- •Часть 1
- •(Кафедра «высшей математики и физико-математического моделирования») методические указания
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Линейные пространства. Разложение векторов по базису
- •2. Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой
- •Числовая последовательность и ее предел
- •13. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Первый замечательный предел
- •16. Вычисление предела показательно-степенной функции
- •17. Производная функции и ее вычисление
- •18. Производная сложной функции.
- •19. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •20. Логарифмическая производная
- •21. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •22. Производные высших порядков. Формула Лейбница
- •23. Возрастание и убывание функции. Локальный экстремум функции
- •Достаточные условия существования и отсутствия экстремума непрерывной функции :
- •24. Асимптоты
- •25. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •26. Общая схема полного исследованфункции и построение графика функции
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть 1
- •Федотенко Галина Федоровна в авторской редакции
7. Векторы и действия над ними
Вектор – это направленный отрезок, т.е. имеющий длину и направление. Длина вектора называется модулем и обозначается или . Векторы , - коллинеарны ( // ) , если параллельны одной и той же прямой или лежат на одной прямой. Векторы , , – компланарны, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в одной и той же плоскости.
Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными вектором с положительным направлением координатных осей OX , OY , OZ соответственно.
Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам: , , , где , если его координаты .
Заметим, что направляющие косинусы являются координатами любого единичного вектора, т.е.
, если
Основные действия над векторами.
Пусть даны и .
Тогда:
1. =
2. , где -действительное число.
3. Скалярное произведение двух векторов и есть число, по определению равное ,где -угол между двумя векторами и вычисляется по формуле: .
4. Векторное произведение двух векторов и - есть вектор , удовлетворяющий трем условиям:
вектор направлен так, что векторы , и образуют правую тройку;
2) вектор ортогонален вектора и , т.е. , .
3) модуль , де - угол между двумя векторами и . Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. .
Тогда .
5. Смешанное произведение трех векторов , и есть число равное по определению: .
Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллепипеда, построенного на этих векторах, т.е. . Заметим, что объем тетраэдра, построенного на трех векторах , и равен , где Sосн. – площадь основания тетраэдра, h –высота тетраэдра, т.к. основание тетраэдра есть треугольник, построенный на векторах и , то Sосн=(1/2) Sпараллелограмма, следовательно,
.
Если заданы векторы в координатах , и , то
смешанное произведение.
1) Условие перпендикулярности векторов ( ):
или .
2) Условие коллинеарности векторов ( // ):
или = = .
3)Условие компланарности векторов , и : или
Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1 А2 А3(рис.2).
Дано: А1(-1;2;-3), А2(4;-1;0), А3(2;1;-2); А4(3;4;5).
Требуется найти объем тетраэдра.
Решение. а) Объем тетраэдра равен 1/6 части объема
параллелепипеда, построенного на векторах
, , . Объем соответствующего параллелепипеда вычисляется через смешанное произведение векторов, совпадающих с ребрами тетраэдра, сходящимися в вершине А1(рис.1):
Рис. 1
Найдем координаты векторов и их смешанное произведение: , ,
=
Откуда (куб. ед.)
б) Искомую высоту h найдем из формулы: h , где Sоснования равна площади треугольника А1 А2 А3.
Площадь треугольника А1 А2 А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах ,
Поэтому находим векторное произведение
=
Следовательно, Sоснования= = =
= =2 (кв.ед.)
Таким образом h=3Vтетраэдра/Sоснования=3.5/(2 )=15 /4
Ответ:Vтетраэдра=5 (куб. ед.), h=15 /4(ед. длины)