4. Пример

Для рамы (рис.2) определить критическую нагрузку (Р_1кр, Р_2кр) при заданном соотношении Р₁ и Р₂ .

4.1. Задание

Рис. 2

Обозначим

4.2.Основная система метода перемещений (рис. 3)

Уравнение потери устойчивости

.

Рис. 3.

4.3. Единичные состояния и эпюры (рис.4)

Состояние

С остояние

Рис. 4.

4. 4. Коэффициенты уравнений потери устойчивости

Из состояния

Рис. 5

Рис. 6

Из состояния

Условие выполнено.

Рис. 7

Рис. 8

4.5. Уравнение потери устойчивости и его решение

Подставим коэффициенты в уравнение потери устойчивости и, сократив на , получим

.

Выразив через приводим уравнение к виду

,

или сокращенно, обозначив выражения в квадратных скобках через А, B и C: A · B – C² = 0.

Решаем это уравнение методом подбора, задаваясь различными значениями . При

A · B – C² = (3 + 2,5) · (46,875 + 11,719) – 9,375² = 234,4 > 0.

Задаемся , тогда по таблице ;

; ;

.

Вычислим.

А = 3 + 2,5 · 0,8590 = 5,15;

В = 46,875 · 0,5980 + 11,719 · 0,4198 = 32,95;

С = 9,375 · 0,9313 = 8,73.

А · В – С² = 93,5 > 0. Необходимо еще увеличить .

Далее, задаваясь , вычисления выполним в таблице 4.1.

Таблица 4.1

ν₁	0,5 ν₁	0,6 ν₁	φ₂ (ν₁)	η₁(0,5 ν₁)	η₁(0,6 ν₁)	φ₁(0,5 ν₁)	A	B	C	AB-C2
2,6	1,30	1,56	0,7513	0,3181	0,0139	0,8814	4,878	15,06	8,259	5,25>0
2,7	1,35	1,62	0,7295	0,2641	-0,0646	0,8716	4,822	11,62	8,175	-10,0<0

Таким образом, при возрастании от 2,6 до 2,7 выражение А · В – С² меняет знак, т.е. критическое значение находится между 2,6 и 2,7. По линейной интерполяции берем .

Тогда

5. Контрольные вопросы

1. Когда состояние равновесия системы называется устойчивым и когда - неустойчивым?

2. Какое состояние системы называется критическим?

3. Что такое критическая нагрузка?

4. В каком состоянии – устойчивом или неустойчивом – находится система со сжатыми элементами, если нагрузка на ней ниже критической? То же – при нагрузке выше критической?

5. Как влияет изменение жесткостей стержней на устойчивость системы?

6. Как влияет изменение длины стержней на устойчивость системы?

7. Как влияет на устойчивость системы введение дополнительных связей, например замена неподвижного шарнирного опирания на защемление?

8. Как влияет на устойчивость системы исключение связей, например, введение шарнира вместо защемления?

9. Чем отличается расчет устойчивости методом перемещений рам со смещаемыми с несмещаемыми узлами?

10. Какое движение совершает система, выведенная каким-либо возмущением из устойчивого состояния равновесия? То же – из неустойчивого?