5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически
Говорят, что уравнение F(x, y) = 0 неявно задаёт функцию
y
= f(x)
в интервале (a,
b),
если для любого
уравнение F(x0;
y)=0
имеет единственное решение y0
= f(x0).
Для
нахождения производной функции y
= f(x),
заданной неявно уравнением F(x,
y)
= 0, следует продифференцировать обе
части равенства , считая y
функцией от x;
затем полученное уравнение, в которое
будут входить x,
y
и
,
следует разрешить относительно
.
Для нахождения
равенство
F(x, y) = 0 дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее x, y, , , которое следует разрешить относительно , затем вместо подставить функцию от x и y, найденную указанным выше способом.
Пример
6.
Найти
значения
,
,
если функция y
задана неявно уравнением
.
Решение. Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства:
;
;
.
Отсюда
находим
;
.
Для нахождения y(0) в равенстве положим x = 0:
; 
; y(0)
= 1.
Таким
образом,
.
Найдём
,
для чего продифференцируем равенство
:
;
;
.
Подставив
в последнем равенстве вместо
выражение
, получим
,
откуда находим
.
Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями
то
при условии существования производных
,
и
существует производная
и при этом
.
Вторая
производная
находится по формуле
,
или (что то же самое)
.
Пример 7. Найти , , если
Решение. Имеем:
;
;
;
6. Уравнения касательной и нормали
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x0, y0) на графике имеет вид
,
а уравнение нормали в той же точке
,
где y0 = f (x0).
Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного прямой y = y0 +1, касательной и нормалью, проведёнными к графику функции y = x3 + 2x2 – x + 1 в точке с абсциссой
x0 = 1 и ординатой y0 .
Решение.
Найдём ординату y0
точки касания и
:
;
;
.
Уравнением касательной является y = 3 + 6(x – 1) или
6
x
– y
– 3 = 0. Уравнение нормали имеет вид
или
x + 6y – 19 = 0. Найдём координаты точек А и В (см. рис.).
Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:
,
.
По этим данным найдём искомую площадь
7. Дифференциал первого порядка
Придадим
аргументу x
в точке x0
приращение
, функция
получит
приращение
.
Если существует число А, такое, что
,
то говорят, что f(
)
дифференцируемая в точке
0
;
линейная часть
приращения функции называется
дифференциалом функции в точке
0
и обозначается
или
(или просто df
, dy).
Если
– независимое переменное (т.е. не зависит
от других переменных), то полагают
.
Теорема
2.
Функция f(
)
дифференцируема в точке
0
в том и только в том случае, если f(
)
имеет производную в этой точке. При этом
.
Если
в равенстве
отбросить бесконечно малую величину
,
то получим приближённое равенство
,
которое применяется для нахождения приближённого значения функции.
Пример
9. Найти приближённое значение
.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
Положим x0
= 16 ; тогда
.
Имеем
;
;
,
,
;
.
Отсюда
находим
,
.