- •Часть 3
- •Часть 3
- •Введение
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 27
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Приложения тройных интегралов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 29
- •Примеры решения задач
- •Занятие 35-36 вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Применние вычетов к вычислению интегралов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Занятие № 29. Интегрирование функций комплексного
- •Часть 3
- •В авторской редакции
Занятие № 29
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНГО
ПЕРЕМЕННОГО. ТЕОРЕМА КОШИ
И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Литература: [2], с. 117-125; [8], с. 32-46; [9], с. 142-157.
Основные понятия
Пусть на комплексной плоскости задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция . Разобьем эту кривую на частей
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного.
2. Как вычислить интеграл от функции комплексного переменного?
3. Сформулируйте теорему Коши для простого и сложного контура.
4. Как применяется интегральная формула Коши для вычисления интегралов по замкнутым контурам?
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить , где - отрезок прямой, соединяющей точки и .
Решение. Выделим действительную и мнимую часть подынтегральной функции . Для этого перепишем ее в виде . Отсюда следует, что , . Применим формулу . Получаем, что вычисление сводится к вычислению двух криволинейных интегралов: . Уравнение отрезка прямой, проходящей через точки и , будет , где , а значит . Поэтому
.
Пример 2. Вычислить , где - окружность единичного радиуса с центром в точке (обход против часовой стрелки, - целое число).
Решение. Так как на окружности , то ( ) и . Тогда
.
При результат вычислений согласуется с теоремой Коши. При функция не определена и не дифференцируема в точке . Интеграл не равен нулю. При подынтегральная функция не определена в точке и теорема Коши также не применима, но интеграл равен нулю.
Пример 3. Вычислить , где : .
Решение. Аналогично примеру 2
.
Пример 4. Вычислить интеграл .
Решение. Так как подынтегральная функция является аналитической, то можно использовать формулу Ньютона-Лейбница: .
Пример 5. Вычислить , где - окружность: а) , б) .
Решение. а) Если - окружность радиуса 2, то подынтегральная функция является аналитической в каждой точке круга (рис. 2,а). Поэтому, в силу теоремы Коши .
а) б) в)
Рис. 2
б) Если - окружность радиуса 4, то точка (в ней функция не определена) принадлежит кругу (рис. 2,б). Представим подынтегральную функцию в виде , где является аналитической в каждой точке круга . Применим интегральную формулу Коши ( ) . Получим .
Пример 6. Вычислить , где : .
Решение. Подынтегральная функция является аналитической в круге всюду кроме точки (рис. 2,в). Выделим под знаком интеграла функцию , являющуюся аналитической в круге . Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной . При и получим
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
а) ; б) ; в) .
Вычислить интегралы:
а) , где ;
б) , где ;
в) , где - отрезок прямой, , .
Вычислить с помощью интегральной формулы Коши следующие интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.
Занятие 30-34
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
, с. 125-132; , с. 46-70; , с. 160-172.
Контрольные вопросы и задания
Запишите ряд Тейлора для функции комплексного переменного , аналитической в круге . Как определяются его коэффициенты?
Сформулировать теорему Тейлора. Каковы условия разложимости функции в ряд Тейлора?
Записать разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций: , , , , ,
Дать определение ряда Лорана функции . Как определяются его коэффициенты?
Сформулировать теорему Лорана. Каковы условия сходимости ряда Лорана? Какова его область сходимости?
Какие ряды называются правильной и главной частями ряда Лорана?
Какая точка называется особой точкой функции? В каком случае она называется изолированной особой точкой?
Какая особая точка называется:
а) устранимой; б) полюсом; в) существенно особой?
Как зависит вид ряда Лорана от характера особой точки?
Как связаны полюсы функции с нулями функции ? Что такое кратность полюса?