Занятие № 29
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНГО
ПЕРЕМЕННОГО. ТЕОРЕМА КОШИ
И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Литература: [2], с. 117-125; [8], с. 32-46; [9], с. 142-157.
Основные понятия
Пусть
на комплексной плоскости задана
ориентированная кусочно-гладкая кривая
,
на которой определена функция
.
Разобьем эту кривую на
частей
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного.
2. Как вычислить интеграл от функции комплексного переменного?
3. Сформулируйте теорему Коши для простого и сложного контура.
4. Как применяется интегральная формула Коши для вычисления интегралов по замкнутым контурам?
Примеры решения задач
Пример
1. Вычислить
,
где
- отрезок прямой, соединяющей точки
и
.
Решение.
Выделим действительную и мнимую часть
подынтегральной функции
.
Для этого перепишем ее в виде
.
Отсюда следует, что
,
.
Применим формулу
.
Получаем, что вычисление
сводится к вычислению двух криволинейных
интегралов:
.
Уравнение отрезка прямой, проходящей
через точки
и
,
будет
,
где
,
а значит
.
Поэтому
.
Пример
2. Вычислить
,
где
- окружность единичного радиуса с центром
в точке
(обход против часовой стрелки,
- целое число).
Решение.
Так как на окружности
,
то
(
)
и
.
Тогда
.
При
результат вычислений согласуется с
теоремой Коши. При
функция
не определена и не дифференцируема в
точке
.
Интеграл не равен нулю. При
подынтегральная функция не определена
в точке
и теорема Коши также не применима, но
интеграл равен нулю.
Пример
3. Вычислить
,
где
:
.
Решение. Аналогично примеру 2
.
Пример
4. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Так как подынтегральная функция является
аналитической, то можно использовать
формулу Ньютона-Лейбница:
.
Пример
5. Вычислить
,
где
- окружность: а)
,
б)
.
Решение.
а) Если
- окружность радиуса 2, то подынтегральная
функция
является аналитической в каждой точке
круга
(рис. 2,а).
Поэтому, в силу теоремы Коши
.
а) б) в)
Рис. 2
б)
Если
- окружность радиуса 4, то точка
(в ней функция не определена) принадлежит
кругу
(рис. 2,б).
Представим подынтегральную функцию в
виде
,
где
является аналитической в каждой точке
круга
.
Применим интегральную формулу Коши (
)
.
Получим
.
Пример
6. Вычислить
,
где
:
.
Решение.
Подынтегральная функция
является аналитической в круге
всюду кроме точки
(рис. 2,в).
Выделим под знаком интеграла функцию
,
являющуюся аналитической в круге
.
Воспользуемся интегральной формулой
Коши для производной
.
При
и
получим
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислить интегралы:
а)
,
где
;
б)
,
где
;
в)
,
где
-
отрезок прямой,
,
.
Вычислить с помощью интегральной формулы Коши следующие интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, коллоквиум.
Занятие 30-34
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
,
с. 125-132;
,
с. 46-70;
,
с. 160-172.
Контрольные вопросы и задания
Запишите ряд Тейлора для функции комплексного переменного , аналитической в круге
.
Как определяются его коэффициенты?Сформулировать теорему Тейлора. Каковы условия разложимости функции в ряд Тейлора?
Записать разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций:
,
,
,
,
,
Дать определение ряда Лорана функции . Как определяются его коэффициенты?
Сформулировать теорему Лорана. Каковы условия сходимости ряда Лорана? Какова его область сходимости?
Какие ряды называются правильной и главной частями ряда Лорана?
Какая точка называется особой точкой функции? В каком случае она называется изолированной особой точкой?
Какая особая точка называется:
а) устранимой; б) полюсом; в) существенно особой?
Как зависит вид ряда Лорана от характера особой точки?
Как связаны полюсы функции
с нулями функции
?
Что такое кратность полюса?