Примеры решения задач

Пример 1. Амплитуда гармонического колебания , период . Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение .

Решение. Уравнение гармонического колебательного движения точки имеет вид: . Начальная фаза  неизвестна и далее будет показано, что она не требуется для решения задачи. Скорость v колеблющейся точки по определению равна . Таким образом, скорость точки изменяется по гармоническому закону с амплитудой (максимальным значением) . Ускорение a колеблющейся точки по определению равно . Следовательно, ускорение точки также изменяется по гармоническому закону с амплитудой (максимальным значением) .

Пример 2. Найти амплитуду A и начальную фазу  гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями и .

Решение. Амплитуда суммы одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты (периода) рассчитывается по формуле . По условию задачи: . Следовательно, . Начальная фаза суммарного колебания  определяется из уравнения . Следовательно, .

Пример 3. Бревно массы висит на двух шнурах длины каждый. В торец бревна попадает и застревает в нем пуля массы , летящая со скоростью . Найти амплитуду и период T колебаний бревна. Трением пренебречь.

Решение. Бревно на шнурах длиной можно считать математическим маятником, период колебаний T которого рассчитывается по формуле: , где – ускорение свободного падения. Попадание и застревание пули в бревне является абсолютно неупругим ударом, для которого закон сохранения импульса записывается как: . Следовательно, максимальная скорость бревна с пулей . Бревно с пулей будет совершать гармонические колебания . Скорость бревна, в свою очередь, . Максимальная скорость бревна (амплитуда скорости) . Следовательно, . Угловая амплитуда малых колебаний бревна связана с амплитудой A линейных колебаний соотношением: . Приближенное равенство выполняется для малых углов: . Окончательно для угловой амплитуды колебаний бревна получаем .

Пример 4. Период затухающих колебаний ; логарифмический декремент затухания ; начальная фаза . При смещение точки . Написать уравнение движения этого колебания.

Решение. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид . Коэффициент затухания . Следовательно, . Амплитуду A затухающих колебаний находим из условия . Следовательно, . Получаем, что . Окончательно уравнение затухающих колебаний: .

Пример 5. Тело массой совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой , начальной фазой и коэффициентом затухания . На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид . Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.

Решение. Уравнение собственных затухающих колебаний имеет вид . Сдвиг фаз между собственными и вынужденными колебаниями равен . Следовательно, и , где частота вынужденных колебаний и коэффициент затухания . Следовательно, . Тогда уравнение собственных колебаний: . Уравнение внешней периодической силы: , где ( – амплитуда вынужденных колебаний). Получаем . Следовательно, уравнение внешней периодической силы: .

Задачи

1.1. Точка совершает колебания с амплитудой А=4см и периодом Т=2с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент t=0 смещения x(0)=0 и (0)<0. Определить фазу (ωt+φ) для двух моментов времени: 1) когда смещение x=1 см и >0; 2) когда скорость =-6 см/с и х<0. (x= А cos (ωt+φ), где А= 4 см, ω=2π/Т=π рад/с, φ=π/2 рад; 1)5π/3 рад; 2)0,842π рад).

1.2. Определить максимальные значения скорости _max и ускорения _max точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=3 см и угловой частотой ω=π/2 с^-1. (4,71 см/с; 7,40 см/с²).

1.3. Точка совершает колебания по закону x=Аcosωt, где А =5 см; ω = 2с^-1. Определить ускорение | | точки в момент времени, когда ее скорость = 8 см/с. (| |= ω =12 см/с²).

1.4. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение x_max точки равно 10 см, наибольшая скорость _max = 20 см/с. Найти угловую частоту ω колебаний и максимальное ускорение _max точки. (2 с^-1; 40 см/с²).

1.5. Максимальная скорость _max точки, совершающей гармонические колебания, равна 10см/с, максимальное ускорение _max=100 см/с². Найти угловую частоту ω колебаний, их период Т и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю. (10 с^-1; 0,628 с; 1 см; = А cos ωt).

1.6. Точка совершает колебания по закону х=Аsinωt .В некоторый момент времени смещение x₁ точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение x₂ стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний. (А=2 =8,33 см).

1.7. Колебания точки происходят по закону х=Acos(ωt/+φ).В некоторый момент времени смещение x точки равно 5 см, ее скорость =20 см/с и ускорение =-80 см/с². Найти амплитуду А, угловую частоту ω, период Т колебаний и фазу (ωt/+φ) в рассматриваемый момент времени. (ω= =4 с^-1; Т=2π/ω=1,57 с; А= =7,07 см; ωt+φ=arcos(x/А)= π/4 рад).

Сложение колебаний

1.8. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами А₁=10 см и А₂=6 см складываются в одно колебание с амплитудой А=14 см. Найти разность фаз ∆φ складываемых колебаний. (π/3 рад).

1.9. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз ∆φ складываемых колебаний. (2π/3 рад или 4π/3 рад).

1.10. Определить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода: x₁=А₁ sin ωt и x₂=А₂ sin ω(t+τ), где А₁=А₂=1 см; ω=π с^-1; τ=0,5 с. Найти уравнение результирующего колебания. (А=1,41 см; φ=π/4 рад; x = А cos (ωt+φ), где ω = π с^-1).

1.11. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x₁=А₁sinωt и x₂=А₂cos ωt, где А₁=1 см; А₂=2 см; ω=1 с^-1. Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту ν и начальную фазу φ. Найти уравнение этого движения. (А=2,24 см; ν=0,159 Гц; φ=0,353π рад; x= А cos (ωt+φ), где ω=1 с^-1).

1.12. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т₁=Т₂=1,5 с и амплитудами А₁=А₂=2 см. Начальные фазы колебаний φ₁=π/2 и φ₂=π/3. Определить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд. (А=3,86 см; φ=0,417π рад; x= А cos (ωt+φ), где ω=2π/Т с^-1 = 4,19 с^-1).

1.13. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т₁=Т₂=Т₃=2 с и амплитудами А₁=А₂=А₃=3 см. Начальные фазы колебаний φ₁=0, φ₂=π/3, φ₃=2π/3. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Найти его уравнение. (А= 6 см; φ= π/3 рад; x= А cos (ωt+φ), где ω=2π/Т с^-1=π с^-1).

1.14. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: x₁= А₁cos(ωt+φ₁) и x₂=А₂cos(ωt+φ₂). Начертить векторную диаграмму для момента времени t=0. Определить аналитически амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Отложить А и φ на векторной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в тригонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) А₁=1 см, φ₁=π/3; А₂=2 см, φ₂=5π/6; 2) А₁=1 см, φ₁=2π/3; А₂=1 см, φ₂=7π/6. (1) А= 2,24см; φ= 0,686π рад; 2) А= 1,41см; φ=0,917π рад).

1.15. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν₁ и ν₂ их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений. (2с).

1.16. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями х=А₁sin ωt и y=А₂cosω(t+τ), где А₁ = 2 см, А₂=1 см, ω= π с^-1, τ=0,5 с. Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки. (y= - (А₂/А₁)x или y= - 1/2x).

1.17. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х=А₁cosωt и y=А₂cosω(t+τ), где А₁=4 см, А₂=8 см, ω=π с^-1, τ =1 с. Найти уравнение траектории точки и построить график ее движения. (y= - (А₂/А₁)x или y= - 2x).

1.18. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: 1) х=Аcosωt и y=Аcosωt; 2) х=Асosωt и y=А₁cosωt; 3) х=Аcosωt и y=Аcos(ωt+φ₁); 4) х=А₂cosωt и y=Аcos(ωt+φ₂); 5) х=А₁cosωt и y=А₁sinωt; 6) х=Аcosωt и y=А₁sinωt; 7) х=А₂sinωt и y=А₁sinωt; 8) х=А₂sinωt и y=Аsin(ωt+φ₂). Найти для восьми случаев: уравнение траектории точки, пост­роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см, А₁=3 см, А₂= 1 см; φ₁=π/2, φ₂=π. (1) y= x; 2) y = (А₂/А₁)x, y = x; 3) x²+y²=А², x²+y²=4; 4) y= - (А₂/А₁)x, y= - 2x; 5) x²+y²=А², x²+y²=9; 6) + =1, + =1; 7) y= (А₂/А₁)x, y=3x; 8) y=-(А₂/А₁)x, y=-2x).

1.19. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х=А₁cosωt и y=А₂ sinωt, где А₁=2 см, А₂=1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. ( + =1, =1).

1.20. Точка одновременно совершает два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х=А₁sinωt и y=А₂cosωt, где А₁=0,5 см; А₂=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. ( = 1).

1.21. Движение точки задано уравнениями х=А₁sinωt и y=А₂sinω(t+τ), где А₁=10 см, А₂=5 см, ω=2 с^-1, τ=π/4 с. Найти уравнение траектории и скорость точки в момент времени t =0,5с. ( =1, υ = 13,7 м/с).

1.22. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х=А₁cosωt и y=-А₂cos2ωt, где А₁=2 см, А₂=1 см. Найти уравнение траектории и построить ее. (y=-2(А₂/А₁)x²+А₂, y=-( x²+1).

1.23. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и описываемых уравнениями: 1) х=Аsinωt и y=Аcos2ωt; 2) х=Аcosωt и y=Аsin2ωt; 3) х=Аcos2ωt и y=А₁cosωt; 4) х=А₁sinωt и y=Аcosωt. Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см; А₁=3 см. (1) y=А-2 ,y=-x²+2; 2) y=2 -А, y=x²-2; 3) 2Аy-А₁x²=АА₁, y=¾x²+ ; 4) x=2(А₁/А)y , x= y ).

1.24. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х=А₁cosωt и y=А₂sin0,5ωt, где А₁= 2 см, А₂=3 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. (y= (А₁-x), x= (2-x)).

1.25. Смещение светящейся точки на экране осциллографа является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний, которые описываются уравнениями: 1) х=Аsin3ωt и y=А sin2ωt; 2) х=Аsin3ωt и y=Аcos2ωt; 3) х=Аsin3ωt и y=Аcosωt. Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А =4см. (Самостоятельно).

Динамика гармонических колебаний. Маятники

1.26. Грузик массой m=250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом Т=1 с. Определить жесткость k пружины. (9,87 Н/м).

1.27. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9 см. Каков будет период Т колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить? (0,6 с).

1.28. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А=4 см. Определить полную энергию Е колебаний если жесткость k пружины равна 1 кН/м. (0,8 Дж).

1.29. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5. ( = -( )²=2,25 . ).

1.30. Математический маятник длиной 𝓁=1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением а=2,5 м/с². Определить период Т колебаний маятника. (Т=2π =1,8 с).

1.31. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча. (Т=2π =1.55 c).

1.32. Однородный диск радиусом R=30 см колеблется около го­ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период Т его колебаний? (Т=2π =1.35 c).

1.33. Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника. (36 см).

1.34. Математический маятник длиной 𝓁₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 𝓁₂=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние, a центра масс стержня от оси колебаний. (10 см).

1.35. Верхний конец стальной проволоки диаметром 0,5 мм и длинной 80 см защемлён. К нижнему концу проволоки прикреплён шар массой 2 кг и диаметром 10 см. Если шар повернуть вокруг вертикальной оси на небольшой угол и отпустить, он будет совершать вращательные колебания. Определите период колебаний шара. (11,5 с).

1.36. Тонкая прямоугольная пластинка может колебаться вокруг горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости и перпендикулярной одной из ее сторон, длина которой равна 𝓁.

а) Каков период колебаний, если ось совпадает с верхней стороной пластинки?

б) При каком расстоянии оси от середины пластинки период колебаний пластинки будет наименьшим? Каков этот период? (1) 2π ; 2) ; 2π ).

1.37. Шар радиусом 5 см подвешен на нити длиной 10 см. Определите погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник длиной 15 см. (2,2%).

Затухающие колебания

1.38. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз? (15 мин).

1.39. За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания δ. (0,0023 с^-1).

1.40. Амплитуда колебаний маятника длиной l=1 м за время t=10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний Ө. (Ө = ln = 2,31·10^-3).

1.41. Логарифмический декремент колебаний Ө маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза. (N= ln =231).

1.42. Гиря массой m=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k =20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний Ө=0,004. Определить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в п=2 раза. За какое время t произойдет это уменьшение? (N= ln =173; t=2πn = 2 мин 52 с).

1.43. Тело массой m=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t =50 с тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления b. (9,16·10^-5 кг/с).

1.44.Определить период Т затухающих колебаний, если период Т₀ собственных колебаний системы равен 1с и логарифмический декремент колебаний Ө =0,628. (1,005).

1.45. Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в п=2 раза. Логарифмический декремент колебаний Ө =0,01. (35).

Рис.1

1.46. Тело массой m=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждое тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы (рис. 1). Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания δ; 2) частоту ν колебаний; 3) логарифмический декремент колебаний Ө; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз. (1) 0,025; 2) 1,59Гц; 3) 0,0157; 4) 64).

1.47. Начальная амплитуда колебаний маятника равна 3 см. Через 10 с она стала равной 1 см. Через сколько времени амплитуда колебаний будет равна 0,3 см? (21 с).

1.48. Каков логарифмический декремент затухания маятника длиной 0,8 м, если его начальная амплитуда равна 5°, а через 5 мин она становится равной 0,5°? (0,014).

1.49. Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой f =600 Гц уменьшится в n=10⁶ раз, если логарифмический декремент затухания равен 0,0008? (t = =14 с).

1.50. Какова общая сумма путей, пройденных колеблющейся точкой до полного затухания колебаний, если амплитуда первого колебания равна 1 мм, а логарифмический декремент затухания равен 0,002? (2 м).

Вынужденные колебания. Резонанс

1.51. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения n якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса? (n= =16 с^-1).

1.52. Вагон массой m=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υ вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина 𝓁 рельса равна 12,8 м? (υ=(l/π) =10,2 м/с).

1.53. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν₀ собственных колебаний, если резонансная частота v_peз=998 Гц. (1002 Гц).

1.54. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν₀=l кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания δ=400 с^-1. (Δν= δ²/(4π² ν₀)=4,05 Гц).

1.55. Определить логарифмический декремент колебаний Ө колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν₀=10 кГц на ∆ν=2 Гц. (θ=2π =0,089).

1.56. Период Т₀ собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν_peз колебаний. (ν_peз= =1,75 с^-1).

1.57. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса m груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=2·10^-2 кг/с. Определить коэффициент затухания δ и резонансную амплитуду А_рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F₀=10 мН. (0,1 с^-1; 5 см).

1.58. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффи­циентом сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда А_рез=0,5 см и частота ν₀ собственных колебаний равна 10 Гц с^-1. (F₀=2πν₀rА_рез=0,314 мН).

1.59. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν₁=400 Гц и ν₂=600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту v_peз. Затуханием пренебречь. (510 Гц).

1.60.К спиральной пружине жесткостью k=10 Н/м подвесили грузик массой m=10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту ν₀ собственных колебаний; 2) резонансную частоту ν_pcз; 3) резонансную амплитуду А_рез, если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F₀=0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием силы F₀. (1) 5,03 Гц; 2) 4,91 Гц; 3) 6,4 мм; 4) 3,2).

1.61. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты: 1)на 10%? 2)в два раза? Коэффициент затухания δ в обоих случаях принять равным 0,1 ω₀ (ω₀ − угловая частота собственных колебаний). (1) 1,53; 2) 15,2).

1.62. Амплитуда смещения вынужденных колебаний при очень малой частоте равна s₀=2 мм, а при резонансе равна s=16 мм, Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определите его. (s = ( + ); при υ<1 можно принять, что s = , откуда υ= =0,4).