- •Методические указания
- •Лабораторная работа № 1 Оценивание плотности распределения наработки до отказа, вероятности безотказной работы и интенсивности отказов по эмпирическим данным
- •Значение 5- и 95 % уровней для построения доверительных границ
- •Лабораторная работа № 2 Определительные испытания на надежность
- •Лабораторная работа № 2 Моделирование накопления заряда в мноп-структуре
- •2.2. Анализ стационарного процесса
- •2.4. Анализ переходного процесса
- •3. Экспериментальная часть
- •Лабораторная работа № 4 Исследование влияния процесса туннелирования носителей заряда в диэлектрик мдп-структур на надежность мдп-транзисторов
- •1. Механизмы инжекции носителей заряда в сильныхэлектрических полях.
- •1.1. Термоэлектронная инжекция.
- •1.2. Туннельная инжекция.
- •1.1. Экспериментальная часть.
- •Часть 1.
- •Часть 2.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра технологических и автоматизированных
систем электронного машиностроения
Методические указания
к лабораторным работам № 1—4
по дисциплине «Основы теории надежности»
для студентов специальности 210107
«Электронное машиностроение»
очной формы обучения
Воронеж 2012
Составители: д-р техн. наук С.А. Акулинин,
ст. преп. С.А. Минаков
УДК 621.382
Методические указания к лабораторным работам № 1—4 по дисциплине «Основы теории надежности» для студентов специальности 210107 «Электронное машиностроение» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. С.А. Акулинин, С.А. Минаков. Воронеж, 2012. 28 с.
Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения о вероятности безотказной работы и интенсивности отказов, определительных испытаниях на надежность, моделировании накопления заряда в МНОП-структуре, исследовании влияния процесса туннелирования носителей заряда в диэлектрик МДП-структур на надежность МДП-транзисторов.
Предназначены для оказания помощи студентам при выполнении лабораторных работ и закреплении теоретических сведений по дисциплине «Основы теории надежности».
Методические указания выполнены в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и находятся в файле Надежность2.doc.
Ил. 17. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. К.А. Разинкин
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р техн. наук, проф. О.Н. Чопоров
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Ó ГОУВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2012
Лабораторная работа № 1 Оценивание плотности распределения наработки до отказа, вероятности безотказной работы и интенсивности отказов по эмпирическим данным
Цель работы – ознакомление с различными формами распределения Вейбулла, графическими методами оценки параметров распределения, методами статистического оценивания и критериями согласия.
1. Теоретические основы
При испытаниях на надежность очень широко используется распределение Вейбулла. Функция трехпараметрического распределения Вейбулла случайной величины , определяющая вероятность отказа системы к моменту времени t, имеет вид :
t , (1)
где >0, >0, 0. Параметр называется параметром формы; называется параметром масштаба или ресурсной характеристикой, а - параметром сдвига или минимальной нарабаткой. В случае двухпараметрического распределения Вейбулла минимальная наработка равна нулю, а функция распределения имеет вид
, t0 , (2)
В дальнейшем будем использовать это распределение, т.к. путем простого линейного преобразования трехпараметрическое распределение всегда можно превратить в двухпараметрическое.
Вероятность безотказной работы или вероятность того, что невосстанавливаемая система будет выполнять требуемую функцию в заданный момент времени t, можно записать в виде
, t 0. (3)
Дифференцируя выражение (2), получаем плотность распределения Вейбулла
f (t;,) = (/)(t/)-1exp[-(t/)] , t 0. (4)
Интенсивность отказов
( t )= f(t)/R(t)= (/)(t/)-1 , t0 (5)
убывает во времени при <1 , возрастает при >1 и равна величине 1/ при =1 (экспоненциальное распределение). Таким образом, экспоненциальное распределение является частным случаем вейбуловского распределения.
k- момент вейбуловского распределения имеет вид
‘ k =E( tk ) = 0tk(/)(t/)-1exp[ -(t/)] dt. (6)
Введём обозначение u =(t/), тогда du = (/)(t/)-1dt и
‘ k =k 0u k/exp[-u] du=kГ(1+k/), (7)
где Г- гамма – функция.
Следовательно, математическое ожидание распределения Вейбулла имеет вид
=Г(1+1/) , (8)
а дисперсия –
2=2[Г(1+2/)-Г2(1+1/)]. (9)
При увеличении математическое ожидание распределения Вейбулла стремится к ресурсной характеристике , а дисперсия стремится к нулю.
При <1 распределение Вейбулла принимает форму гиперэкспоненциального распределения. При = 3,5 это распределение приблизительно симметрично относительно центра распределения , а при > 3,5 распределение смещается вдоль оси t относительно и приобретает отрицательную асимметрию.
Коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения Вейбулла приближаются к нулевым значениям (нормальное распределение), при >3,5…4,0. Таким образом , в ряде случаев распределение Вейбулла можно аппроксимировать нормальным распределением.
Параметр масштаба позволяет расположить распределение вдоль оси t. Это можно видеть, рассматривая функцию распределения.
Подставляя t=0 в формулу ( 2) , получаем
F(t=0) = 1-e-1= 0.632. (10)
Таким образом, для любого распределения Вейбулла вероятность появления отказа до момента равна 0,632. Поэтому и называется ресурсной характеристикой.
Графическое оценивание. Графическое оценивание параметров и графическое прогнозирование находят широкое применение на практике. По существу, для применения метода графического оценивания необходимо иметь удобное преобразование функции распределения, приводящее ее к линейному виду.
Рассмотрим функцию распределения Вейбулла (2). После перестановки членов и двойного логарифмирования получаем
ln{-ln[1-F(t) ] } = ln t - ln . (11)
Приводя уравнение к стандартной форме для зависимой и независимой переменных, получаем
ln t = -1 ln{-ln[1-F(t) ] }+ ln . (12)
Это уравнение вида Y= (1/)X+A и его можно представить в виде прямой на вероятностной бумаге в координатах X и Y .
Вероятностную бумагу для распределения Вейбулла можно построить , обозначив оси системы координат Y= ln t и Х= ln{-ln[1-F(t)]}. Оси обычно меняют местами , и тогда является угловым коэффициентом прямой. Такая вероятностная бумага для распределения Вейбулла показана на рисунке 1.
Значения наработки до отказа откладываются по оси абсцисс, а оценка значения функции распределения наработки до отказа в i –й по порядку момент появления отказа ti проводится по величине математического ожидания i – й порядковой статистики в выборке объемом n , равного i /(n+1), а в случае малой выборки – по медиане порядковой статистики по уравнению
F^(t)=(i-0.3)/(n+0.4). (13)
Для определения параметров аппроксимации может использоваться метод наименьших квадратов.
Очевидно , что параметр формы можно оценить по угловому коэффициенту прямой. Ресурсную характеристику v можно оценить, имея в ввиду, что F(t=)=0.632. проецируя на ось абсцисс точку прямой, соответствующую значению 63,2% на оси ординат, получаем оценку параметра .
-
9
Ра спре
д еление
89
1
59 0
8
2
07 0
6 0
5
3
04 0
3 0
2
4
0B
.A
10
5
4
3
2
1
0.5
10
2
3
4
5
6
8
100
2
3
4
5
6
7
8
Наработка до отказа, отн . ед.
Рис. 1. Вероятностная бумага для распределения Вейбулла :
-95% ранг;
-линия генеральной совокупности, имеющей распределение Вейбулла ;
–5% ранг;
– выборочное значение .
Непараметрические доверительные интервалы. Распределение порядковых статистик можно использовать так же для построения доверительных пределов на вероятностной бумаге. Для 0,50 доверительная граница определяется в виде
w= [i/(n-i+1)]/[F1-.2(n-i+1).2i+i/(n-i+1)], (14)
а для < 0.50 в виде
w= [i/(n-i+1)][F.2i.2(n-i+1)/{1+[i/(n-i+1)]F.2i.2(n-i+1) , (15)
Где F.n1.n2 -- случайная величина, имеющая F- распределение с n1 и n2 степенями свободы , что Р(Fn1.n2 F.n1.n2)= . Здесь w такая случайная величина , имеющая распределение порядковых статистик с параметрами n и i , что Р(р w)= . Эти пределы называются непараметрическими потому ,что информация о виде распределения при их построении не используется .
Таблица 1.