известна крутильная жесткость вала 6-с=700 Н∙м. К валу приложен создаваемый токами вынуждающий момент внешних сил M_ψ. Звено 2 манипулятора и вал 6 имеют общую ось вращения и жестко связаны.

Введем третью обобщенную (независимую) координату рассматриваемой механической системы – угол поворота ψ колеса 5.

Рис. 5. Схема манипулятора с приводом

Тогда ∆α = (ψ - φ) – угол, характеризующий отставание поворота вала 6 вследствие упругой деформации закручивания, в результате чего механическая система приобретает дополнительную потенциальную энергию . К кинетической энергии механической системы, рассмотренной в примере 2, добавятся слагаемые: Т₄ – кинетическая энергия электродвигателя с колесом 4 и Т₅ – кинетическая энергия колеса 5 с валом 6.

; .

Вычислим с учетом (19) и (20) полную кинетическую (Т = Т₁+Т₂+Т₃+Т₄+Т₅) и полную потенциальную

(П = П₁+П₂+П₃+П₄) энергии.

Составим три уравнения Лагранжа второго рода для каждой обобщенной координаты φ, s, ψ.

(24)

(25)

(26)

Уравнение (25) совпадает с уравнением (22). Уравнения (24) и (26) после выполнения дифференцирования в левых частях и вычисления обобщенных сил с учетом (21) примут вид:

(24’)

. (26')

Далее исследуем, какой момент М_ψ следует приложить к колесу 5, чтобы обеспечить заданное программное движение (16) звена 2 манипулятора . Как при этом будет изменяться со временем координата ψ?

Применим метод последовательных приближений. Если жесткость вала 6 бесконечно велика (с = ∞), то ∆α=0, ψ=φ, и, объединяя (24') и (26'), получим

. (27)

В последнем выражении, как и в (24’), М_В соответствует рассчитанному в примере 2 соотношению (21), а второе слагаемое учитывает инерционные свойства приводного механизма. Это – первое допущение.

Второе допущение: используя графики М_В(t) на рис. 4,а аппроксимируем эту зависимость синусоидой:

(28)

Дифференциальное уравнение (26) примет вид

или

(29)

где

; .

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (29) ищем в виде правой части

. (30)

Подставляя (30) и (29), методом неопределенных коэффициентов получим

. (31)

Общее решение однородного дифференциального уравнения ищем в виде

.

Искомый закон изменения со временем координаты ψ будет суперпозицией собственных колебаний ψ^**(t) с частотой и вынужденных колебаний ψ^*(t), происходящих с частотой 4πс^-1 вынужденного момента М_ψ:

; (32)

(33)

Из уравнений (32) и (33) с учетом принятых начальных условий для функции ψ(t) – при t₀ = 0, ψ₀ = 0, - определяем коэффициенты С₃ и С₄

. (34)

Проверяемый предельный случай решения (32). При С = ∞ деформация упругого закручивания вала 6 отсутствует, и должны получить из (32) ψ = φ. Из (31) и (34) будем иметь А = 0, С₂ = 0, С₁ = 1/12, В = π/3, С₃ = 0, С₄ = 0, то есть , вынужденные колебания вала отсутствуют.

При С = 700 Н∙м и I_пр = 2,26 кг∙м², согласно численным данным, из (32) получим

(35)

или

-

закон изменения обобщенной координаты ψ на промежутке времени 0 ≤ t ≤ τ программного движения манипулятора.

В последней строке табл. 2 приведены значения ψ(t) на интервале времени движения манипулятора [0, τ]. Видно, что наличие привода с упругим элементом 6 приводит к значительному отклонению от программного движения манипулятора φ(t), согласно (16).

Однако решение (35) является приближенным. Использованное при его выводе соотношение (27) для вынужденного момента М_ψ не содержит добавки, погашающей возможные колебания вала 6. Эта добавка может быть вычислена точно, если несколько усложнить математический расчет следующим образом.

Перепишем (27) при φ = ψ:

(36)

Из (24’) получим

(37)

Из (16) точно получим φ и :

. (38)

М_В вычислим точно из (21). .

На рис. 4 результаты вычисления М_ψ(t) приведены в виде графика (кривая 2). Если с помощью электронного управления токами в обмотке электродвигателя на вал 6 передать такой вращающий момент М_ψ(t), движение манипулятора будет точно соответствовать заданному программному (16), то есть ψ = φ, так как упругие колебания вала 6 будут погашены.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Письменно дайте ответы на следующие вопросы:

1. Чем объясняется совпадение значений F_A и M_B для статического и динамического расчетов в примере 2 при t₀ = 0 и t = τ и несовпадение – для t = t_{торможения} (см. табл. 1 и 2)?

2. Какими способами можно вычислить обобщенную потенциальную силу, действующую на манипулятор со стороны груза 3, если он движется по горизонтали вместе с захватом?

3. На основе анализа зависимости (35) установите, какое нежелательное явление может возникнуть в работе манипулятора; при каких условиях (см. (29))? Какие способы устранения этого явления Вы можете предложить?

4. В примере 3 введите усложнение: учтите силу сопротивления движению звена 2 манипулятора F_сопр = -в . Получите в общем виде законы М_В(t) и М_ψ(t).

5. Вычислите максимальную мощность электродвигателя с приводным устройством в примере 3, необходимую для обеспечения программного движения манипулятора.

6. Прочитайте, какие методы классической механики используются для силового расчета манипулятора:

/3/, §1.5, с. 25-34; /2/, §5.1 – 5.3, с. 147-188.

7. Какая литература по специальности уже имеется в Вашей личной библиотеке? С какой статьей в периодической печати по специальности Вы ознакомились в текущее время?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / А.А. Яблонский. М.: Интеграл-пресс, 2009. 283 с.

2. Механика промышленных роботов. М.: Высш. шк., 1988. Т. 1.

3. Бурдаков С.Ф. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов / С.Ф. Бурдаков, В.А. Дьяченко, А.Н. Тимофеев. М.: Высш. шк., 1986.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	1
Пример 1 Два метода составления дифференциальных уравнений движения манипулятора	2
Пример 2 Учет сил тяжести звеньев манипулятора	11
Пример 3 Учет упругих элементов привода	21
Задание для самостоятельного выполнения	27
Библиографический список	28

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ДЛЯ РАСЧЕТА УПРАВЛЯЮЩИХ СИЛ И МОМЕНТОВ

ПРИВОДОВ МАНИПУЛЯТОРА